Спампаваць 199.47 Kb.
|
Гл.3. Ид. газ жестких сферич. молекул: распределение Максвелла. I. Лекция 03. Л и т е р а т у р а к курсу лекций. А. Программа МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА. (Рабочая программа курса "Общая физика". Aннотированная. 2002 / 03 уч. г. Часть 2.) (Ссылки на программу и заголовки вопросов даются в формате: {Пр. m. S.} nQ, где m № раздела, S заглавие раздела, n № вопроса, Q вопрос. В скобках {} необязательные части ссылки.) Б. Руководства. Список из программы А, не сокращенный для лекций. (Ссылки даются в формате: [№]: §§ №, №.) [1]. Сивухин Д.В. Общий курс физики, Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. М., 1975‚… 2002. [2]. Фриш С.Э., Тиморева А.В. Курс общей физики, T. I . М., 1962 и 2006 (более ранние другая нумерация параграфов). [3]. Молекулярная физика жидкостей в курсе общей физики. (Соловьев В.А.), Л., 1983, 2004. [4]. Соловьев В.A.‚ Aджемян Л.Ц.‚ Фриш М.С. Избранные вопросы молекулярной физики. 1. Методы термодинамических преобразований. 2. Растворы. СПб‚ 1999. [5]. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Молекулярная физика. М., 1976. [6]. Матвеев А.Н. Молекулярная физика. М., 1971. [7]. Рейф Ф. Статистическая физика. М., 1977. [8]. Фейнмановские лекции по физике. Т.4, М., 1965. [9]. Ландау Л.Д., Ахиезер А. И., Лифшиц Е.М. Курс общей физики. (Механика и молекулярная физика). М., 1965. [10]. Де Бур Я. Введение в молекулярную физику и термодинамику. М., 1962. [11]. Кричевский И.Р. Понятия и основы термодинамики. М., 1970. [12]. Поль Р.В. Механика, акустика и учение о теплоте. М., 1973. [13]. Конспект лекций по физике для студентов физического факультета ЛГУ (Молекулярная физика и термодинамика). (Толстой Н.А.). Л., 1966. [14]. Методические указания по общему курсу физики (некоторые вопросы термодинамики). (Спартаков A.A.‚ Толстой Н.A.). .Л.‚ 1990. [15]. Хуанг К. Статистическая механика. 1964. [16]. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. 1. М.‚ 1974 2002. [17]. Сивухин Д.В. (редактор). Сборник задач по общему курсу физики. Термодинамика и молекулярная физика. М.‚ 1976. [18]. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М., 1979. (В более поздних изданиях изменены номера многих задач. В ссылках вида “[18], задача №…” будут даваться также (в кавычках) ключевые слова или формулы для поиска задачи по новым изданиям.) ГЛAВA 3. идеальный газ из жестких сферических молекул: Равновесное распределение молекул по скоростям — распределение максвелла. Из программы: 0Предварительные указания. 1Распределение Максвелла по вектору скорости: рабочая формула. 2Основные свойства равновесного распределения молекул по скоростям: 3максимальная хаотичность, 4изотропность, 5-6статистическая независимость ортогональных компонент скорости, 7-9 инвариантность по отношению к парным упругим столкновениям. (8Принцип детального равновесия). 10-13Распределение Максвелла для вектора скорости и 13для абсолютного значения скорости: окончание вывода и исследование. 14Универсальность распределения Максвелла. Литература: [1]: §§ 82, 74‚ 72, 73; [2]: § 50.3 0Предварительные указания. В этой главе решаются две задачи: 1) находится вид функции распределения молекул по скоростям n( ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства распределения Максвелла в этой главе пронумерованы (независимо от нумерации подпунктов программы вида 1-15), и номера тех свойств, которые могут быть использованы для вывода распределения, снабжены значками. Значком вида ![]() ![]() ![]() Для вывода формы функции распределения Вы можете, по вашему выбору, использовать либо свойство ![]() ![]() ![]() Указанное в заголовке главы ограничение простейшим случаем газа из жестких сферических молекул существенно только для одного из излагаемых методов вывода равновесного n( ![]() ![]() Вам следует иметь в виду, что вид распределения Максвелла это одна из немногих вещей в физике, которую необходимо твердо знать наизусть: умения вывести его для экзамена недостаточно. Имея это в виду, мы будем неоднократно приводить его в различных эквивалентных формах. Всестороннее изложение вопросов, связанных с выводом распределения Максвелла в окончательной форме занимает в нашем курсе несколько глав (гл. 26). Имея в виду как можно раньше начать решение задач на семинарах, мы сейчас заранее приведем его в форме, наиболее полезной и удобной для запоминания. 1Распределение Максвелла по вектору скорости: рабочая формула. Окончательный вид равновесного распределения по скоростям, который следует твердо помнить (наизусть!) и который понадобится вам при решении задач: ![]() (либо эквивалентные выражения для функций ![]() ![]() В этой главе будет установлен только вид функциональной зависимости ![]() ![]() ![]() а подразумеваемые в (3.1) выражения для постоянных a и b (вводимых здесь для удобства и краткости записи), будут найдены в дальнейшем (гл. 5, 6). (Обозначение b = 1/kT имеет смысл запомнить оно часто встречается в литературе.) Выражение для А через a будет найдено ниже (п. 311) из условия нормировки; помнить его наизусть необязательно, его вывод легко воспроизводится. 