Дифференциальная геометрия и топология




НазваДифференциальная геометрия и топология
Ю П Золотухин
Дата канвертавання23.11.2012
Памер100.62 Kb.
ТыпДокументы
Учреждение образования

Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”



УТВЕРЖДАЮ

Ректор

Учреждения образования

“Гродненский государственный

университет имени Янки Купалы”

___________________ Е.А.Ровба

____________ 2009 г.

Регистрационный № _____________/уч.





дифференциальная геометрия и топология



Учебная программа для специальности:


1-31 03 01-02 Математика (научно-педагогическая деятельность)


2009 г.


СОСТАВИТЕЛЬ:

Ю.П.Золотухин, доцент кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики Учреждения образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы», кандидат физико-математических наук


РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Мартынов И.П., заведующий кафедрой математического анализа Учреждения образования «Гродненский государственный университет имени Янки Купалы», доктор физико-математических наук, профессор,

Тыщенко В.Ю., доцент кафедры технической механики и материаловедения Учреждения образования «Гродненский государственный аграрный университет», кандидат физико-математических наук


РЕКОМЕНДОВАНА К УТВЕРЖДЕНИЮ:

Кафедрой алгебры, геометрии и методики преподавания математики

(протокол № __ от ________2009 г.);
Методической комиссией факультета математики и информатики

(протокол № __ от ________2009 г.);

Научно-методическим советом Учреждения образования “Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”

(протокол № __ от ________2009 г.);


Ответственный за редакцию: ___________________________

(И.О.Фамилия)


Ответственный за выпуск: ___________________________

(И.О.Фамилия)


ТЛУМАЧАЛЬНАЯ ЗАПІСКА


Дыферэнцыяльная геаметрыя і тапалогія – фундаментальная вучэбная дысцыпліна матэматычных спецыяльнасцяў універсітэтаў. Яна глыбока інтэгравана ў сістэму падрыхтоўкі студэнтаў-матэматыкаў, забяспечвае авалоданне імі асноватворных, святапоглядных ідэй – геаметрычнай і тапалагічнай інварыянтнасцяў, лакальнасці і глабальнасці, непарыўнасці і гладкасці, а, таксама, дастаўляе ім апарат для рашэння разнастайных матэматычных і прыкладных задач.

Таму адной з галоўных мэтаў выкладання дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі трэба лічыць перадачу асноў адпаведных навук на ўзроўне, які можа стварыць умовы для фарміравання асобы матэматыка-прафесіянала. З другога боку, дадзеная дысцыпліна валодае вялікім патэнцыялам для развіцця агульнай і матэматычнай культуры будучых настаўнікаў, шэраг якіх папоўняць многія выпускнікі матэматычных факультэтаў. Пры састаўленні праграмы ставілася, таксама, мэта - задаволіць запытам гэтай часткі слухачоў.

Адбор матэрыялу асноўваўся на наступных, галоўных прынцыпах:

адпавядання традыцыйным прадстаўленням пра змест і структуру дысцыпліны;

задавалення новым адукацыйным стандартам вышэйшай школы;

уліка запытаў як фундаментальнага навуковага, так і прафесійнага педагагічнага накірункаў падрыхтоўкі;

выканання сучасных патрабаванняў гуманізацыі і гуманітарызацыі прафесійнай адукацыі.

Праграма складаецца з дзвюх частак: I – Элементы дыферэнцыяльнай геаметрыі, II – Элементы тапалогіі. Сувязь паміж імі забяспечваецца у першую чаргу, адзінствам аб’екта вывучэння. Крывыя паверхні, тапалагічныя прасторы, непарыўныя мнагастайнасці, гладкія мнагастайнасці трактуюцца з адзінага пункту гледжання - як прасторы, спецыфіка якіх вызначае метады, а, таксама, ступень абстрактнасці іх даследвання.

З улікам патрабанняў педагагічнай прафесіі слухачоў асобная увага ў курсе павінна быць удзелена крывым і паверхням у еўклідавай прасторы. Вывучэнне іх уласцівасцяў метадамі дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі паглыбіт веды будучых настаўнікаў матэматыкі аб асноўных геаметрычных аб’ектах, будзе садзейнічаць развіццю прасторавых прадстаўленняў і павышэнню графічнай культуры.

Важнае месца ў дысцыпліне адводзіцца вывучэнню тапалагічных прастораў, іншымі словамі, агульнай ці тэарэтыка-мноственнай тапалогіі. Тэорыя тапалагічных прастораў выступае тут не толькі як крыніца мнагастайных метадаў і фактаў, неабходных для развіцця самых розных накірункаў матэматыкі, але як універсальная матэматычная мова і аснова для яе філасофскага і метадалагічнага асэнсавання .

Праграмай прадугледжваецца прасунатае знаёмства з важнейшымі аб’ектамі сучаснай матэматычнай навукі – непарыўнымі і гладкімі мнагастайнасцямі. Асноўная мэта выкладання адпаведных частак курса - залажыць пачатковую базу тапалагічнай падрыхтоўкі, якой смаглі бы скарыстацца ў далейшым тыя студэнты, якія будуць займацца матэматыкай прафесійна.

Пры ўкараненні дадзенай праграмы ў навучальны працэс рэкамендуецца прытрымлівацца наступных педагагічных прыёмаў: адказа ад злаўжывання фармальна-лагічнымі спосабамі выкладання матэрыял, вар’іравання яго ўзроўнеў строгасці, у прыватнасці, разумнага абмяжавання ў неабходных выпадках; шырокага выкарыстання наяўных разважанняў і прыкладаў; максімальнага павялічэння практычных заняткаў; асвятлення пытанняў метадалогіі і гісторыі дысцыпліны; выкарыстання занімальных, гістарычных і прыкладных задач.

Акрамя таго, прадлагаецца карыстацца метадамі дыферэнцавання навучання, а таксама актывізаваць самастойную працу студэнтаў па вывучэнню курса, у прыватнасці, прыцягваючы іх да удзелу у ВДР (вучэбна-даследчай рабоце) па прадмету, і даручаючы ім выкананне індывідуяльных тэарэтычных і практычных заданняў.


ЗМЕСТ НАВУЧАЛЬНАГА МАТЭРЫЯЛУ


ЧАСТКА I. ЭЛЕМЕНТЫ ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНАЙ ГЕАМЕТРЫІ


Прадмет і метады дыферэнцыяльнай геаметрыі. Кароткія гістарычныя звесткі.


1. КРЫВЫЯ


Вектар-функцыі скалярнага аргумента.

Паняцце элементарнай, простай і агульнай крывых. Параметрычны спосаб задання крывых у дэкартавых каардынатах.

Гладкія крывыя. Эквівалентныя параметрызацыі. Яўнае і неяўнае заданні крывых у дэкартавых каардынатах. Заданне крывых у недэкартавых каардынатах.

Знакамітыя крывыя.

Датычная прамая, нармаль крывой. Вугал паміж крывымі. Даўжыня дугі. Натуральная параметрызацыя.

Судатыкальная плокасць. Суправаджальны трохграннік прасторавай крывой. Кананічны рэпер. Формулы Фрэнэ.

Крывізна і кручэнне крывой. Геаметрычны сэнс знакаў крывізны і кручэння. Пункты выпроствання. Пункты сплашчэння.

Будова крывой у наваколлі яе звычайнага пункта. Натуральныя раўнанні. Асноўная тэарэма тэорыі крывых. Крывыя пастаяннай крывізны і кручэння.

Плоскія крывыя. Судатыканне крывых. Эвалюта і эвальвента.


  1. ПАВЕРХНІ


Вектар-функцыі дзвюх скалярных аргументаў.

Паняцце элементарнай, простай і агульнай паверхні. Параметрычны спосаб задання паверхняў у дэкартавых каардынатах.

Гладкія паверхні. Эквівалентныя параметрызацыі. Яўнае і неяўнае заданні паверхняў у дэкартавых каардынатах.

Лінейчатыя паверхні (касыя, разгортвальныя). Паверхні вярчэння.

Крывыя на паверхнях. Каардынатныя лініі параметрызаванай паверхні. Датычная плоскасць, нармаль паверхні. Рухомы бызіс параметрызаванай паверхні.

Першая квадратычная форма паверхні (рыманава метрыка). Прымяненні першай квадратычнай формы да вылічэння даўжыні дугі, вугла паміж крывымі, плошчы вобласці на паверхні.

Другая квадратычная форма паверхні. Нармальная і геадэзічная крывізны крывой на паверхні. Нармальная крывізна паверхні ў пункце ў дадзеным напрамку Класіфікацыя пунктаў паверхні.

Галоўныя напрамкі і галоўныя крывізны ў пункце паверхні. Амбілічныя пункты. Тэарэма Эйлера. Характэрыстычнае раўнанне. Сярэдняя і поўная крывізны паверхні.

Будова паверхні ў наваколлі эліптычнага, гіпербалічнага, парабалічнага пунктаў. Паверхні знакапераменнай, знакапастаяннай, пастаяннай поўнай крывізны. Мінімальныя паверхні. Асімптатычныя лініі. Лініі крывізны.

Індэксныя абазначэнні і правіла сумавання Эйнштэйна. Спалучаны рухомы базіс параметрызаванай паверхні. Дэрывацыйныя формулы Гауса і Вейнгартэна. Сімвалы Крыстофеля. Асноўныя раўнанні тэорыі паверхняў (раўнанні Гауса-Петэрсона-Кадацы). Тэарэма Гауса. Асноўная тэарэма тэорыі паверхняў (тэарэма Банэ).

Паняцце аб унутранай геаметрыі паверхняў. Геадэзічныя лініі. Экстрэмальныя уласцівасці геадэзічных. Тэарэма Гауса-Банэ. Інтэгральная крывізна вобласці на паверхні. Сферычнае адлюстраванне. Тэарэма Гауса аб плошчы сферычнага вобраза вобласці. Дэфект геадэзічнага трохвугольніка. Мадэль Бельтрамі геаметрыі Лабачэўскага.

Рыманава метрыка ў вобласці на плоскасці. Мадэль Пуанкарэ геаметрыі Лабачэўскага.


ЧАСТКА II. ЭЛЕМЕНТЫ ТАПАЛОГІІ


Прадмет і метад тапалогіі. Кароткія гістарычныя звесткі.


  1. ТАПАЛОГІЧНЫЯ ПРАСТОРЫ


Метрычныя прасторы. Прыклады метрычных прастораў. Унутраная метрыка паверхні. Індуцыраваная метрыка. Падпрастора метрычнай прасторы. Шары і сферы. Абмежаваныя мноствы. Адкрытыя мноствы і натуральная тапалогія метрычнай прасторы.

Тапалагічныя прасторы. Прыклады тапалагічных прастораў. Дыскрэтная і антыдыскрэтная прасторы. Параўнанне тапалогій. Замкнутыя мноствы. Будова адкрытых і замкнутых мностваў на прамой. Кантарава дасканалае мноства. Індуцыраваная тапалогія. Паўпрастора тапалагічнай прасторы.

Геаметрыя тапалагічнай прасторы. Наваколле пункта. Пункты дакранання і вонкавыя пункты мноства. Унутраныя і гранічныя пункты дакранання. Лімітавыя і ізаляваныя пункты дакранання. Замыканне мноства и замкнутае мноства. Аператар замыкання. Крытэрый замкнутасці мноства. Унутранасць мноства і адкрытае мноства. Аператар унутранасці. Крытэрый адкрытасці мноства. Усюды шчыльнае і нідзе не шчыльнае мноства. Сепарабельныя прасторы.

Непарыўныя адлюстраванні. Крытэрый непарыўнасці адлюстраванняў. Ліміт паслядоўнасці элементаў тапалагічнай прасторы.

Гамеаморфныя адлюстраванні. Паняцце аб адкрытых і замкнутых адлюстраваннях. Укладанне і пагружэнне. Тапалагічная эквівалентнасць прастораў. Тапалагічныя ўласцівасці і інварыянты. Тапалагічная класіфікацыя. Поўная сістэма тапалагічных інварыянтаў.

База, лакальная база, фундаментальная сістэма наваколляў тапалагічнай прасторы. Першая і другая аксіёмы злічонасці.

Аксіёмы адасаблення. Хаўсдорфавы прасторы. Рэгулярныя і нармальныя прасторы. Крытэрый Урысона метрызаванасці. Звязныя прасторы і мноствы. Кампаненты звязнасці. Абагульнёная тэарэма Бальцана-Кашы.

Лінейна-звязныя прасторы і мноствы. Судачыненне паміж звязнымі і лінейна-звязнымі прасторамі. Кампаненты лінейнай звязнасці.

Кампактныя прасторы і мноствы. Судачыненне паміж кампактнасцю і замкнутасцю. Кампактныя мноствы ў метрычнай прасторы. Крытэрыі кампактнасці мноства ў еўклідавай прасторы. Кампактнасць і непарыўныя адлюстраванні. Абагульнёная тэарэма Вейерштраса.

Прамы здабытак тапалагічных прастораў. Праекцыі. Кампаненты адлюстравання ў прамы здабытак прастораў. Тапалагічныя ўласцівасці прамых здабыткаў.

Фактарызацыя тапалагічных прастораў. Фактар-мноства, фактар-адлюстраванне, фактор-тапалогія, фактар-прастора. Тапалагічныя ўласцівасці фактар-прастораў. Цыліндр, двумерны тор, стужка Мёбіуса, праектыўная прастора як фактар-прастора квадрата. Розныя мадэлі праектыўнай плоскасці.



  1. МНАГАСТАЙНАСЦІ


Паняцце тапалагічнай (непарыўнай) мнагастайнасці. Прыклады тапалагічных мнагастайнасцяў. Падмнагастайнасці. Прамы здабытак мнагастайнасцяў. Бутэлька Клейна, праектыўная плоскасць, крэндзель як мнагастайнасці.

Мнагастайнасці з краем. Унутранасць і край як мнагастайнасці.

Арыентаваныя і неарыентаваныя мнагастайнасці. Прыклады неарыентаваных мнагастайнасцяў. Звязная сума мнагастайнасцяў. Звязная сума тора і праектыўнай плоскасці. Тапалагічная класіфікацыя кампактных звязных двумерных мнагастайнасцяў (паверхняў) і мнагастайнасцяў з краем (паверхняў з краем). Нармальныя (кананічныя) формы паверхняў і паверхняў з краем.

Гаматопія непарыўных адлюстраванняў. Гоматапічная эквівалентнасць прастораў. Множанне шляхаў. Фундаментальная група тапалагічнай прасторы.

Паняцце дыферэнцыяльнай (гладкай) мнагастайнасці. Прыклады дыферэнцыяльных мнагастайнасцяў. Праектыўная прастора як гладкая мнагастайнасць. Гладкія адлюстраванні, дыфеамарфізмы. Датычная прастора. Дыферэнцыял гладкага адлюстравання. Гладкая падмнагастайнасць. Пагружэнне і укладанне падмнагастайнасцяў.

ТЭМАТЫЧНЫ ПЛАН


РАЗДЗЕЛ

ЧАСЫ

лекции

лабораторные

практические

Ўводзіны

2







1. Крывыя

22




14

2. Паверхні

36




16

3. Тапалагічныя прасторы

48




26

4. Мнагастайнасці

8




4



ІНФАРМАЦЫЙНАЯ ЧАСТКА


АСНОЎНАЯ ЛІТАРАТУРА

  1. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. - М.: Наука, 1990. - 672 с.

  2. Александрян Р.А, Мирзаханян Э.А. Общая топология. - М.: Высш.школа, 1979. - 336 с.

  3. Дифференциальная геометрия (под ред. А.С.Феденко). - Мн.: Изд.-во БГУ, 1982. - 250 с.

  4. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1969. - 176 с.

  5. Топология (под ред. А.С.Феденко). - Мн.: Вышэйш. школа, 1990. - 318с.


ДАДАТКОВАЯ ЛІТАРАТУРА

  1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия.Ч.2. - М.: Просвещение, 1987.- 352 с.

  2. Норден А.П. Краткий курс дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1969. - 176 с.

  3. Позняк Э.Г., Шикин Е.В. Дифференциальная геометрия. - М.: Изд-во МГУ, 1990. - 384 с.

  4. Сборник задач по дифференциальной геометрии (под ред. А.С.Феденко). - М.: Наука, 1979. - 272 с.

  5. Розендорн Э.Р. Задачи по дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1971. - 64 с.

  6. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Наука, 1987. - 432 с.

  7. Мищенко А.С., Соловьев Ю.П., Фоменко А.Т. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд-во МГУ, 1981. - 184 с.

  8. Энкелькинг Р. Общая топология. - М.: Мир, 1986. - 752 с.

  9. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Дифференциальная геометрия» для студентов специальности 2013» Ю.П.Золотухин. - Гродно, 1987. - Ч.1. - 60 с.

  10. Методические указания к практическим занятиям по курсу «Дифференциальная геометрия» для студентов специальности 2013» Ю.П.Золотухин. - Гродно, 1989. - Ч.2. - 62 с.

  11. Золотухин Ю.П., Гринь А.А. Практикум по дифференциальной геометрии. Ч.1. - Гродно, 1998. - 93 с.

  12. Худенко В.Н., Махоркин В.В. Лекции по топологии.- Калининград, 2000. – 111 с.

  13. Методические рекомендации по теме “Дифференциальная геометрия и топология.”- Брест, 2001. – 45 с.

  14. Сборник тестов по дифференциальной геометрии и теории изображений. – Витебск,2002. – 31 с.

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Дифференциальная геометрия и топология iconКурсовая работа, (проект)
...

Дифференциальная геометрия и топология iconПрограмма (Приложение)
В. А. Стеклова ран планирует проведение в 2010 г. Международной конференции «топология, геометрия и динамика: к 90-летию в. А. Рохлина»....

Дифференциальная геометрия и топология iconТема: История геометрии как науки
...

Дифференциальная геометрия и топология iconНачертательная геометрия. Геометрия в живописи
Для того чтобы правильно выразить свои мысли с помощью рисунка, чертежа, эскиза требуется знание теоретических основ построения изображений...

Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная психология на пересечении европейских, российских и американских традиций
Требования практики

Дифференциальная геометрия и топология iconДифференциальная диагностика оки
Благоприятный, при септикопиемическом варианте –серьезный, летальность 0,2-0,3 %

Дифференциальная геометрия и топология iconЭтиология, эпидемиология, патогенез,классификация, клинические проявления, дифференциальная диагностика и лечение малярии
«Этиология, эпидемиология, патогенез,классификация, клинические проявления, дифференциальная диагностика и лечение малярии»

Дифференциальная геометрия и топология iconМетодическая разработка для ординаторов
Тема разработки: Дифференциальная диагностика аллергических болезней органов дыхания

Дифференциальная геометрия и топология iconВычислительная геометрия
Специальность 351500 – математическое обеспечение и администрирование информационных систем

Дифференциальная геометрия и топология iconРабочая программа по геометрии
Программы общеобразовательных учреждений: Геометрия 7 -9 кл./ Составитель: Т. А. Бурмистрова,Просвещение 2009г

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка