1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову




Назва1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову
Дата канвертавання23.11.2012
Памер175.24 Kb.
ТыпДокументы


Метад падобнасці рашэння задач на пабудову



Уводзіны

3

Глава 1

4

1.1. Метад падобнасці рашэння задач на пабудову

4

Глава 2

9

2.1. Прыклады рашэння задач

9

Вывады

16

Літаратура

17



Уводзіны

У цяперашні час тэорыя геаметрычных пабудаванняў прадстаўляе сабой развітую вобласць матэматыкі, звязанную з рашэннем розных прынцыповых пытанняў, якая ўваходзіць у іншыя раздзелы матэматыкі.

Асноўныя этапы рашэння геаметрычных задач на пабудаванне характэрны для плана рашэння любой матэматычнай задачы: аналіз, сінтэз, доказ і даследаванне з’яўляюцца яго неабходнымі элементамі.

Часта бывае не цяжка пабудаваць фігуру, падобную шукаемай або яе частцы. Гэта зручна тады, калі адна частка ўмовы задачы вызначае форму фігуры, а другая – яе памеры. У гэтым і заключаецца сэнс метада падобнасці.


1.1. Метад падобнасці рашэння задач на пабудову.

Геаметрычныя пабудаванні прываблівалі ўвагу старажытнагрэчаскіх матэматыкаў яшчэ ў VI – V ст. да нашай эры. Імі займаліся амаль усе вялікія грэчaскія геометры: Піфагор і яго вучні, Гіпакрат, Еўклід, Архімед, Апалоній, Папп і многія іншыя.

Матэматыкі са школы Піфагора ўжо змаглі вырашыць задачу на пабудову правільнага пяцівугольніка. У V ст. да н. э. узніклі вядомыя класічныя задачы аб квадратуры круга, аб падваенні куба, аб трысекцыі вугла. Гэтыя задачы у выніку аказаліся не рашаемыя з дапамогай цыркуля і лінейкі. У IV ст. да н. э. грэчaскія мысліцелі распрацавалі тую агульную схему рашэння геаметрычных задач на пабудову (аналіз – пабудаванні – доказ – даследаванне), якой мы карыстаемся і сёння.

Уся гісторыя геаметрыі і некаторых іншых раздзелаў матэматыкі цесна звязана з развіццём тэорыі геаметрычных пабудаванняў. Галоўныя аксіёмы геаметрыі, сфармуляваныя Еўклідам каля 300 г. да н. э., паказваюць, якую ролю адыгралі геаметрычныя пабудаванні ў фарміраванні геаметрыі. “Ад любога пункта да любога пункта можна правесці прамую лінію”, “Абмежаваную прамую можна непарыўна працягваць”, “З любога цэнтра і любым растворам можа быць апісаны круг” – гэты пастулаты Еўкліда яўна указваюць на асноўнае палажэнне канструктыўных метадаў у геаметрыі.

Старажытнагрэчаскія матэматыкі лічылі “ісцінна геаметрычнымі” толькі пабудаванні, выкананыя цыркулем і лінейкай, не прызнаючы “законным” выкарыстанне іншых сродкаў для рашэння канструктыўных задач. Пры гэтым, у адпаведнасці з пастулатамі Еўкліда, яны разглядалі лінейку як неабмежаваную і аднабаковую, а цыркулю прыпісвалася уласцівасць чарціць акружнасць любых памераў. З іншага боку, менавіта грэкі першыя сталі выкарыстоўваць для геаметрычных пабудаванняў іншыя сродкі, акрамя цыркуля і лінейкі. Так, напрыклад, Платон каля 400 г. да н. э. рашаў задачу аб падваенні куба з дапамогай двух прамых вуглоў. Архімед даў рашэнне задачы аб трысекцыі вугла з дапамогай лінейкі з дзвюма адметкамі.