2Основные свойства равновесного распределения по скоростям: см. пп. 3 ― 13. 3Свойство ![]() В гл. 1 мы уже упоминали понятие вероятности макроскопического состояния (ее более полное название термодинамическая вероятность): это (с точностью до несущественного множителя) — число возможных микросостояний, которые соответствуют данному макросостоянию системы. Последнее в нашем случае характеризуется набором чисел молекул, имеющих всевозможные скорости. В соответствии с аргументами, приведенными в гл. 2, речь может идти только о числах молекул, скорости которых принадлежат к элементарным ячейкам пространства скоростей; ячейки мы пронумеруем, т.е. введем дискретный набор переменных Nj = dN ![]() ![]() В рамках классической механики мы не можем указать никакого правила для выбора размеров ячеек ![]() ![]() ![]() ![]() Микросостояние определяется скоростями всех молекул, т.е. их распределением по скоростным ячейкам. Чтобы найти термодинамическую вероятность Wт макросостояния с заданным набором {Nj} , учтем, что общее число перестановок N! всех N молекул между ячейками может быть выражено следующим образом. Сначала поместим в каждую ячейку по Nj молекул; это можно сделать Wт способами. Далее в каждом из Wт микросостояний произведем взаимные перестановки молекул в ячейке № 1 получим WтN1! микросостояний; в каждом из них перестановки в ячейке № 2 получим WтN1!N2! микросостояний, и т.д. Итак, общее число перестановок ![]() ![]() Wт = ![]() Во втором выражении здесь было использовано приближение Стирлинга ![]() ![]() Напомним, что когда общее число молекул очень велико, то и числа Nj можно считать большими; поскольку распределение по скоростям не зависит от размера системы (если не считать того, что в системе с ограниченной общей энергией должна быть понижена вероятность появления очень больших скоростей), мы всегда можем выбрать N достаточно большим, чтобы не заботиться о выполнении приближения Стирлинга для всех Nj кроме, возможно, самых малых, неточность вычисления которых не повлияет на общее распределение. Заметим еще, что в формуле Стирлинга (см. курс математического анализа) мы пренебрегаем, учитывая дальнейшее, отличием от 1 множителя, логарифм которого мал по сравнению с lоgN и lоgNj; это приближение бывает справедливо почти всегда. В гл. 1 были приведены соображения, позволяющие предполагать, что возможные значения макроскопических переменных должны лежать в очень узкой области вокруг наиболее вероятных значений; это относится и к переменным Nj в достаточно большой системе. Если их значения заметно отличаются от наиболее вероятных, то при молекулярных процессах, ведущих к их изменению (в газах это столкновения, а также ускорения во внешних полях; в жидкостях и твердых телах ускорения под действием межмолекулярных сил), будут преобладать те, которые ведут к увеличению Wт. В результате Wт будет стремиться к максимальному возможному значению. Последнее справедливо, если газ находится в постоянных внешних условиях. Максимальное значение Wт будет при этом соответствовать состоянию термодинамического равновесия. Уравнение, которое описывает изменение набора {Nj} в газе в общем случае (наличие внешних воздействий, неравновесное состояние) было построено Л. Больцманом. Итак, равновесное состояние газа при постоянных внешних условиях соответствует максимуму Wт, как и сказано в заглавии этого раздела. Остается найти значения Nj, отвечающие этому условию. Эту чисто математическую задачу можно не излагать на экзамене, если вид функции ![]() Вместо максимума Wт удобно будет искать максимум функции ![]() ![]() ![]() Здесь пока вместо N написано явное выражение ![]() Задача нахождения экстремума функции многих переменных решается в принципе так же, как для функции одного аргумента, но в нашем случае имеется усложнение: аргументы Nj не независимы, а связаны уравнениями, выражающими условия, в которых находится газ. Мы будем рассматривать изолированную систему, для которой справедливы следующие уравнения связей: ![]() ![]() ![]() ![]() Задача нахождения экстремума при наличии связей (“связанного”, в отличие от “свободного” т.е. без наложенных связей) решается методом неопределенных множителей Лагранжа. Обоснование метода будет дано в курсе математического анализа; мы ограничимся чисто техническим изложением. (Обоснование, данное в [1], лучше пропустить, оно не вполне удовлетворительно.) Составим вспомогательную функцию L1 = L ± dХ ± aY, (3.8) где d и a неопределенные параметры, которые нужно будет найти позже, исходя из других свойств распределения; перед d и a мы будем выбирать знак , что в дальнейшем окажется удобнее. Лагранж показал, что условие связанного экстремума для функции L совпадает с условием свободного экстремума для L1: должны обращаться в нуль частные производные от L1 по всем переменным Nm: ![]() (В обозначении частных производных применяется символ дифференциала вместо обычного d; кроме того, обозначение производной заключается в скобки, и при них в виде нижнего индекса указывается список переменных, которые при дифференцировании считаются константами). Подставляя (3.3) (3.8), получим ![]() ![]() (Здесь результат дифференцирования записан без приведения подобных членов, чтобы легче было следить за преобразованиями; слагаемые 1 и +1 возникли в результате дифференцирования логарифмических множителей в (3.5); выражение ![]() Приравнивая выражение (3.10) нулю, получим уравнение для наиболее вероятного значения Nm,; в соответствии с аргументацией, приведенной в гл. 1, будем обозначать его ![]() ![]() ![]() или, возвращаясь к исходным обозначениям: ![]() т.