Методология научного творчества лекция 4 лекция 4




НазваМетодология научного творчества лекция 4 лекция 4
Дата канвертавання24.12.2012
Памер136.37 Kb.
ТыпЛекция

МЕТОДОЛОГИЯ НАУЧНОГО ТВОРЧЕСТВА

ЛЕКЦИЯ 4


ЛЕКЦИЯ 4


Определение и назначение математического моделирования


Под моделью (от латинского modulus - мера, образец, норма) будем понимать такой материально или мысленно представляемый объект, который в процессе познания (изучения) замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием.

Суть математического моделирования (ММ) заключается в замене изучаемого объекта (процесса) адекватной математической моделью и последующем исследовании свойств этой модели с помощью либо аналитических методов, либо вычислительных экспериментов.

Иногда полезнее вместо того, чтобы давать строгие определения, описывать то или инее понятие на конкретном примере. Поэтому проиллюстри-руем приведенные выше определения ММ на примере задачи расчета удельного импульса. В начале 60-х годов перед учеными ставилась задача разработки ракетного топлива с наибольшим удельным импульсом. Принцип движения ракеты состоит в следующем: жидкое топливо и окислитель из баков ракеты подаются в двигатель, где происходит их сгорание, а продукты сгорания вылетают в атмосферу. Из закона сохранения импульса следует, что в этом ракета будет двигаться со скоростью.

Удельный импульс топлива – это полученный импульс, деленный на массу топлива. Проведение экспериментов было очень дорогостоящим и приводило к систематической порче оборудования. Оказалось, что легче и дешевле рассчитать термодинамические функции идеальных газов, вычислить с их помощью состав вылетающих газов и температуру плазмы, а затем и удельный импульс. То есть провести ММ процесса горения топлива.

Понятие математического моделирования (ММ) сегодня одно из самых распространенных в научной литературе. Подавляющее большинство современных дипломных и диссертационных работ связано с разработкой и использованием соответствующих математических моделей. Компьютерное ММ сегодня является составной частью многих областей человеческой деятельности (наука, техника, экономика, социология и т.д.). Это одна из причин сегодняшнего дефицита специалистов в области информационных технологий.

Бурный рост математического моделирования обусловлен стремительным совершенствованием вычислительной техники. Если еще 20 лет назад проведением численных расчетов занималось лишь небольшое число программистов, то теперь объем памяти и быстродействие современных компьютеров, позволяющих решать задачи математического моделирования доступных всем специалистам, включая студентов ВУЗов.

В любой дисциплине вначале дается качественное описание явлений. А затем уже – количественное, сформулированное в виде законов, устанавливающих связи между различными величинами (напряженность поля, интенсивность рассеяния, заряд электрона, …) в форме математических уравнений. Поэтому можно сказать, что в каждой дисциплине столько науки, сколько в ней есть математики, и этот факт позволяет успешно решать многие задачи методами математического моделирования.

Данный курс предназначен для студентов, специализирующихся в области прикладной математики, которые выполняют дипломные работы под руководством ведущих ученых, работающих в различных областях. Поэтому данный курс необходим не только как учебный материал, но и как подготовка к дипломной работе. Для изучения данного курса нам будут необходимы следующие разделы математики:

  1. Уравнения математической физики (кантовая механика, газо- и гидродинамика)

  2. Линейная алгебра (теория упругости)

  3. Скалярные и векторные поля (теория поля)

  4. Теория вероятностей (квантовая механика, статистическая физика, физическая кинетика)

  5. Специальные функции.

  6. Тензорный анализ (теория упругости)

  7. Математический анализ


ММ в естествознании, технике, и экономике

Рассмотрим вначале различные разделы естествознания, техники, экономики, в которых используются математические модели.


Естествознание

Физика

Физика, устанавливающая основные законы естествознания, давно разделилась на теоретическую и экспериментальную. Выводом уравнений, описывающих физические явления, занимается теоретическая физика. Таким образом, теоретическая физика также может считаться одним из направлений математического моделирования. (Вспомним, что название первой книги по физике – «Математические начала натуральной философии» И.Ньютона можно перевести на современный язык как «Математические модели естествознания».) На основании полученных законов проводятся инженерные расчеты, которые проводятся в различных институтах, фирмах, КБ. Эти организации разрабатывают технологии изготовления современной продукции, которые являются наукоемкими. Таким образом, понятие наукоемкие технологии включает в себя расчеты с помощью соответствующих математических моделей.

Один из наиболее обширных разделов физики – классическая механика (иногда этот раздел называется теоретической или аналитической механикой). Данный раздел теоретической физики изучает движение и взаимодействие тел. Расчеты с помощью формул теоретической механики необходимы при изучении вращения тел (расчет моментов инерции, гиростатов – устройств сохраняющих в неподвижности оси вращения), анализе движения тела в безвоздушном пространстве, и др. Один из разделов теоретической механики называется теорией устойчивости и лежит в основе многих математических моделей, описывающих движение самолетов, кораблей, ракет. Разделы практической механики – курсы «Теория машин и механизмов», «Детали машин», изучается студентами почти всех технических вузов (включая МГИУ).

Теория упругости – часть раздела механики сплошных сред, предполагающая, что материал упругого тела однороден и непрерывно распределен по всему объему тела, так что самый малый элемент, вырезанный из тела, обладает теми же физическими свойствами, что и все тело. Приложение теории упругости – курс «сопротивление материалов», изучается студентами всех технических вузов (включая МГИУ). Данный раздел необходим для всех расчетов прочности. Здесь и расчет прочности корпусов кораблей, самолетов, ракет, расчет прочности стальных и железобетонных конструкций зданий и многое другое.

Газо- и гидродинамика, как и теория упругости – часть раздела механики сплошных сред, рассматривает законы движения жидкости и газа. Уравнения газо- и гидродинамики необходимы при анализе движения тел в жидкой и газообразной среде (спутники, подводные лодки, ракеты, снаряды, автомобили), при расчетах истечения газа из сопел двигателей ракет, самолетов. Практическое приложение гидродинамики – гидравлика (тормоз, руль,…)

Предыдущие разделы механики рассматривали движении тел в макромире, и физические законы макромира неприменимы в микромире, в котором движутся частицы вещества - протоны, нейтроны, электроны. Здесь действуют совершенно другие принципы, и для описания микромира необходима квантовая механика. Основное уравнение, описывающее поведение микрочастиц -уравнение Шредингера: . Здесь - оператор Гамильтона (гамильтониан). Для одномерного уравнения движения частицы . -потенциальная энергия. Решение этого уравнения – набор собственных значений энергии и собственных функций. Причем физический смысл имеет не волновая функция , а – плотность вероятности. Квантовомеханические расчеты нужны для разработки новых материалов (микросхемы), создания лазеров, разработки методов спектрального анализа, и др.

Большое количество задач решает кинетика, описывающая движение и взаимодействие частиц. Здесь и диффузия, теплообмен, теория плазмы – четвертого состояния вещества.

Статистическая физика рассматривает ансамбли частиц, позволяет сказать о параметрах ансамбля, исходя из свойств отдельных частиц. Если ансамбль состоит из молекул газа, то выведенные методами статистической физики свойства ансамбля представляют собой хорошо известные со средней школы уравнения газового состояния: , где - давление, -объем, Т –температура, М-масса и -молекулярный вес газа. К – постоянная Ридберга. Статистическими методами рассчитываются также свойства растворов, кристаллов, электронов в металлах. ММ статистической физики – теоретическая основа термодинамики, которая лежит в основе расчета двигателей, тепловых сетей и станций.

Теория поля описывает методами ММ одну из основных форм материи – поле. При этом основной интерес представляют электромагнитные поля. Уравнения электромагнитного поля (электродинамики) были выведены Максвеллом: , , , . Здесь и -вектора напряженности электрического и магнитного полей, - плотность заряда, -плотность тока. Уравнения электродинамики лежат в основе расчетов распространения электромагнитных волн, необходимых для описания распространения радиоволн (радио, телевидение, сотовая связь), объяснения работы радиолокационных станций.

    1. Химия

Химию можно представить в двух аспектах, выделяя описательную химию – открытие химических факторов и их описание – и теоретическую химию – разработку теорий, позволяющих обобщить установленные факторы и представить их в виде определенной системы (Л.Полинг1). Теоретическая химия называется также физической химией и является, в сущности, разделом физики, изучающей вещества и их взаимодействия. Поэтому все, что было сказано относительно физики, в полной мере относится и к химии. Разделами физической химии будут термохимия, изучающая тепловые эффекты реакций, химическая кинетика (скорости реакций), квантовая химия (строение молекул). При этом задачи химии бывают чрезвычайно сложными. Так, например, для решения задач квантовой химии – науки о строении атомов и молекул, используются программы, сравнимые по объему с программами ПВО страны. Например, для того, чтобы описать молекулу UCl4, состоящую из 5 ядер атомов и 160 (92+17*4) электронов, нужно записать уравнение движения – уравнения в частных производных.

    1. Биология

В биологию математика пришла по настоящему только во второй половине 20 века. Первые попытки математически описать биологические процессы относятся к моделям популяционной динамики. Популяцией называется сообщество особей одного вида, занимающих некоторую область пространства на Земле. Эта область математической биологии, изучающая изменение численности популяции в различных условиях (наличие конкурирующих видов, хищников, болезней и т.п.) и в дальнейшем служила математическим полигоном, на котором "отрабатывались" математические модели в разных областях биологии. В том числе модели эволюции, микробиологии, иммунологии и других областей, связанных с клеточными популяциями.
Самая первая известная модель, сформулированная в биологической постановке,   знаменитый ряд Фибоначчи (каждое последующее число является суммой двух предыдущих), который приводит в своем труде Леонардо из Пизы в 13 веке. Это ряд чисел, описывающий количество пар кроликов, которые рождаются каждый месяц, если кролики начинают размножаться со второго месяца и каждый месяц дают потомство в виде пары кроликов. Ряд представляет последовательность чисел:  1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …


1,

 

1,

 

2,

 

3,
 


5,
 

 

 

 

 

8, 13, …

 


Другим примером является изучение процессов ионного трансмембранного переноса на искусственной бислойной мембране. Здесь для того, чтобы изучить законы образования поры, через которую ион проходит сквозь мембрану внутрь клетки, необходимо создать модельную систему, которую можно изучать экспериментально, и для которой можно использовать хорошо разработанное наукой физическое описание.

Классическим примером ММ также является популяция дрозофилы. Еще более удобной моделью являются вирусы, которые можно размножать в пробирке. Методами моделирования в биологии служат методы динамической теории систем, а средствами - дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений, имитационное моделирование.
Цели моделирования в биологии:
3. Выяснение механизмов взаимодействия элементов системы
4. Идентификация и верификация параметров модели по экспериментальным данным.
5. Оценка устойчивости системы (модели).

6. Прогноз поведения системы при различных внешних воздействиях, различных способах управления и проч.
7. Оптимальное управление системой в соответствии с выбранным критерием оптимальности.


Техника

Совершенствованием техники занимается большое количество специалистов, которые в своей работе опираются на результаты научных исследований. Поэтому ММ в технике те же самые, что и ММ естествознания, о которых говорилось выше.


Экономика и социальные процессы

Принято считать, что математическое моделирование как метод анализа макроэкономических процессов было впервые применено лейб-медиком короля Людовика XV доктором Франсуа Кенэ, который в 1758 г. опубликовал работу «Экономическая таблица». В этой работе была сделана первая попытка количественно описать национальную экономику. А в 1838 г. в книге О. Курно «Исследование математических принципов теории богатства» количественные методы были впервые использованы для анализа конкуренции на рынке товара при различных рыночных ситуациях.

Широко известна также теория Мальтуса2 о народонаселении, в которой он предложил идею: рост населения далеко не всегда желателен, и рост этот идет быстрее, чем растут возможности обеспечения населения продовольствием. Математическая модель такого процесса достаточно проста: Пусть - прирост численности населения за время , а в начальный момент времени численность была равна . и - коэффициенты, учитывающие рождаемость и смертность (чел/год). Тогда

.

Отсюда видно, что рост населения в случае, когда рождаемость превышает смертность стремится к бесконечности. Примерами могут служить сегодняшние Индия, Китай, Москва.

Сегодня многие науки, в том числе биология, экономика и социология, достаточно широко используют математические методы анализа (например, в последние десятилетия в гуманитарных науках появились математические теории развития культуры, построены и исследованы математические модели мобилизации, циклического развития социокультурных процессов, модель взаимодействия народа и правительства, модель гонки вооружений и др.).

В самых общих чертах процесс ММ социально-экономических процессов условно можно подразделить на четыре этапа:

  • формулировка системы гипотез и разработка концептуальной модели;

  • разработка математической модели;

  • анализ результатов модельных расчетов, который включает сравнение их с практикой;

  • формулировка новых гипотез и уточнение модели в случае несоответствия результатов расчетов и практических данных.

Отметим, что, как правило, процесс математического моделирования носит циклический характер, поскольку даже при исследовании сравнительно простых процессов редко удается с первого шага построить адекватную математическую модель и подобрать точные ее параметры.

В настоящее время экономика рассматривается как сложная развивающаяся система, для количественного описания которой применяются динамические математические модели различной степени сложности. Одно из направлений исследования макроэкономической динамики связано с построением и анализом относительно простых нелинейных имитационных моделей, отражающих взаимодействие различных подсистем – рынка труда, рынка товаров, финансовой системы, природной среды и др.

Успешно развивается теория катастроф. Эта теория рассматривает вопрос об условиях, при которых изменение параметров нелинейной системы вызывает перемещение точки в фазовом пространстве, характеризующей состояние системы, из области притяжения к начальному положению равновесия в область притяжения к другому положению равновесия. Последнее очень важно не только для анализа технических систем, но и для понимания устойчивости социально-экономических процессов. В этой связи представляют интерес выводы В.И. Арнольда о значении исследования нелинейных моделей для управления. В книге «Теория катастроф», опубликованной в 1990 г., он, в частности, пишет: «…нынешняя перестройка во многом объясняется тем, что начали действовать хотя бы некоторые механизмы обратной связи (боязнь личного уничтожения)».

Классификация математических моделей

(параметры модели)

При построении моделей реальных объектов и явлений часто приходится сталкиваться с недостатком информации. Для исследуемого объекта распределение свойств, параметры воздействия и начальное состояние известны с той или иной степенью неопределенности. При построении модели возможны следующие варианты описания неопределенных параметров:

Варианты описания

неопределенности

Значения параметров

детерминированное

детерминированные величины (каждому параметру соответствует конкретное число или функция)

стохастическое

случайные величины, заданные плотностями вероятности

интервальное

величины, заданные интервалом, т.е. минимальным и максимальным значениями параметров

нечеткое

функции принадлежности соответствующему нечеткому с позиции математики множеству (много больше пяти, около нуля,…)


Классификация математических моделей

(методы реализации)

Методы реализации ММ можно классифицировать в соответствии с таблицей, приведенной ниже.

Методы реализации ММ
















аналитические




алгоритмические
















функциональные

приближенные




численные

имитационные

Метод реализации модели относится к аналитическим, если он позволяет получить выходные значения параметров в виде аналитических выражений. Этот случай встречается в настоящее время достаточно редко. Однако при реализации численных и имитационных методов необходима проверка полученного решения. Такая проверка осуществляется для предельных случаев поставленной задачи при сравнении имеющегося аналитического решения с его аналогом, рассчитанным численно.

Очень часто аналитическое решение для модели представляется в виде функций. Для получения значений этих функций при конкретных значениях входных параметров используют их разложение в ряды (например, Тейлора), и значение функции при каждом значении аргумента определяется приближенно. Модели, использующие такой прием, называются приближенными.

При численном подходе совокупность математических соотношений модели заменяется конечномерным аналогом. Это чаще всего достигается дискретизацией исходных соотношений, т.е. переходом от функций непрерывного аргумента к функциям дискретного аргумента (сеточные методы).

Найденное после расчетов на компьютере решение принимается за приближен-ное решение исходной задачи.

Большинство существующих систем является очень сложными, и для них невозможно создать реальную модель, описанную аналитически. Такие системы следует изучать с помощью имитационного моделирования. Один из основных приемов имитационного моделирования связан с применением датчика случайных чисел.

Так как огромное количество задач решается методами ММ, то способы реализации ММ изучаются не в одном учебном курсе. Здесь и уравнения в частных производных, численные методы решения этих уравнений, вычислительная математика, компьютерное моделирование и т.п.



1 ПОЛИНГ, ЛАЙНУС КАРЛ (Pauling, Linus Carl) (1901-1994), американский химик и физик, удостоенный в 1954 Нобелевской премии по химии за исследования природы химической связи и определение структуры белков. Родился 28 февраля 1901 в Портленде (шт. Орегон). В 1928-1931 разработал квантовомеханический метод изучения строения молекул (наряду с американским физиком Дж.Слейером) — метод валентных связей, а также теорию резонанса, позволяющую объяснить строение углеродосодержащих соединений, прежде всего соединений ароматического ряда. В период культа личности СССР ученые, занимавшиеся квантовой химией подвергались гонениям и обвинялись в «полингизме».


2 МАЛЬТУС, ТОМАС РОБЕРТ (Malthus, Thomas Robert) (1766-1834), английский экономист. Родился в Рукери близ Доркинга в Суррее 15 или 17 февраля 1766. В 1798 анонимно опубликовал труд Опыт о законе народонаселения. В 1819 Мальтус был избран членом Королевского общества.





Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconЛекция религии современных неписьменных народов: человек и его мир лекция шаманизм приложение список сокращений Лекция предмет и основные понятия истории религий слово «религия»
Редактор Т. Липкина Художник Л. Чинёное Корректор Г. Казакова Компьютерная верстка М. Егоровой

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconЛекция 2
Лекция Насекомые энтомофаги, акарифаги и зоофаги в экосистемах. Основные направления их использования. Прин­ципы регуляции численности...

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconЛекция №1 по дисциплине
Лекция №1 по дисциплине: «Автоматизированная деятельность в таможенных органах»

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconНовые (нетрадиционные) направления исследований в криминалистике
Данная лекция посвящена рассмотрению формирующихся в последнее время отраслей криминалистического научного знания, нетрадиционных...

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconТамара Моисеевна Шнейдер
Интеграция различных предметов, изучающихся в музыкальной школе, очевидна. Эта лекция не единственная, проведено несколько лекций...

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconЛекция «Международное сотрудничество как основа для антитеррористической деятельности» 4 Лекция «Позитивная и негативная роль сми в формировании образа террориста у молодого поколения»
Лекция «Позитивная и негативная роль сми в формировании образа террориста у молодого поколения»

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconПредисловие научного редактора русского издания
Маслоу, точно совпали с теми, что в детстве возникали у самого Эллиота, страдавшего от антисемитских преследований со стороны своих...

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconЛекция № Тема: Культура древних цивилизаций
Азии и северной Африке. В это время особенно расцветала архитектура храмов. Среди наибольших достижений художественного творчества...

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconКурс лекций Москва 2002 Лекция 1 о критериях и смысле периода Новое время
Лекция 1 о критериях и смысле периода Новое время «Все части нашего мира так связа­ны и соединены одна с другою, что я полагаю невозможным...

Методология научного творчества лекция 4 лекция 4 iconЛекция II (1)

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка