Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні




НазваЗадача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні
Дата канвертавання23.11.2012
Памер93.76 Kb.
ТыпЗадача
Акружнасть Апалонія і яе прымяненне пры рашэнні задач на пабудову.


Уводзіны.

Акружнасці апалонія – гэта мноства пунктаў плоскасці, стасунак адлегласцей кожнага з якіх да двух дадзеных пунктаў роўну дадзенаму ліку m/n>0 і m/n≠1.

Калі А і В дадзеныя пункты, то мноства пунктаў М, для кожннага з якіх|AM|/|MB|=λ≠1 ёсць акружнасць апалонія (3 в.да н.э.)

Калі пункт М дзеліць адрэзак АВ унутраным спосабам, а пункт N дзеліць яго знешнім (вонкавым) спосабам ў адным і тым жа стасунку λ≠1, то акружнасць пабудаваная на адрэзку MN як на дыяметры з’яўляцца акружнасцью Апалонія.

Акружнаці Апалонія выкарыстоўваюцца пры рашэнні шэрагу задач на пабудову лінейкай і цыркулем.

Работа складаецца з кароткіх звестак па тэорыі рашэння задач на пабудову лінейкай і цыркулем і рашэннеў некаторых задач на ыкарыстанне акружнасці Апалонія.

§1 Сістэма аксіём пабудаванняў лінейкай і цыркулем.

Рашэннем задачы на пабудаванне называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім умовам задачы.

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні.

Разгледзім спачатку агульныя аксіёмы пабудаванняў на плоскасці.

Аксіёма 1: Кожная з дадзеных фігур F₁,F₂, … ,  пабудавана.

Гэта аксіёма патрабуе, каб кожная з дадзеных фігур на плоскасці была нарысавана.

Аксіёма 2: Калі фігуры F₁ і F₂ пабудаваны, то пабудавана і іх аб’яднанне F₁  F₂.

Аксіёма 3: Калі фігуры F₁ і F₂ пабудаваны і маюць непустое перасячэнне. То гэтае перасячэнне F₁  F₂ пабудавана.

Аксіёма 4: Калі фігуры F₁ і F₂ пабудаваны і F₂ F₁, F₂ F₁, то дапаўненне F₁  F₂.

Аксіёма 5: Калі фігура F пабудавана, то можна пабудавать пункт які належыць гэтай фігуры.

Аксіёма 6: Калі фігура F пабудавана і адрозніваецца ад плоскасці пабудаванняў, то можна пабудаваць пункт, які не належыць гэтай фігуры F.

Дапушчальнымі сродкамі ў класічнай тэорыі геаметрычных пабудаванняў з’яўляюцца лінейка і цыркуль, якія пры гэтым лічацца абстрактнымі. Канструктыўныя іх мажлівасці апісваюцца аксіёмаімі

Аксіёма лінейкі Калі два розныя пункты А і В пабудаваны, то можна пабудаваць прамень АВ.

Адсюль на аснове аксіём Аі Авынікае, што калі два розныя пункты А і В пабудаваны. то можна пабудаваць прамую АВ і адрэзак АВ.

Аксіёма цыркуля Калі пабудаваны пункт О і адрэзак АВ, то можна пабудаваць акружнасць (О, R), а радыус R роўны адрэзку АВ.

§2 Прасцейшыя і асноўныя задачы на пабудову.

Сістэма аксіём дазваляе выконваць наступныя прасцейшыя пабудаванні:

1-3) Пабудаваць прамень АВ, адрэзак АВ і прамую Авкалі пабудаваны розныя між сабою пунты А і В.

4) Пабудаваць акружнасць, калі пабудаваны яе цэнтр і адрэзак, роўны радыусу гэтай акружнасці.

5-7) Пабудааваць пункт перасячэння двух пабудаваных непаралельных прамых, пункты перасячэння пабудаваных прамой і акружнасці і двух пабудаваных акружнасцей, калі такія пуннкты існуюць.

8-9) Пабудаваць пункт, які належыць пабудаванай фігуры і пункт, які не належыць пабудаванай фігуры ў выпадку, калі гэта фігура адрозніваецца ад плоскасці пабудаванняў.

Такім чынам, пабудаванне шукаемай фігуры лінейкай і цыркулем павінна быць выканана праз канечае мноства прасцейшых пабудаванняў.

Разгледзім некаторыя камбінацыі прасцейшых пабудаванняў. Будзем называць іх асноўнымі пабудаваннямі або элементарнымі задачамі на пабудаванне. Пабудаванне шукаемай фігуры зводзяць да гэтых асноўных пабудаванняў:

  1. Пабудаванне вугла, роўнага дадзенаму.

  2. Пабудаванне бісектрысы вугла.

  3. Дзяленне адрэзка папалам.

  4. Пабудаванне перпендыкулярнай прамой.

  5. Пабудаванне прамой, паралельна дадзенай.

  6. Пабудаванне тохвугольніка з дадзенымі старанамі.

  7. Пабудаванне трохвугольніка па старане і двух прылеглых да яе вуглоў.

  8. Пабудаванне трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу паміж імі.

9-10. Пабудаванне прамавугольнага трохвугольніка па гіпатэнузе і востраму вуглу і па гіпатэнузе і катэту.

11. Пабудаванне датычнай да дадзенай акружнасці.


§3 Агульная схема рашэння задач на пабудову.

Працэс рашэння задачы на пабудаванне дзеліцца на чатыры этапы: аналіз, пабудаванне, доказ, даследванне. У кожнай частцы ёсць вызначаная мэта, якая павінна быць дасягнута.

  1. Аналіз – гэта пошук спосаба рашэння задачы. Для правядзеня аналізу лічаць задачу рэшанай, ад рукі выконваюць рысунак шукаемай фігуры і дадзеных фігур у тых жа адносінах, што ўказаны ва ўмове задачы. Пасля гэтага ўстанаўліваюць неабходныя залежнасці паміж шукаемай фігуай і дадзенымі.

  2. Пабудаванне – пералічваюцца прасцейшыя і асноўныя пабудаванні, неабходныя для рашэння задачы і праводзіцца пабудаванне шукаемай фігуры цыркулем і лінейкай.

  3. Доказ- даказваецца, што пабудаваная фігура сапраўды задавальняе ўсім патрабаванням умовы задачы і пагэтаму з’яўляецца шукемай.

  4. Даследванне – трэба высветліць два пытанні:

  1. ці пры ўсякім выбары дадзеных задача мае ррашэнне, а калі не пры ўсякім, то калі задача мае рашэнне, а ў якім выпадку мае

  2. колькі розных рашэнняў мае задача пры кожным магчымым выбары дадзеных. Для гэтага праводзяць даследванне па самаму ходу пабудаванняў.

Паўстае пытанне: якія рашэнні лічыць рознымі. Гэта залежыць ад тыпу задач. Пры даследванні таксама адзначаюцца прыватныя выпадкі, у якіх прымяняецца іншы спосаб пабудаванняў, адметны ад агудьнага.


§4 Некаторыя метады геаметрычных пабудаванняў.

Метад геаметрычных месц.

Геаметрычным метадам пунктаў называется фігура, якаая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, што валодаюць пэўнай уласцівасцю. Няхай пры рашэнні задачы на пабудаванне трэба знайсці пункт Х. які задавальняе дзвюм умовам. Геаметрычнае месца пунктаў, якія задавальняюць першай умове, ёсць некаторая фігура F₁, а геаметрычнае месца пунктаў, якія задавальняюць другой умове, ёсць некаторая фігура . Тады шукаемы пункт Х належыць фігурам F₁ і , г.зн. з’яўляецца іх пунктам перасячэння.

Задача 1. Пабудуйце АВС, калі дадзены вяршыні В і С і пункты К, Н перасячэння прамой ВС з бісектрысай і вышынёй, праедзенымі з вяршыні А.

Аналіз. Дапусцім, што шукаемы трохвугольнік АВС пабудаваны. Дастаткова знайсці трэцюю вяршыню А. Яна ляжыць на перпендыкуляры да стараны ВС у пункце Н. Бісектрыса АК дзеліць старану ВС на часткі, прапарцыянальныя прылеглым старанам: ВК:КС=ВА:АС. Вяршыня А належыць геаметрычнаму месцу пунктаў, адлегласці кожнага з якіх да вяршынь В і С адносяцца так як ВК:КС. Зазначым, што пункты К і Н розныя, пагэтаму ВК:КС1. Метадам каардынат можна даказаць, што гета геаметрычнае месца пунктаў ёсць акружнасць з цэнтрам на прамой ВС і праходзячая праз два пункты К і N, адзін з якіх К дзеліць адрэзак ВС унутраным спосабам, а другі N знешнім спосабам у адносіне ВК:КС. Гэта акружнасць называецца акружнасцю Апалонія. Значыць, вяршыня А ёсць пункт перасячэння акружнасці Апалонія з перпендыкулярам да стараны ВС у пункце Н.

Пабудаванне.

  1. Праз пункт В праводзім прамень m.

  2. КD||CE, Dm, Em.

  3. DF=DE.

  4. CF.

  5. DN||FC, NBC.

  6. Будуем акружнасць Апалонія, для якой адрэзак KN з’яўляецца дыяметрам.

  7. Знаходзім вяршыню А, як пункт перасячэння акружнасці Апалонія з перпендыкулярам да прамой ВС у пункце Н.

  8. Будуем шукаемы трохвугольнік АВС.

Доказ. BK:KC=BD:DE, BN:NC=BD:DF=BD:DE=BK:KC. Адсюль вынікае. Што пункт N дзеліць адрэзак ВС знешнім спосабам у той жа адносіне, што і пункт К унутраным спосабам. Значаць, KN- дыяметракружнасці апалонія. АВ:АС=ВК:КС, АК- бісектрыса трохвугольніка АВС, па пабудаванню АН- вышыня АВС. Значыць, трохвугольнік АВС ёсць шукаемы.

Даследванне. Вяршыня А з’яўляецца пунктам перасячэння акружнасці Апалонія і праменя, якія перасякаюцца. Задача мае адзінае рашэнне.

Задача2. Пабудуйце АВС, калі дадзены а,  і два адрэзкі m I n, такія што b:c=m:n

Аналіз. Задача зводзіцца да пабудовы вяршыні А. Яна зводзіцца на прамой m паралельнай ВС і аддаленай ад яе на адлегласць . Вяршыня А таксама належыць мноству пунктаў для кожнага з якіх стасунак адлегласці да двух дадзеных пунктаў С і В розўны b:c=m:n. А гэта мноства пунктаў ёсць акружнасць Апалонія. Адсюль вынікае план рашэнне задачы:

Пабудаваць:

  1. BC=a

  2. прамую m||BС на адлегласці  ад ВС

  3. акружнасць Апалонія

  4. шуканы ттроххвугольнік АВС

Пабудаванні: Дадзены



  1. BC=a

  2. l || BC і такую. Што ρ=

  3. k, C

  4. CD=m

  5. DE=n (m>n)

  6. BE

  7. DM||BE

  8. DF=n

  9. FB

  10. DN||BF, NBC

  11. O|MO=ON

  12. (O,M)- акружнасць Апалонія

  13. {A,}=l  (O,M)

  14. ABC I  BC

Доказ. ВС=а. АС:АВ=m:n, C:B=m:n, вышыні гэтых трохвугольнікаў роўныя . Занчыць АВС і ВС задавальняюць усім патрабаванням умовы задачы і таму яны шуканыя.

Даследванне. Задача мае столькі рашэнняў колькі існуе агульных пунктаў прамой l і акружнасці Апалонія. Таму задача можы мець 2, 1 ці увогуле не мець ніводнага рашэння.


Задача 3. Пабудуйце ABС, калі дадзены A, а і два адрэзкі m і n такія што b:c=m:n

Аналіз. Задача зводзіцца да пабудовы вяршыні А. З гэтаў вяршыні адрэзак ВС=а бачны пад дадзеным вуглом A. Таму пункт А належыць адпаведнай дузе акружнасці, А так сама належыць і акружнаці апалонія. Пабудаваўшы гэтую дугу і акружнасць апалонія. Знойдзем вяршыню А.

Побудаванні. Дадзены



  1. d/(d,CB)=A

  2. I- пасярэдні перпендыкуляр да адрэзка ВС

  3. СОd

  4. O=ICO=p, (O,OC)

  5. CE=m, De=n

  6. BD

  7. EM||BD, MBC

  8. FB

  9. EN||FB

  10. /M=N

  11. ,M)

  12. =(,M)(O,OC)

  13. CAB- шуканы



Доказ. AСB=A, ACB=A, AC:AB=b:c. Трохвугольнік САВ задавальняе патрабаваннем умовы задачы і таму шуканы.

Даследаванне. Задача заўседы мае адзінае рашэнне.

Задача 4. Пабудуйце АВС, калі дадзены бісектрыса  і адрэзкі m i n, такія што AD=m I DC=n, дзе D-гэта пункт перасячэння бісектрысы  вугла В з прамой АС

Аналіз. Для рашэння задачы дастаткова пабудаваць вяршыню В шуканага АВС. Бісектрыса вугла В дзеліць процілеглую вяршыне В старану АС на часткі прапарцыянальныя прылеглым старанам с і а. Таму с:а=m:n. Значыць вяршыня В належыць акружнасці Апалонія і так сама акружнасці (D,) і таму ёсць перасячэнне гэтых акружнасцей.

Пабудаванне. Дадзены AC, AD=m, DC=n, (m

  1. k/Ck

  2. AE/Ek

  3. DF||AE, Fk

  4. FG=EF

  5. AG

  6. FN||AG, NAC

  7. O/NO=OD

  8. (O,OD) –акружнасць Апалонія

  9. 

  10. B=(O,OD)(D)

  11. ABC

Доказ. ВА:ВС=AD:DC=m:n, DB=. Выконваюцца патрабаванні ўмовы задачы і таму ABC шуканы.

Даследванне. Задача мае адзінае ашэнне з выпадку. Калі акружнасць Апалонія перасякаецца з акружнасцю (D, )

Задача 5. Пабудуйце трохвугольнік АВС, калі дадзены а,  і два адрэзкі m i n такія, што :=m:n. (m>n)

Аналіз. Плошча  выражаецца формулай  . Для рашэння задачы дастаткова пабудаваць вяршыню А. Яна ляжыць на прамой m||BC і адлеглай ад яе на адлегласці  а так сама і на акружнасці Апалонія.



Пабудаванні. Дадзена

  1. 

  2. 

  3. DE=n

  4. CE

  5. DM||CE, MBC

  6. DF=n

  7. FC

  8. DN||FC, N

  9. O| MO=ON

  10. (O,OM)- акружнасць апалонія

  11. m||BC на адлегласці  ад ВС

  12. {A,=m

  13. 






Доказ. . Вышыня кожнага з  розная , ВС=а. Выконваюцца ўсе патрабаванні умовы задачы. Таму гэтыя пабудаваныя  - шуканыя.

Даследванне. Задача мае столькі рашэнняў, колькі існуе агульных пунктаў у прамой m і акружнасці Апалонія. Таму задача можа мець два, адно рашэнне, або зусім не мець рашэнняў.


Заключэнне.


Літаратура.

  1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрія. Ч. 1. –М.: Просвещение, 1986.

  2. Базылев В.Т., Дунічев К.І. Геометрія П. – М.: Просвещение, 1975.

  3. Атанасян Л.С., Гуревіч Г.Б. Геометрія. Ч. 2 – М.: Просвещение, 1976

  4. Погорелов А.В. Геометри. М.: Наука, 1983.

  5. Сборник задач по геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. Ч.2- М. – Просвещение, 1975.

  6. Сборник задач по геометрии под редакцией Базылев В.Т. - М.: Просвещение, 1980.

  7. Пагарэлаў А.В. Геаметрыя. Мінск: Народная асвета, 1991.

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconЗадача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні
Рашэннем задачы на пабудову называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім патрабаванням умовы задачы

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconЗадача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні
Рашэннем задачы на пабудову называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім патрабаваннем ўмовы задачы

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconЗадача Знак
Я хачу, каб вы на сваю далонь паклалі ўсё дрэннае, што з вамі здарылася, усе непрыемныя думкі, павярнуліся да акенца І дзьмухнулі...

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconПра што пісалі ў лістах, тэлефанавалі, паведамлялі праз смс слухачы Свабоды на мінулым тыдні
Шыла зь меха. Калі Лукашэнка ішоў да ўлады, дык абяцаў дапамагаць бедным І нямоглым – пэнсіянэрам, інвалідам Мы ж за яго галасавалі...

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconАнкета-заяўка
Калі ласка, адкажыце на ўсе пытанні анкеты. Калі Ваш тэкс не змяшчаецца ў пазначаным вакенцы, пры неабходнасці дадавайце радкі

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconМетад геаметрычных месцаў змест
У задачах на пабудаванне часта рашэнне заключаецца ў тым, што трэба знайсці адзін або некалькі пунктаў. Так, напрыклад, калі дзелім...

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні icon27 красавіка 1945 года прадстаўнікі 50 краінаў сьвету сабраліся ў Сан-Францыска на Канфэрэнцыю Аб’яднаных Нацый па стварэньні новай міжнароднай арганізацыі, каб
Сан-Францыска на Канфэрэнцыю Аб’яднаных Нацый па стварэньні новай міжнароднай арганізацыі, каб распрацаваць Статут аан. Папярэднікам...

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconНекалі адзін часта згадваемы тут пэрсанаж сказаў, што "народ хворы". Чым практычна згубіў сваю палітычную кар'еру. А калі задумацца, то толькі ў нас слова
Як з гэтым змагацца? Ня ведаю. Калі да апошняга часу ў праціўніках былі толькі бабулі, то цяпер гэта ўжо цалкам эканамічна дастатковая...

Задача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні iconКурсавая праца
Журналіст вядзе аповяд, ужываючы займеннік я І дзеясловы бачу, чую, знаходжуся. І гэтым усё сказана. Указанне часу, калі адбылася...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка