+, дзе некаторы пастаянны лiк: Па азначэнню гэта азначае, што функцыя +

НЯВЫЗНАЧАНЫ ІНТЭГРАЛ §1 Паняцце першаiснай i нявызначанага iнтэграла. 1o Паняцце першаiснай. Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi, тэхнiкi прыводзяць нас да неабходнасцi рашэння адваротнай задачы, г.зн. знаходжанне функцыi па яе вытворнай . Напрыклад, задача вызначэння закона руху матэрыяльнага пункта па зададзенай хуткасцi. Азначэнне 1: Функцыя называецца першаiснай ( першавобразнай) для функцыi на прамежку , калi для ўсiх з прамежку мае месца роўнасць . Прыклад: . Першаiснай для функцыi на з’яўляецца функцыя , так як . Нецяжка заўважыць, што функцыi i г. д. таксама зяўляюцца першаiснымi функцыi . ТЭАРЭМА 1: Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку . Тады пры адвольным пастаянным , функцыя + таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку . Кожная першаiсная на прамежку , з’яўляецца функцыей выгляду +, дзе - некаторы пастаянны лiк. Доказ: 1.Так як - першаiсная функцыi , то па азначэнню .Разгледзiм функцыю+, дзе - некаторы пастаянны лiк: Па азначэнню гэта азначае , што функцыя + - першаiсная функцыi на прамежку . Так як першаiсная функцыi на прамежку Х, то (1) Няхай Ф – адвольная першаiсная для функцыi на прамежку Х, г.зн., што (2) З (1) i (2) вынiкае, што . Так як функцыi i Ф на прамежку Х маюць роўныя вытворныя , то на гэтым прамежку яны адрознiваюца на пастаянную. Гэта значыць, што – пастаянны лiк.▼ Вынiк: Няхай якая-небудзь першаiсная для функцыi на прамежку Х . Мноства ўсiх функцый выгляду +, дзе С – адвольны пастаянны лiк есць мноства ўсiх першаiсных для функцыi на прамежку Х. 2o Паняцце нявызнаанга інтэграла Азначэнне 2: Мноства ўсiх першаiсных функцыi на прамежку Х называецца нявызначаным iнтэгралам ад функцыi на гэтым пармежку i абазначаецца . Чытаецца так: iнтэграл ад ад х . Сiмвал называецца знакам нявызначанага iнтэграла, , . Такiм чынам, па азначэнню , дзе - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , С – адвольная пастаянная. Прыклад: . Такiм чынам, знаходжанне нявызначанага iнтэграла зводзiцца да знаходжання якой-нiбудзь адной першаiснай для падынтэгральнай функцыi. Знаходжанне нявызначанага iнтэграла называецца iнтэграваннем дадзенай функцыi. §2 Асноўныя ўласцівасцi нявызначанага iнтэграла 10. (1) Роўнасць (1) вiдавочная, так як функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi . Прыклад. . Заўвага. Формула (1) можа быць запiсана ў выглядзе . (1’) 20. (2) Гэтую роўнасцьтрэба разумець так: вытворная нявызначанага iнтэграла роўна падынтэгральнай функцыi. Справядлiвасць яе вынiкае з азначэння першаiснай: Заўвага. Калi выкарыстаць азначэнне дыферэнцыяла, то з (2) атрымаем . (2’) Гэта азначае, што дыферэнцыял ад нявызначанага iнтэграла роўны падынтэгральнаму выразу. 30. Калi функцыi i маюць першаiсныя, то функцыя + таксама мае першаiсную, прычым (3) Гэта азначае, што нявызначаны iнтэграл ад сумы функцый роўны суме нявызначаных iнтэгралаў ад дадзеных функцый.. Роўнасць (3) будзем разумець як роўнасць двух мностваў. У левай часцы маем мноства ўсiх першаiсных для функцыi +. Правую частку разумеем як мноства магчымых функцый , кожная з якiх прэдстаўляе сабой суму якой-нiбудзь першаiснай для i якой-нiбудзь першаiснай для . Доказ. Няхай - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , а - якая-нiбудзь першаiсная для функцыi . Тады па азначэнню першаiснай будзем мець i . Разгледзiм функцыю . Гэта функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi +, так як . Адсюль вынiкае, што iснуе першаiсная функцыi +. Дакажам роўнасць (3). Так як з’яўляецца першаiснай для функцыi +, то па азначэнню нявызначага інтэграла +С, дзе С – адвольная пастаянная. Так як - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , а - якая-нiбудзь першаiсная для функцыi , то =+, дзе i - адвольныя пастаянныя. Такiм чынам, у левай часцы рощнасцi (3) мы маем мноства функцый выгляду У правай часцы – мноства функцый выгляду На падставе таго, што С, , - адвольныя пастаянныя велiчынi, то гэтыя мноствы роўныя. Адсюль вынiкае справядлiвасць роўнасцi (3). ▼ Прыклад. 40. Калі функцыя мае першаісную і - сапраўдны лік , то функцыя таксама мае першаісную, прычым , (4) г.зн., пастаянны множнік можна выносіць за знак інтэграла. Доказ. Роўнасць (4) мы разумеем як роўнасць двух мностваў – мноства першаісных функцыі і мноства функцый, якія з’яўляюцца здабыткам на першаісную функцыі . Няхай - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , тады - першаісная функцыі , так як . Згодна з азначэннем вызначанага інтэграла , з другога боку . Так як , то з роўнасці С1=С2 для кожнага С2 можна знайсці С1 і наадварот. Значыць мноствы функцый і супадаюць, што і даказвае роўнасць (4).▼ 50. Інтэграл ад лінейнай камбінацыі функцый роўны лінейнай камбінацыі інтэгралаў ад разглядаемых функцый, г.зн. , (5) дзе і - пастаянныя і . Гэтая ўласцівасць называецца ўласцівасю лінейнасці. Яе справядлівасць вынікае з уласцівасцей 30 і 40. §2 Табліца асноўных інтэгралаў Няхай функцыя дыферэнцавальная на некаторым прамежку Х. Кожная з наступных формул справядлівая на адвольным прамежку, які змяшчаецца ў абсягу вызначэння. 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11. ; 12. ; 13. ; 14. . Тут du – дыферэнцыял функцыі u(х) і ён роўны du=u’(x)dx. Доказы. 1. ▼ 2. Калі , то . Калі , то Такім чынам, .▼ 11. ▼ Прыклады. 1. 2. 3. §3 Метады інтэгравання.

Падобныя:

	Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi,...		Што сапраўды мае вартасць Аднаму багатаму чалавеку прыснілася, што ён апынуўся ў вечнасці. Праз некаторы час ён адчуў голад, таму запытаўся ў сустрэчнага,...
	Што такое маркетынг? Гэты тэрмін паходзіць ад слова "marketplace" (рынак), які азначае месца, дзе сустракаюцца пакупнікі І прадаўцы		Выяўленчае мастацтва. 5 клас тэма Што такое дызайн? ( Слова “дызайн” азначае “праектаваць”, “чарціць”. Гэта від дзейнасці па стварэнню зручных І прыгожых рэчаў)
	2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца Заўвага. Падзеленасць у тым, што каля dx знаходзіцца толькі функцыя ад X, а каля dy — функцыя ад y		Калі гаспадары сайта "Наше мнение" запрашалі мяне прыняць удзел у ІХ паважным праекце, то, між іншым, заўважылі, што я магу пісаць на сваёй любімай беларускай Апошняе мяне надзвычай усцешыла. Бо хаця, як мне здаецца, я ўмею крэмзаць не толькі па-беларуску, але думаю выключна на “матчынай”...
	4. Няхай у палярнай сістэме каардынат дадзена крывая , якая зададзена раўнаннем r=f(), (5) дзе f – непарыўная на [;] функцыя. Дакажам, што – з'яўляецца крывой Жардана. Дадатковыя звесткі Прыклад Графік функцыі y = f(X), непарыўнай на адрэзку [a, b], з’яўляецца крывой Жардана		), якая з’яўляецца паліномам (мнагачлен) n-ай ступені Раскладзем гэты паліном па ступеням (х–а), дзе а – некаторы сапраўдны лік, г зн уявім Рn(Х) у выглядзе
	Час I лiк дзеясловаў Прачытайце. Устаўце прапушчаныя лiтары. Падкрэслiце дзеясловы. Вызначце лiк дзеясловаў		Войны беларусі другой палове XVI ст Беларусь у складзе Рэчы Паспалітай не магла весці самастойнай знешняй палітыкі. Але гэта не азначае, што насельніцтва Беларусі не...