е. (3.2). Мы получили (3.12), используя для L условие экстремума, а не конкретно максимума. Исследование знака второй производной от L1 не представляет труда; его разрешается не проводить. Заметим, что такое исследование часто удобно заменять вычислением исследуемой функции на границах интервала возможных значений аргументов; в случае нашей функции L такими границами являются Nj=N для одного из j, Nj=0 для остальных; это ведет к L=0. Остается показать неотрицательность L в общем случае, что делается достаточно просто. В заключение приведем еще раз, в более компактной форме, выражения (3.4), (3.5) для термодинамической вероятности Wт распределения по дискретному набору состояний {j} и ее логарифма: Wт ![]() ![]() Формулы (3.13) часто применяются в статистических теориях. 4Свойство ![]() ![]() Может показаться, что изотропной обязана быть функция распределения по скоростям только в изолированной системе: наличие поля внешних сил нарушает изотропность пространства и могло бы привести к зависимости ![]() ![]() ![]() 5Свойство ![]() ![]() ![]() где А1 = А1/3 (по аналогии можно для единообразия вместо А писать А3). В гл.2 было показано также, что три функции в правой части (3.14) имеют смысл плотностей вероятности для ux, uy и uz, что и было учтено здесь в их обозначении (буква w). Как мы знаем, возможность представить ![]() ![]() 4 ― 5Вывод равновесного распределения из свойств ![]() ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() где x= ![]() ![]() ![]() ![]() Уравнение (3.15) относится к классу функциональных уравнений. Для его упрощения полезно будет ввести вместо F и G новые неизвестные функции f = ln F, g = ln G. Теперь имеем вместо (3.15): g(x) + g(z) = f(u), если u = x + z . (3.17) Решение (т.е. вид функций g и f ) легко угадывается и проверяется подстановкой; такой метод вполне допустим и его применение на экзамене не поведет к снижению оценки (хотя он может вызывать у вас возражение с эстетической точки зрения), но его недостатком является то, что для уравнений такого вида мы не знаем, имеет ли место теорема о единственности решения. Мы знаем такую теорему для дифференциальных уравнений. Поэтому полезно будет попытаться преобразовать функциональное уравнение (3.17) в дифференциальное. Почленно дифференцируя первое из равенств (3.17) по х и по z, имеем: g'(x)=f '(u)(u/x)z; g'(z)=f '(u)(u/z)x. (3.18) (Напомним, что (u/x)z, например, это частная производная от u по x, вычисляемая при постоянном z.) Согласно (3.17), (u/x)z = (u/z)x = 1. Таким образом, (3.18) дает g'(x)=g'(z). Но если две функции от разных переменных тождественно равны между собой, то они могут быть только постоянными. Обозначим их общее значение a: g'(x) = g'(z) = a. (3.19) Интегрируя, находим: h(x) = d ax, g(z) = d1 az (3.20) (причем d1 = d, поскольку условие изотропности требует, чтобы функции ![]() ![]() Итак, мы нашли вид частной (одномерной) функции распределения w(ux) = exp h(x) = exp (d ax) = ![]() и аналогично для w(uy), w(uz). Здесь A1 = exp d новая константа, подлежащая, как и a, определению в дальнейшем. Плотность полной вероятности равна ![]() В дальнейшем вместо A13 мы будем писать A3 или просто A, как в (3.2). |
![]() | А. Программа молекулярная физика. (Рабочая программа курса "Общая физика". Aннотированная. 2002 / 03 уч г. Часть ) | ![]() | Методические указания предназначены для студентов 1-го курса специальности 031401 культурология очной формы обучения. Могут быть... |
![]() | Методические указания по измерению концентраций вредных веществ в воздухе рабочей | ![]() | Методические указания по измерению концентраций вредных веществ в воздухе рабочей |
![]() | Методические указания подготовлены коллективом специалистов Научно-исследовательского | ![]() | Методические указания предназначены для бактериологических лабораторий санитарно |
![]() | Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой ихтиопатологии и гидробиологии фгоу впо «Калининградский государственный технический... | ![]() | Методические указания предназначены для использования коммунальными теплоснабжающими предприятиями предприятия объединенных котельных... |
![]() | Методические указания предназначены для санитарно-эпидемиологических станций и научно-исследовательских учреждений Минздрава ссср,... | ![]() | Методические указания предназначены для использования студентами всех специальностей физико-технического факультета Кубгу при выполнении... |