Пытанні
да экзамена па геаметрыі
2 курс з/а
2007 – 2008 н. г.
Тэма №1 Пераўтварэнні плоскасці
Пераўтварэнні плоскасці. Вобраз і правобраз пункта. Узаемна адназначнае пераўтварэнне. Роўныя пераўтварэнні. Адваротнае пераўтварэнне. Прыклады.
Здабытак (кампазіцыя) пераўтварэнняў. Прыклады пераўтварэнняў, для якіх  . Асноўныя уласцівасці кампазіцыі. Група пераўтварэнняў плоскасці. Прыклады.
Афіннае пераўтварэнне плоскасці. Яго узаемная адназначнасць і адваротнае пераўтварэнне. Дзеянне афіннага пераўтварэння на вектары плоскасці.  .
Заданне афіннага пераўтварэння адвольным рэперам плоскасці і яго вобразам. Заданне афіннага пераўтварэння дзвюмя тройкамі пунктаў агульнага становішча. Група афінных пераўтварэнняў плоскасці.
Заданне афіннага пераўтварэння формуламі у дадзеным рэперы; іх сэнс. Афінна-кангруэнтныя фігуры. Паняцце аб афіннай геаметрыі плоскасці.
Плоская крывая з дадзеным раўнаннем і яе вобраз пры афінным пераўтварэнні. Вобразы прамой і пары паралельных прамых.
Інварыянтнасць простай адносіны трох пунктаў пры афінным пераўтварэнні. Вобраз адрэзка і сярэдзіны адрэзка. Вобраз цэнтра фігуры.
Вобразы трохвугольніка і паралелаграма пры афінным пераўтварэнні. Афінная кангруэнтнасць кожных дзвух трохвугольнікаў і кожных дзвух паралелаграмаў.
Вобразы эліпса, гіпербалы і парабалы пры афінным пераўтварэнні. Інварыянтнасць адносіны плошчаў фігур плоскасці пры афінных пераўтварэннях.
Рухі плоскасці. Група рухаў. Што вывучае геаметрыя Эўкліда?
Класіфікацыя рухаў плоскасці. Слізгаючая сіметрыя. Тэарэма Шаля. Тып руха і колькасць яго нерухомых пунктаў.
Пераўтварэнні падобнасці. Каэфіцыент падобнасці. Гаматэтыя, яе цэнтр і каэфіцыент. Гаматэтыя як падобнасць. Асноўныя уласцівасці гаматэтыі.
Кампазіцыя дзвух падобнасцей. Пераўтварэнне, адваротнае да падобнасці. Група падобнасцей плоскасці. Пераўтварэнне падобнасці як кампазіцыя гаматэтыі і руха.
Тэма №2 Каардынаты у прасторы.Плоскасці і прамыя
Афінная сістэма каардынат у прасторы (афінны рэпер). Афінныя каардынаты пункта. Прыклад.
Дэкартава сістэма каардынат у прасторы (ортаўнармаваны рэпер). Дэкартавы каардынаты пункта. Формула адлегласці паміж дзвума пунктамі. Раўнанне сферы.
Кіроўныя вектары плоскасці. Раўнанне плоскасці па пункту і дзвум кіроўным вектарам. Агульнае раўнанне плоскасці.
Вектар нармалі плоскасці Раўнанне плоскасці па пункту і вектару нармалі. Вектар нармалі плоскасці, заданай агульным раўнаннем.
Узаемнае размяшчэнне дзвюх пласкасцей, заданых агульнымі раўнаннямі.
Адлегласць ад пункта да плоскасці. Вугал паміж дзвюмя пласкасцямі.
Параметрычнае выяўленне прамой у прасторы. Прамая як перасячэнне дзвюх пласкасцей.
Узаемнае размяшчэнне дзвюх прамых у прасторы.
Узаемнае размяшчэнне прамой і плоскасці.
Вугал паміж прамой і плоскасцю.
Правыя і левыя базісы вектараў прасторы. Прыклады. Вектарны здабытак вектараў прасторы. Прыклады. Выпадак калінеярных вектараў. Геаметрычны сэнс даўжыні вектарнага здабытку.
Асноўныя уласцівасці вектарнага здабытку. Формула вылічэння вектарнага здабытку у правым ортаўнармаваным базісе.
Змешаны здабытак вектараў прасторы. Геаметрычны сэнс модуля змешанага здабытку. Крытэр кампланарнасці трох вектараў.
Формула вылічэння змешанага здабытку у правым ортаўнармаваным базісе. Асноўныя уласцівасці змешанага здабытку.
Няхай  – адвольны тэтраэдр. Кожнай яго грані паставім у адпаведнасць вектар, які пачынаецца з пункта гэтай грані і ей артаганальны, накіраваны па-за тэтраэдр і мае даўжыню, роўную плошчы гэтай грані. Даказаць, што сума усіх чатырох такіх вектароў роўна нулявому вектару.
Пункты  з’яўляюцца пунктамі перасячэння медыян граней тэтраэдра  . Знайсці адносіну аб’емаў тэтраэдраў і  .
Дац. Мілаванаў М.В. |
