Спампаваць 192.55 Kb.
|
НЯВЫЗНАЧАНЫ ІНТЭГРАЛ §1 Паняцце першаiснай i нявызначанага iнтэграла. 1o Паняцце першаiснай. Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi, тэхнiкi прыводзяць нас да неабходнасцi рашэння адваротнай задачы, г.зн. знаходжанне функцыi ![]() ![]() Напрыклад, задача вызначэння закона руху матэрыяльнага пункта па зададзенай хуткасцi. Азначэнне 1: Функцыя ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Прыклад: . Першаiснай для функцыi ![]() ![]() ![]() i г. д. таксама зяўляюцца першаiснымi функцыi ![]() ТЭАРЭМА 1: Няхай функцыя ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказ: 1.Так як ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Па азначэнню гэта азначае , што функцыя ![]() ![]() ![]() ![]()
(1) Няхай Ф – адвольная першаiсная для функцыi ![]() (2) З (1) i (2) вынiкае, што ![]() ![]() – пастаянны лiк.▼ Вынiк: Няхай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 2o Паняцце нявызнаанга інтэграла Азначэнне 2: Мноства ўсiх першаiсных функцыi ![]() ![]() ![]() Чытаецца так: iнтэграл ад ![]() ![]() ![]() ![]() , ![]() Такiм чынам, па азначэнню ![]() дзе ![]() ![]() Прыклад: ![]() Такiм чынам, знаходжанне нявызначанага iнтэграла зводзiцца да знаходжання якой-нiбудзь адной першаiснай для падынтэгральнай функцыi. Знаходжанне нявызначанага iнтэграла называецца iнтэграваннем дадзенай функцыi. §2 Асноўныя ўласцівасцi нявызначанага iнтэграла 10. ![]() Роўнасць (1) вiдавочная, так як функцыя ![]() ![]() Прыклад. ![]() Заўвага. Формула (1) можа быць запiсана ў выглядзе ![]() 20. ![]() Гэтую роўнасцьтрэба разумець так: вытворная нявызначанага iнтэграла роўна падынтэгральнай функцыi. Справядлiвасць яе вынiкае з азначэння першаiснай: Заўвага. Калi выкарыстаць азначэнне дыферэнцыяла, то з (2) атрымаем ![]() Гэта азначае, што дыферэнцыял ад нявызначанага iнтэграла роўны падынтэгральнаму выразу. 30. Калi функцыi ![]() ![]() ![]() ![]() (3) Гэта азначае, што нявызначаны iнтэграл ад сумы функцый роўны суме нявызначаных iнтэгралаў ад дадзеных функцый.. Роўнасць (3) будзем разумець як роўнасць двух мностваў. У левай часцы маем мноства ўсiх першаiсных для функцыi ![]() ![]() ![]() ![]() Доказ. Няхай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Разгледзiм функцыю ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Дакажам роўнасць (3). Так як ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() дзе С – адвольная пастаянная. Так як ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() дзе ![]() ![]() Такiм чынам, у левай часцы рощнасцi (3) мы маем мноства функцый выгляду У правай часцы – мноства функцый выгляду На падставе таго, што С, ![]() ![]() Прыклад. 40. Калі функцыя ![]() ![]() ![]() ![]() г.зн., пастаянны множнік можна выносіць за знак інтэграла. Доказ. Роўнасць (4) мы разумеем як роўнасць двух мностваў – мноства першаісных функцыі ![]() ![]() ![]() Няхай ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так як ![]() ![]() ![]() ![]() 50. Інтэграл ад лінейнай камбінацыі функцый роўны лінейнай камбінацыі інтэгралаў ад разглядаемых функцый, г.зн. ![]() дзе ![]() ![]() ![]() Гэтая ўласцівасць называецца ўласцівасю лінейнасці. Яе справядлівасць вынікае з уласцівасцей 30 і 40. §2 Табліца асноўных інтэгралаў Няхай функцыя ![]() 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() 4. ![]() 5. ![]() 6. ![]() 7. ![]() 8. ![]() 9. ![]() 10. ![]() 11. ![]() 12. ![]() 13. ![]() 14. ![]() Тут du – дыферэнцыял функцыі u(х) і ён роўны du=u’(x)dx. Доказы. 1. ▼ 2. Калі ![]() ![]() Такім чынам, ![]() 11. ![]() Прыклады. 1. ![]() 2. ![]() 3. ![]() §3 Метады інтэгравання. |
![]() | Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi,... | ![]() | Аднаму багатаму чалавеку прыснілася, што ён апынуўся ў вечнасці. Праз некаторы час ён адчуў голад, таму запытаўся ў сустрэчнага,... |
![]() | Гэты тэрмін паходзіць ад слова "marketplace" (рынак), які азначае месца, дзе сустракаюцца пакупнікі І прадаўцы | ![]() | Што такое дызайн? ( Слова “дызайн” азначае “праектаваць”, “чарціць”. Гэта від дзейнасці па стварэнню зручных І прыгожых рэчаў) |
![]() | Заўвага. Падзеленасць у тым, што каля dx знаходзіцца толькі функцыя ад X, а каля dy — функцыя ад y | ![]() | Апошняе мяне надзвычай усцешыла. Бо хаця, як мне здаецца, я ўмею крэмзаць не толькі па-беларуску, але думаю выключна на “матчынай”... |
![]() | Прыклад Графік функцыі y = f(X), непарыўнай на адрэзку [a, b], з’яўляецца крывой Жардана | ![]() | Раскладзем гэты паліном па ступеням (х–а), дзе а – некаторы сапраўдны лік, г зн уявім Рn(Х) у выглядзе |
![]() | Прачытайце. Устаўце прапушчаныя лiтары. Падкрэслiце дзеясловы. Вызначце лiк дзеясловаў | ![]() | Беларусь у складзе Рэчы Паспалітай не магла весці самастойнай знешняй палітыкі. Але гэта не азначае, што насельніцтва Беларусі не... |