«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў




Назва«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
Дата канвертавання15.01.2013
Памер208.43 Kb.
ТыпДокументы


Матэрыялы

для практычных заняткаў па матэматычнаму анализу па тэме

«Нявызначаны інтэграл»

(группы 201 і 202)

Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў



1

, ? ? ? 1

10




2




11




3




12




4




13




5




14




6




15




7




16




8




17


18




9




19






Занятак №1

Заданне 1. Таблічнае інтэграванне

Рашыць з дапамогай таблiцы:

а)



Заданне 2. Метад інтэгравання: замена зменнай.

1°. = = =F(x) + c = F(u(t)) + c.

Гэты метад называецца метадам паднясення пад знак дыферэнцыяла.

Напрыклад: I = = I1 + 3I2

I1 = = ; I2 = = = ? = ? lnu =

= ? ln?1+x2?; I = ? ln?1?x2? + C.

Рашыць:

а) б) в) г) д)

е) ж) з) i)

Заўвага 1. На падставе ўласцівасці першаіснай мае месца роўнасць:

=

Напрыклад: I =

Рашыць:

а) б) в) г) д)

2?. Метад падстаноўкi

= = = F(u(t)) + c, дзе u(t)= х.

Напрыклад: I = =

= 2

Рашыць:

а) ; б) ; в)

Заданне 2. Метад iнтэгравання часткамi

Няхай функцыі u(х) і v(x )дыферэнцавальныя і непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць:

,

або карацей - формула інтегравання часткамі.

Напрыклад: 1) = = uv ? = ? == ? = ? + C.

2) I = = = uv ? = ex sin3x ?

? = ex sin3x ? 3= ex sin3x ? (ex cos3x + 3) = ex sin3x ? 3 ex cos3x ? ? 9) = ex (sin3x ? 3 cos3x) – 9?I,

дзе I = . I + 9?I = = ex (sin3x ? 3 cos3x) ? I = + C.


Рашыць:



Занятак №2

Iнтэграванне рацыянальных функцый (рацыянальных дробаў)

Заданне 1. Інтеграванне простых рацыянальных дробаў выгляду: (І), (ІІ), (ІІІ), (IY), дзе A, a, M, N, p, q ? R, n ? N, D = p2 – 4q < 0.

Напрыклад, = = =

= = = = ?x – ½ = u?= = = = = + C.

Рашыць:

Заўвага 2. Выпадку (IY) папярэднічае рэкурэнтная формула для інтэграла = .

Рашыць:


Заданне 2. Інтеграванне рацыянальных дробаў (метад нявызначаных каэфiцыентаў).

Напрыклад: 1) I =; = + + = = ?

5x2 – 4x – 81 ? A(x-1)(x+4) + B(x-3)(x+4) + C(x-3)(x-1) (1) ? Скарыстаем метад прыватных значэнняў зменнай х. Нулi назоўнiка: х = 3, 1, -4 падставiм у абедзве часткi тоеснасцi (1):
x = 3 ? 42 = 14A ? A = 3;x = 1 ? - 70 = - 10С ? С = 7;х = -4 ? 175 = 35В ?В = 5.

I = + + = 3ln?x-3? + 5ln?x-1? + 7ln?x+4? == ln?(x-3)3 (x-1)5(x+4)7? + C.

2) I =; = + = ? x ? Ax2 – Ax + A + Bx2 + Bx + Cx + 1 ?

0x2 + x + 0xo ? x2 (A + B) + x (B – A + C) + (A + С).

Прыраўняем каэфицыенты пры аднолькавых ступенях х:

Рашым сiстэму i атрымаем: А = - 1/3, B = 1/3, C = 1/3.

I = + = ln?x+1?+ I1.

I1 = = = = =

= = + = ln?t2+?+ : arctg =

= ln?x2 – x + 1? + arctg + C.

Заўвага 3. Інтэграванне рацыянальных дробаў падпарадкоўваецца наступнаму алгарытму: 1) выдзяліць цэлую частку, калі дроб няправільны;

2) раскласці назоўнік на простыя множнікі ;

3) скарыстаць метад нявызначаных каэфіцыентаў.

Рашыць:



Занятак №3

Iнтэграванне некаторых iрацыянальных функцый

Заданне 1. Інтэграванне функцый выгляду , дзе n?N, a,b,c,d?R (падстаноўка ).

Заўвага 4. Інтэграл ад функцыі рацыяналізуецца падстаноўкай , дзе k = НАК(k1,k2,…,kn).

Напрыклад: 1) = = 6

= 6 (дроб няправільны ? вылучаем цэлую частку) =

= 6 = t4 + 6 arctg t = + 6 arctg+ C.

Рашыць:



Заданне 2. Iнтэграванне дыферэнцыяльных биномаў ,дзе

m, n, p – рацыянальныя лiкi.

Заўвага 5. Будзем карыстацца умовамi Чэбышава:

1. а) m, n, p ?Z ? інтэграл ад рацыянальнай функцыі.

б) p ?Z, m, n – дробы, тады I = рацыяналізуецца падстаноўкай x = ts.

2. рдробавы лік: 1) калі ? Z, то працуе падстаноўка a+bxn = ts, дзе s – назоўнік р ; 2) калі ?Z, то лічым , калі гэта сума ? Z, то працуе падстаноўка a + bxn = ts?xn.

Напрыклад: 2) = = ? =

= ? = = ? = ? + ? =

= ? + ? + C.

Рашыць:



Заданне 3. Інтэгралы тыпу рацыяналізаваць, так званай, адваротнай падстаноўкай .

Рашыць:



Заданне 4. Трыганаметрычныя падстаноўкі:

  • калі інтэграл мае радыкал , то паложым .

  • калі інтэграл мае радыкал , то паложым .

  • калі інтэграл мае радыкал , то паложым .

Рашыць:



Заданне 5. Інтэграл тыпу рацыяналізуецца двума спосабами :

1) выдзяленнем поўнага квадрата з трохсклада i ўвядзеннем адпаведнай падстаноўкi (гл.занятак 2, заданне 1, прыклад);

2) з дапамогай адной з наступных падстановак Эйлера:

1) = , a > 0;

2) = t (x ? ?), дзе ? - корань ;

3) = , с > 0.

Напрыклад: I = = =

==метад нявызначаных каэф.

Рашыць:






Занятак №4

Iнтэграванне трыганаметрычных функцый

Заданне 1. Інтэгралы тыпу рацыяналізаваць з дапамогай універсальнай падстаноўкі .

Напрыклад: I = = =

= = (дроб інтэгруем метадам нявызначаных каэфіцыентаў). = ln?tg? + ln? tg ?3? ? ln? tg?1?=C.

Рашыць:

Заданне 2. Інтэгралы тыпу рацыяналізаваць з дапамогай універсальнай падстаноўкi .

Напрыклад: = = = =

= = = = +C.


Рашыць:

Заданне 3. Інтэгралы тыпу ,дзе

рацыяналізаваць у наступных выпадках:

1) калi m=2k+1- няцотны дадатны лiк, то будзем карыстацца метадам паднясення пад знак дыферэнцыяла;

2) калi m, n = 2k – цотны дадатны лiк, то будзем карыстацца формулами панижэння ступенi: I .

3) калi m,n = 2k i прынамсi адзiны з iх адмоўны, то будзем карыстацца падстаноўками або

4) калi выконваецца роўнасць R(-sinx,cosx) = -R(sinx,cosx), то будзем карыстацца падстаноўкай cos x= t, а калi выконваецца роўнасць R(sinx,-cosx) = -R(sinx,cosx), то будзем карыстацца падстаноўкай sin x= t.

Напрыклад: 1) = = = = + c.

= = ==(x ? sin2x + )=(x ? sin2x + (x + sin2x)) = x ? sin2x + x + sin2x = ? sin2x +sin2x + C.





Рашыць:






Занятак №5

Iнтэграванне iншых трансцэндэнтных функцый.

Iнтэграванне розных функцый

Заданне 1. Інтэгралы тыпу рацыяналізаваць з дапамогай падстаноўкі .

Напрыклад:

Рашыць:



Заданне 2. Знайсцi iнтэгралы, карыстаючысь рознымi метадамi iнтэгравання.

Рашыць:












Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка
М інтэгральнае злічэнне функцыі адной зменнай. Нявызначаны інтэграл. Вызначаны інтэграл: Вучэб метад дапам. / В. Р. Мядзведзева,...

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка
М інтэгральнае злічэнне функцыі адной зменнай. Нявызначаны інтэграл. Вызначаны інтэграл: Вучэб метад дапам. / В. Р. Мядзведзева,...

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў icon630004, г. Новосибирск, ул. Челюскинцев, д. 14/2, офис 406 Тел. (383) 201-09-93, 201-09-41, 201-04-78
Встреча группы на железнодорожном вокзале Новосибирск – Главный за 1 час до отправления поезда. Отправление в Москву, поезд (плацкарт)....

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconТо говорить, когда давала скиптр. (7, 201)
Зажгла б все корабли, и с сыном бы отца Истнила, и сама поверглась бы на них. (7, 202)

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconЗацвярджаю старшыня прафкама на I і паўгоддзе 201 2 /201 3 Дырэктар установы

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconОсновно училище „васил априлов бургас учебна 201 2 / 201 3 година – I срок

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconПрайс-лист тм "Флора Плюс" на 201 1 -201 2 р

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconПлан тыдня пачатковых класа ў з 22. 10. 201 2 г п а 26. 10. 201 2 г
Конкурс малюнкаў па правілах дарожнага руху «Правила – твои друзья. Забывать друзей нельзя!»

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconЧемпионат Молодежной Хоккейной Лиги – Открытый Чемпионат России по хоккею среди молодежных команд сезона 201 1 -201 2 годов

«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў iconМэта І задачы школы на 201 1 /201 2 навучальны год
Удасканаленне адукацыйнага працэсу, які забяспечвае якасную адукацыю, развіццё, выхаванне творча думаючай асобы з высокім узроўнем...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка