Пытанні да экзамена па геаметрыі 2 курс з/а 2007 – 2008 н. г. Тэма №1 Пераўтварэнні плоскасці Пераўтварэнні плоскасці. Вобраз і правобраз пункта. Узаемна адназначнае пераўтварэнне. Роўныя пераўтварэнні. Адваротнае пераўтварэнне. Прыклады. Здабытак (кампазіцыя) пераўтварэнняў. Прыклады пераўтварэнняў, для якіх . Асноўныя уласцівасці кампазіцыі. Група пераўтварэнняў плоскасці. Прыклады. Афіннае пераўтварэнне плоскасці. Яго узаемная адназначнасць і адваротнае пераўтварэнне. Дзеянне афіннага пераўтварэння на вектары плоскасці. . Заданне афіннага пераўтварэння адвольным рэперам плоскасці і яго вобразам. Заданне афіннага пераўтварэння дзвюмя тройкамі пунктаў агульнага становішча. Група афінных пераўтварэнняў плоскасці. Заданне афіннага пераўтварэння формуламі у дадзеным рэперы; іх сэнс. Афінна-кангруэнтныя фігуры. Паняцце аб афіннай геаметрыі плоскасці. Плоская крывая з дадзеным раўнаннем і яе вобраз пры афінным пераўтварэнні. Вобразы прамой і пары паралельных прамых. Інварыянтнасць простай адносіны трох пунктаў пры афінным пераўтварэнні. Вобраз адрэзка і сярэдзіны адрэзка. Вобраз цэнтра фігуры. Вобразы трохвугольніка і паралелаграма пры афінным пераўтварэнні. Афінная кангруэнтнасць кожных дзвух трохвугольнікаў і кожных дзвух паралелаграмаў. Вобразы эліпса, гіпербалы і парабалы пры афінным пераўтварэнні. Інварыянтнасць адносіны плошчаў фігур плоскасці пры афінных пераўтварэннях. Рухі плоскасці. Група рухаў. Што вывучае геаметрыя Эўкліда? Класіфікацыя рухаў плоскасці. Слізгаючая сіметрыя. Тэарэма Шаля. Тып руха і колькасць яго нерухомых пунктаў. Пераўтварэнні падобнасці. Каэфіцыент падобнасці. Гаматэтыя, яе цэнтр і каэфіцыент. Гаматэтыя як падобнасць. Асноўныя уласцівасці гаматэтыі. Кампазіцыя дзвух падобнасцей. Пераўтварэнне, адваротнае да падобнасці. Група падобнасцей плоскасці. Пераўтварэнне падобнасці як кампазіцыя гаматэтыі і руха. Тэма №2 Каардынаты у прасторы.Плоскасці і прамыя Афінная сістэма каардынат у прасторы (афінны рэпер). Афінныя каардынаты пункта. Прыклад. Дэкартава сістэма каардынат у прасторы (ортаўнармаваны рэпер). Дэкартавы каардынаты пункта. Формула адлегласці паміж дзвума пунктамі. Раўнанне сферы. Кіроўныя вектары плоскасці. Раўнанне плоскасці па пункту і дзвум кіроўным вектарам. Агульнае раўнанне плоскасці. Вектар нармалі плоскасці Раўнанне плоскасці па пункту і вектару нармалі. Вектар нармалі плоскасці, заданай агульным раўнаннем. Узаемнае размяшчэнне дзвюх пласкасцей, заданых агульнымі раўнаннямі. Адлегласць ад пункта да плоскасці. Вугал паміж дзвюмя пласкасцямі. Параметрычнае выяўленне прамой у прасторы. Прамая як перасячэнне дзвюх пласкасцей. Узаемнае размяшчэнне дзвюх прамых у прасторы. Узаемнае размяшчэнне прамой і плоскасці. Вугал паміж прамой і плоскасцю. Правыя і левыя базісы вектараў прасторы. Прыклады. Вектарны здабытак вектараў прасторы. Прыклады. Выпадак калінеярных вектараў. Геаметрычны сэнс даўжыні вектарнага здабытку. Асноўныя уласцівасці вектарнага здабытку. Формула вылічэння вектарнага здабытку у правым ортаўнармаваным базісе. Змешаны здабытак вектараў прасторы. Геаметрычны сэнс модуля змешанага здабытку. Крытэр кампланарнасці трох вектараў. Формула вылічэння змешанага здабытку у правым ортаўнармаваным базісе. Асноўныя уласцівасці змешанага здабытку. Няхай – адвольны тэтраэдр. Кожнай яго грані паставім у адпаведнасць вектар, які пачынаецца з пункта гэтай грані і ей артаганальны, накіраваны па-за тэтраэдр і мае даўжыню, роўную плошчы гэтай грані. Даказаць, што сума усіх чатырох такіх вектароў роўна нулявому вектару. Пункты з’яўляюцца пунктамі перасячэння медыян граней тэтраэдра . Знайсці адносіну аб’емаў тэтраэдраў і . Дац. Мілаванаў М.В. |