Старажытнагрэчаскія геометры паспяхова спраўляліся з цяжкімі задачамі на пабудову з дапамогай цыркуля і лінейкі. Так, напрыклад, Апалоній Пергскі рашаў вядомую задачу, якая носіць яго імя: “Пабудаваць акружнасць, якая датыкаецца трох дадзеных акружнасцей”. Некаторыя пытанні алгебры звязваліся ў той час вучонымі з рашэннем канструктыўных задач. Напрыклад, рашэнне ураўненняў першай і другой ступені грэкі давалі ў геаметрычнай форме. Пры гэтым корані ураўнення знаходзіліся з дапамогай пэўных геаметрычных пабудаванняў.

Сярэдневечча мала дало ў вобласці развіцця канструктыўнай геаметрыі, хоць ёй займаліся шматлікія матэматыкі гэтага часу. Дастаткова сказаць, што некаторыя задачы, рэшанныя старажытнагрэчыскімі матэматыкамі, аказаліся не пад сілу матэматыкам першых паўтара тысячагоддзяў нашай эры. Так, напрыклад, задача Апалонія, рашэнне якой было страчана, была зноў рэшана толькі ў XVI ст. (яе рашыў вядомы французкі матэматык Франсуа Віет).

Толькі ў новы час (XVII – XX) тэорыя геаметрычных пабудаванняў стала развівацца далей галоўным чынам у сувязі з стварэннем новых раздзелаў матэматыкі. З другога боку, і пытанні канструктыўнай геаметрыі побач з іншымі стымуламі садзейнічалі стварэнню новых матэматычных тэорый і метадаў. У цеснай сувязі з геаметрычнымі пабудаваннямі апынуліся аналітычная геаметрыя, праектыўная геаметрыя, тэорыя алгебраічных ураўненняў, тэорыя алгебраічных і трансцэндэнтных лікаў, тэорыя аналітычных функцый.

У XVII – XIX ст. распрацоўваецца тэорыя геаметрычных пабудаванняў з дапамогай розных прылад, якія адрозніваліся ад прынятых старажытнымі. Ужо Леанарда да Вінчы (1452 – 1519) разглядаў пабудаванні пры дапамозе лінейкі і цыркуля з пастаянным растворам. Да не менш цікавых вынікаў прыйшлі Штейнер і Понселе, якія даследавалі геаметрычныя пабудаванні, якія выконваюцца лінейкай пры наяўнасці начэрчанай акружнасці з адзначаным цэнтрам.

Пасля прац гэтых аўтараў з’яўляецца шэраг даследаванняў аб пабудаваннях пры дапамозе двухбаковай лінейкі (з паралельнымі старанамі), пры дапамозе вугольніка і іншых прылад. Гільберт у сваёй класічнай кнізе “Асновы геаметрыі” разглядаў пабудаванні пры дапамозе лінейкі і эталона даўжыні.

Яшчэ ў XVIII ст. Ламберт разглядаў некаторыя задачы на пабудаванне на абмежаваным кавалку плоскасці. Гэта ж пытанне аб пабудаваннях “з недаступнымі элементамі” неаднаразова вывучалася ў далейшым, так як яно прадстаўляе вялікую цікаўнасць для практыкі чарцёжніка і геадэзіста.

Шматвекавыя няўдалыя спробы рашыць класічныя задачы аб квадратуры круга, аб падваенні вугла, аб трысекцыі вугла навялі на думку, што гэтыя задачы не рашаемыя цыркулем і лінейкай (такую прапанову адносна задачы аб квадратуры круга выказаў яшчэ ў XV ст. Леанарда да Вінчы, а пазней – Шціфель і вынаходнік вядомай вымяральнай прылады Ноніус). У сувязі з гэтым узнікла неабходнасць выявіць, якія задачы рашаюцца пры дапамозе цыркуля і лінейкі. Задача аб квадратуры круга прывяла да глыбокіх даследаванняў у вобласці тэорыі лікаў, звязаных з вывучэннем уласцівасцей ліку . Гэты даследаванні дазволілі даказаць, што задача аб квадратуры круга не рашаецца пры дапамозе цыркуля і лінейкі.

Геаметрычныя пабудаванні на еўклідавай плоскасці, якія вывучаліся старажытнымі і пераважна вывучаюцца і сёння, істотна залежаць ад аксіём еўклідавай геаметрыі. У геаметрыі, створанай рускім вучоным М. І. Лабачэўскім, мае месца іншая сістэма аксіём і тэорыя геаметрычных пабудаванняў у многім іншая.


Разгледзім спачатку агульныя аксіёмы пабудаванняў на плоскасці.

  1. Кожная з дадзеных фігур F1, F2, …, Fn пабудавана.

Гэта аксіёма патрабуе, каб кожная з дадзеных фігур на плоскасці была нарысавана.

  1. Калі фігуры F1 і F2 пабудаваны, то пабудавана і іх аб’яднанне F1  F2.

  2. Калі фігуры F1 і F2 пабудаваны і маюць непустое перасячэнне, то гэта перасячэнне F1  F2 пабудавана.

  3. Калі фігуры F1 і F2 пабудаваны і F1  F2, F1  F2 , то дапаўненне F1  F2 пабудавана.

  4. Калі фігура F пабудавана, то можна пабудаваць пункт, які належыць гэтай фігуры.

  5. Калі фігура F пабудавана і адрозніваецца ад плоскасці пабудаванняў, то можна пабудаваць пункт, які не належыць гэтай фігуры F.

У агульным выпадку задачы на пабудаванне фармулююцца наступны чынам: дадзена некаторая канечная сістэма фігур , трэба пабудаваць фігуру F, якая знаходзіцца ў некаторым дачыненні да фігур і задавальняе некаторым умовам.

Рашыць задачу, г.зн. звесці яе да канечнай палядоўнасці прасцейшых пабудаванняў. Задача лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні.

Да прасцейшых пабудаванняў адносяць:

  1. пабудаванне прамой якая праходзіць праз два пункты;

  2. пабудаванне акружнасці з цэнтрам у дадзеным пункце і радыусам роўным дадзенаму адрэзку;

  3. пабудаванне пункта перасячэння не паралельных прамых.

Да асноўных пабудаванняў адносяць:

  1. пабудаванне адрэзка роўнага дадзенаму;

  2. пабудаванне вугла, роўнага дадзенаму;

  3. дзяленне дадзенага адрэзка папалам;

  4. пабудаванне бісектрысы вугла;

  5. пабудаванне перпендыкулярнай прамой;

  6. пабудаванне прамой, паралельнай дадзенай;

  7. пабудаванне трохвугольніка з дадзенымі старанамі;

  8. пабудаванне трохвугольніка па старане і двух прылеглых да яе вуглах;

  9. пабудаванне трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу паміж імі;

  10. пабудаванне датычнай да дадзенай акружнасці.

Працэс рашэння задач на пабудову дзеліцца на чатыры этапы:

  1. аналіз;

  2. пабудаванні;

  3. доказ;

  4. даследаванне.

У кожнай частцы вызначана пэўная мэта, якая павінна быць дасягнута. На першым этапе робіцца дапушчэнне, што неабходная фігура пабудавана. Знаходзіцца сувязь паміж дадзенай і той якую трэба пабудаваць. На другім этапе выконваюцца і пералічваюцца тыя пабудаванні якія прыводзяць да пабудавання неабходнай фігуры. На трэцім этапе даказваецца, што пабудаванная фігура задавальняе ўсім умовам задачы. На чацвёртым этапе высвятляецца, пры якіх умовах задача можа мець некалькі рашэнняў, адно або не мае.

Сутнасць метада падобнасці заключаецца ў наступным: пры пабудаванні фігуры, спачатку будуецца фігура з выкарыстаннем тых умоў, якія вызначаюць форму, а потым тыя ўмовы якія вызначаюць памеры фігуры.


2.1. Прыклады рашэння задач


№1 У дадзены сектар АОВ упісаць квадрат так, каб дзве яго сумежныя вяршыні належылі дузе сектара, а дзве іншыя вяршыні – адпаведна радыусам ОА і ОВ.


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць квадрат, дзве вяршыні якога належаць радыусам ОА і ОВ, а старана перпендыкулярна бісектрысе вугла, а потым пабудаваць шуканы квадрат.




Пабудова:

1) ОС – бісектрыса АОВ;

2) О1 ОС;

3) КМОС, О1 КМ, КОА, МОВ;

4) О1О2=КМ;

5) NPOC;

6) O2= NP OC;

7) KNPM – квадрат, дзве вяршыні якога належаць ОА і ОВ.

8) ОN1, NОN1;

9) OP1, P OP1;

10) N1P1, O4= ОС N1P1;

11) O4O3= N1P1;

12) K1M1 ОС, O3 K1M1; K1 ОА, M1OB;1

13) K1N1, M1P1;

14) K1N1P1M1 – шуканы квадрат.


Доказ: MKNP – квадрат па пабудаванню, M1K1N1P1 ~ MKNP дзве яго сумежныя вяршыні належаць дузе сектара, а дзве іншыя вяршыні – адпаведна радыусам ОА і ОВ.

Даследаванне: задача мае адзінае рашэнне.


№2 Дадзены тры адрэзкі а, p і q. Пабудаваць ромб, стораны якога кангруэнтны адрэзку а, а адносіна дыяганалей роўна |p| : |q|.


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць ромб па дадзенай адносіне дыяганалей, які будзе падобны шуканаму, а потым пабудаваць шуканы ромб.

Пабудова:

1) А1С1=q, B1D1=p;

2) O=A1C1B1D1; A1C1B1D1; A1O=OC1, B1O=OD1;

3) B1A2=a, A2B1A1;

4) l || A1C1, A2 l;

5) C2= lB1C1;

6) A2D2 || B1C1, C2D2 || B1A1; D2 B1D1;

7) A2B1C2D2 – шуканы ромб.


Доказ:

В1А2=а,

A2B1C2 ~ А1В1C1,

(B1A2C2= В1А1C1;

B1C2A2= В1C1А1).


Даследаванне: задача мае адзінае рашэнне.


№3 Дадзены адрэзкі а, m і n, дзе |m| < |n|. Пабудаваць прамавугольнік ABCD так, каб ; |BС| : |AC| = |m| : |n|.


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць прамавугольны трохвугольнік па дадзенай адносіне, а потым пабудаваць шуканы прамавугольнік.


Пабудова:

1) l, B l;

2) BN=m, N l;

3) p BN, Bp;

4) (N,n) p=K;

5) AB=a, Ap;

6) AC || KN;

7) C=ACl;

8) CDBD;

9) AD || BC;

10) ABCD – шуканы прамавугольнік.


Доказ: KBN~АВC (па вуглу і двух старанах), BN:KN=ВC:АC BC AC=m:n.

Даследаванне: задача заўсёды мае адзінае рашэнне.


№4 Дадзены адрэзкі а, m, n і вугал . Пабудаваць паралелаграм ABCD так, каб , |AC| : |BD| = |n| : |m| i (О – цэнтр паралелаграма).


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць трохвугольнік па дадзенай адносіне і вуглу, а потым пабудаваць шуканы паралелаграм.

Пабудова:

1) l, B1 l;

2) з пункта В1 адкладваем ;

3) А1В1=m, A1 l;

4) B1C1=n;

5) А1В1C1 з ;

6) А1С2=2а, С2А1С1;

7) C2A2 || C1 В1, A2 l;

8) А1B2=B2C2=a;

9) B2A2;

10) C2D2 || B2A2;

11) B2D2 || А1B1;

12) A2D2;

13) А1В1C1=B2OC2;

14) A2B2C2D2 – шуканы паралелаграм.


Доказ: B2OC2~А1В1C1 (па двух вуглах і старане), B2C2=a,

|AC| : |BD| = |n| : |m|

Даследаванне: задача заўсёды мае адзінае рашэнне.


№5 Дадзены чатыры адрэзкі а, b, m, n і вугал . Пабудаваць трапецыю ABCD з асновамі AD i BC так, каб , , і |CD| : |DA| = |m| : |n|.


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць трохвугольнік па двум старанам і вуглу,а потым пабудаваць шуканую трапецыю.




Пабудова:

1) АВC па АВ=а, ВС=b і А1В1C1=;

2) l || BC, A l;

3) AD2=n;

4) {C1,C2}=(D2,m) AC;

5) CD1 || C2D2, D1 l;

6) CD || C1D2, D l;

7) ABCD і АВСD1 шуканая трапецыя.


Доказ: АC1D2~ ACD, C1D2 || CD, C1D2A=CDA, CD1||C2D2, BC||AD,

CD:DA=m:n.

Даследаванне: задача можа мець адно, два або не мець ніводнага рашэння.


№6 У дадзены трохвугольнік упісаць ромб з дадзеным вострым вуглом так, каб дзве яго вяршыні ляжалі на адной старане, а дзве іншыя – адпаведна на дзвюх іншых старанах.


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць ромб з дадзеным вуглом, дзве вяршыні якога належаць адной старане, а трэцяя вяршыня другой старане. Потым пабудаваць шуканы ромб.


Пабудова:

1) КАС, АКМ=, МАВ;

2) MN || AC;

3) MN=KM;

4) NP || MK, PАС;

5) KMNP – ромб з ;

6) N1=ANBC;

7) N1M1 || AC;

8) M1K1 || NP, N1P1 || NP;

9) K1, P1АС;

10) K1M1N1P1 – шуканы ромб.

Доказ: KMNP – ромб з , K1M1N1P1~ KMNP, вяршыні ромба належаць трохвугольніку, значыць K1M1N1P1 – шуканы ромб.

Даследаванне: задача заўсёды мае адзінае рашэнне.


№7 На старанах АВ і ВС трохвугольніка АВС пабудаваць пункты D i E так, каб стораны AD, DE i EC чатырохвугольніка ADEC былі папарна кангруэнтны.


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць чатырохвугольнік, тры вяршыні якога належаць трохвугольніку, а потым пабудаваць шуканы чатырохвугольнік.

Пaбудова:

1) D1АB;

2) CK=D1A;

3) KD2 || AC, D2АB;

4) (D1,D1A) KD2=E1;

5) D1E1;

6) E1C1 || KC;

7) AE1BC=E;

8) ED || E1D1, DАB;

9) ADEC – шуканы чатырохвугольнік.

Доказ: AD1=D1E1=E1C1, AD1E1C1~ADEC, ADEC – шуканы чатырохвугольнік.

Даследаванне: задача заўсёды мае адзінае рашэнне.


№8 Пабудаваць трохвугольнік АВС, калі дадзены , і адрэзкі p і q, задавальняючыя умове: |BH| : |HC| = |p| : |q| (Н – праекцыя пункта А на прамую ВС).


Аналіз: спачатку трэба пабудаваць трохвугольнік па вуглу, высаце і адносіне, а потым пабудаваць шуканы трохвугольнік.


Пабудова:

1) l, BC1=p+q=BH1+H1C1;

2) з пункта В адкладваем В;

3) BA1, A1=BA1H1A1, H1A1BC1;

4) A1C1;

5) BKA1C1;

6) BN=hb, NBK;

7) AC || A1C1, NAC;

8) АВC – шуканы.

Доказ: АВC~А1ВC1, BH1:H1C1=p : q.

Даследаванне: задача заўсёды мае адзінае рашэнне.


№9 Пабудаваць трохвугольнік АВС, калі дадзены , R і вугал , паміж і .

Аналіз: трэба пабудаваць трохвугольнік па вуглу, высаце і медыяне.




Пабудова:

1) А, i з паміж імі;

2) lAК, К l;

3) l=М;

4) p l, Mp;

5) (A,R), O=p(A,R);

6) AO=R;

7) OB=R, B l;

8) OC=R, C l;

9) АВC – шуканы.


Доказ: О – цэнтр акружнасці, p – пасярэдні перпендыкуляр, O=p(A,R), OC= OB=R, АВC – шуканы.

Даследаванне: задача заўсёды мае адзінае рашэнне.


№10 Дадзены акружнасць і пункт А, які ей належыць. Пабудаваць пункты X і Y акружнасці так, каб трохвугольнік АXY падобны дадзенаму трхвугольніку А0В0С0.


Аналіз: трэба пабудаваць трохвугольнік падобны дадзенаму.


Пабудова:

1) Знойдзем R для А0В0С0;

2) А0О=В0О=С0О=R;

3) А0ОВ0=1;

4) В0ОС0=2;

5) С0ОА0=3;

6) AO1;

7) на AO1 з пункта O1 адкладзём 1;

8) O1Х;

9) на O1Х з пункта O1 адкладзём 2;

10) O1Y;

11) АXY падобны А0В0С0;


Доказ: AO1Х~А0ОВ0, ХO1Y~В0ОС0, YO1A~С0ОА0

АXY~А0В0С0.

Даследаванне: задача мае два рашэнні, два трохвугольнікі сіметрычныя адносна пункта О.


Вывад

Геаметрычныя пабудаванні могуць адыграць вялікую ролю у матэматычнай падрыхтоўцы школьнікаў. Не адзін від задач не дае такую колькасць матэрыяла для развіцця матэматычнай ініцыятывы і лагічных навыкаў вучня, як геаметрычныя задачы на пабудаванне. Гэты задачы звычайна не дапускаюць звычайнага падыхода да іх і фармальнага успрыняцця іх вучнямі. Задачы на пабудаванне карысны для замацавання тэарэтычных ведаў вучняў па любому раздзелу школьнага курса геаметрыі. Пры рашэнні геаметрычных задач на пабудаванне пры дапамозе метада падобнасці, вучні набываюць шмат карысных чарцёжных навыкаў.


Літаратура

  1. Атанасян Л. С., Базылев В. Т. Геометрия. Просвещение, 1986.

  2. Базылев В. Т., Дуничев К. И. Геометрия. Просвещение, 1975.

  3. Погорелов А. В., Геометрия. Наука, 1983.

  4. Сборник задач по геометрии под редакцией Атанасяна Л. С. Просвещение, 1975.

  5. Сборник задач по геометрии под редакцией Базылева В. Т. Просвещение, 1980.

  6. Пагарэлаў А.В. Геаметрыя. Мінск : Народная асвета, 1991.


Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconПытанні да экзамена па геаметрыі (4 семестр)
Пераўтварэнне падобнасці плоскасці. Падобнасць як кампазіцыя гаматэтыі І руху. Уласцівасці падобнасці

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconЗадачы на пабудову сячэнняў, аксанаметрыю І метад Монжа (гр. 301-305)
У паралелепіпедзе авсda1B1C1D1 пункты M,N,Р належаць адпаведна кантам dd1, в b1 І сc1, прычым мр ║ D1С1, мn ║ B1 Пабудуйце сячэнне...

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconТэма: Рашэнне задач на састаўленне лінейных алгарытмаў Мэта
Мэта: фарміраванне уменняў І навыкаў для рашэння задач на састаўленне лінейных алгарытмаў

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconФакультатыўны занятак па матэматыцы
Фарміраваць цікавасць вучняў да прадмета “Матэматыка” сродкам рашэння задач – казак

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconЗадача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні
Рашэннем задачы на пабудову называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім патрабаванням умовы задачы

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconЗадача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні
Рашэннем задачы на пабудову называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім патрабаваннем ўмовы задачы

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconКанцэпт «campanilismo» у італьянскай культуры
«Я» І сітуацыяй, здольнасць асобы да паўнацэннага рашэння задач, якія ўзнікаюць перад ёй на кожным этапе яе развіцця [1, с. 20]

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconНастаўнік: Мазура Галіна Тадэвушаўна Тэма
Мэты: замацаваць навыкі складання І аднімання; паўтарыць склад лікаў; адпрацоўваць навыкі рашэння простых задач, што раскрываюць...

1 Метад падобнасці рашэння задач на пабудову iconРешением такого рода задач: Под шифрованием
Стержень любой системы защиты — криптографические средства. Развитие компьютерных систем телекоммуникаций, необходимость решения...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка