I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары




НазваI. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары
старонка1/2
Дата канвертавання22.11.2012
Памер89.85 Kb.
ТыпДокументы
  1   2


АНАЛІТЫЧНАЯ ГЕАМЕТРЫЯ

НА

ПЛОСКАСЦІ


I. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТАРНАЙ АЛГЕБРЫ

§ 1. Накіраваныя адрэзкі. Вектары.

Паняцце вектара адносіцца да аднаго з важных матэматычных паняццяў.

1. Накіраваныя адрэзкі.

А з н а ч э н н е. Адрэзак называецца накіраваным, калі вызна-чаны парадак задання яго канцоў. Калі – першы пункт (пачатак), – другі пункт, тады накіраваны адрэзак абазначаецца , калі – першы пункт, другі пункт, тады адрэзак абазначаецца .




Рыс. 1 Рыс. 2 Рыс. 3

На рысунку накіраваны адрэзака паказваецца стрэлкай, накіраванай да яго канцавога пункта. Напрыклад, на рысунку 1 паказаны накіраваныя адрэзкі і .

Накіраваны адрэзак, пачатак і канец якога супадаюць, называецца нулявым і абазначаецца , і т. д.

А з н а ч э н н е. Даўжынёй накіраванага адрэзка называецца даўжыня адрэзка . Даўжыня накіраванага адрэзка абазначаецца .

Даўжыня нулявога адрэзка лічыцца роўнай нулю.

А з н а ч э н н е. Ненулявыя накіраваныя адрэзкі і называюцца аднолькава накіраванымі, калі прамені і аднолькава накіраваныя.

Аднолькава накіраваныя адрэзкі і (рыс. 2) абазначаюцца .

Нулявы накіраваны адрэзак лічыцца аднолькава накіраваным з любым накіраваным адрэзкам.

А з н а ч э н н е. Ненулявыя накіраваныя адрэзкі і называюцца процілегла накіраванымі, калі прамені і процілегла накіраваныя .

Процілегла накіраваныя адрэзкі і (рыс. 3) абазначаюцца .

З а ў в а г а. Калі прамыя і супадаюць тады накіраваныя адрэзкі і называюцца аднолькава накіра-ванымі (процілегла накіраванымі, калі перасячэнне праменяў і ёсць прамень ( адрэзак, пункт або пустое мноства).

А з н а ч э н н е. Ненулявыя накіраваныя адрэзкіі назваюцца эквівалентнымі, калі яны аднолькава накіраваныя і маюць роўныя даўжыні. Эквівалентныя адрэзкі абазначаюцца .

Такім чынам, тады і толькі тады, калі і

=.

Прыклад 1. Няхай – паралелаграм, тады накіраваныя адрэзкі і эквівалентныя і (рыс. 4).

П ы т а н н і: 1) Растлумачце , чыму накіраваныя адрэзкі і не з’яўляюцца эквівалентнымі ? (рыс. 4).

2) Ці з’яляюцца эквівалентнымі накіраваныя адрэзкі: і ; і ? (рыс. 4).

3) Прывядзіце прыклад эквівалентных накіраваных адрэзкаў.





Рыс. 4. Рыс. 5 Рыс. 6

Прыклад 2. Няхай – паралелепіпед. Тады і эквівалентныя накіраваныя адрэзкі.

П ы т а н н і: 1) Растлумачце, чыму накіраваныя адрэзкі і з’яўляюцца эквівалентнымі? (рыс. 5).

2) Ці з’яляюцца эквівалентнымі накіраваныя адрэзкі: і ;

і (рыс. 5).

3) Прывядзіце прыклад эквівалентных накіраваных адрэзкаў.

Т э а р э м а (прымета эквівалентнасці накіраваных адрэзкаў). Для таго каб накіраваныя адрэзкі і былі эквівалентнымі неабходна і дастаткова каб пункт быў сярэдзінай адрэзкаў і .

Д о к а з. Неабходнасць. Няхай . (рыс. 6). Тады чатырохвугольнік паралелаграм, а у паралелаграме дыяганалі пунктам пересячэння дзеляцца папалам.

Дастатковасць. Няхай дзеліць кожны з адрэзкаў і . Адсюль вынікае, што – паралелаграм. А значыць, і альбо .

Няхай – мноства накіравных адрэзкаў на плоскасці ( або ў прасторы).

Т э а р э м а. Адносіна эквівалентнасці накіраваных адрэзкаў мае наступные ўласцівасці: 1) Любы накіраваны адрэзак эквівалентны сам сабе: ;

2) Калі , то .

3) Калі і , то .

З гэтай тэарэмы вынікае, што мноства ўсіх накіраваных адрэзкаў разбіваецца на падмноствы (класы) эквівалентных накіраваных. Гэтыя класы ( мноствы) паміж сабой не перасякаюцца. Кожны такі клас называецца свабодным вектарам ( альбо вектарам).

2. Вектары.

А з н а ч э н н е. Вектарам называецца класс накіраваных адрэзкаў эквівалентных накіраванаму адрэзку .

Вектар можа абазначацца таксама так: і т. д.

На рысунку вектар паказваецца ў выглядзе любога накіраванага адрэзка, якія вызначаюць гэты вектар.

А з н а ч э н н е. Клас усіх нулявых накіраваных адрэзкаў называецца нулявым вектарам і абазначаецца .

А з н а ч э н н е. Даўжынёй вектара называецца даўжыня адрэзка : .

Даўжыня нулявого вектара лічыцца роўнай нулю: .

А з н а ч э н н е. Вектары і называются роўнымі, калі яны супадаюць як класы эквівалентных накіраваных адрэзкаў.

Т э а р э м а 1. Калі тады .

Дакажыце самастойна.

Т э а р э м а ( аб адкладванні вектара ад пункта). Для любога вектара існуе адзіны пункт такі, што .

Д о к а з. Дакажам існаванне пункта . Няхай – адвольны пункт, – адвольны вектар. Возмем такі адрэзак , што . Няхай пункт – сярэдзіна адрэзка , а пункт – пункт сіметрычны пункту адносна пункта . Тады адрэзкі і эквівалентныя, а значыць, (рыс. 7).

Рыс. 7

Дакажам адзинасць пункта . Дапусцім, што існуе яшчэ адзін пункт такі, што . Тады . Па тэарэме 1 атрымліваем, што , значыць . Тэарэма даказана.

А з н а ч э н н е. Вектары і называюцца аднолькава накіраванымі (процілегла накіраванымі), калі аднолькава накіраваныя (процілегла накіраваныя) адрэзкі і .

Напрыклад, калі – паралелаграм, – пункт перасячэння яго дыяганалей, тады вектары і аднолькава накіраваныя (рыс. 4).

А з н а ч э н н е. Няхай дадзен вектар , тады вектар называецца процілеглым вектару і абазначаецца .

Напрыклад, няхай – паралелепіпед, тады вектар процілеглы вектару (рыс. 5).

А з н а ч э н н е. Вектары і называюцца калінеарнымі (абазначаецца||), калі прамыя і паралельныя, альбо супадаюць.

Напрыклад, калі– паралелограм, – пункт перасячэння яго дыяганалей, тады калінеарнымі з’ўляюцца вектары: і ;

і .

А з н а ч э н н е. Вектары называются кампланарнымі, калі адпаведныя накіраваная адрэзкі паралельныя адной плоскасці, ці ляжаць у адной плоскасці.

Напрыклад, вектары , і кампланарныя (рыс. 5).

П ы т а н н і: 1) – паралелепіпед (рыс. 5).Ці з’яўляюцца вектары і роўнымі?; 2) Назавіце вектар, які процілеглы вектару ; 3) Прывядзіце прыклад кампланарных вектараў.

  1   2

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconПытанні да экзамена па геаметрыі
Геаметрычныя вектары. Роўныя вектары. Складанне вектараў І множанне вектара на лік. Асноўныя уласцівасці гэтых аперацый

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconПытанні да экзамена па геаметрыі
Геаметрычныя вектары. Роўныя вектары. Складанне геаметрычных вектараў. Правіла трохвугольніка І паралелаграма. Асноўныя уласцівасці...

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconРабочая программа по курсу "элементы абстрактной и компьютерной алгебры"
Весь ход объективного развития информатики показывает, что информатика по мере своего становления неуклонно математизируется в своих...

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconПравило параллельных ветвей и Электроника. История развития
Электроника – это наука о процессах происходящих в электрических цепях, содержащих электрические элементы, полупроводниковые элементы,...

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconПравило параллельных ветвей и Электроника. История развития
Электроника – это наука о процессах происходящих в электрических цепях, содержащих электрические элементы, полупроводниковые элементы,...

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconПрактычныя заняткі
У адмоўным накірунку бінармалей ад кожнага пункта лініі,, адкладзены адрэзкі даўжынёй

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconАрганізацыйна-педагагічныя мерапрыемствы, накіраваныя на атрыманне вучнямі адукацыі

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconАрганізацыйна-педагагічныя мерапрыемствы, накіраваныя на атрыманне вучнямі адукацыі

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconПлан работы на 201 2
Арганізацыйна-педагагічныя мерапрыемствы, накіраваныя на атрыманне навучэнцамі адукацыі

I. элементы вектарнай алгебры § Накіраваныя адрэзкі. Вектары iconТэма Пераўтварэнні плоскасці Афіннае пераўтварэнне плоскасці. Дзеянне афіннага пераўтварэння на вектары плоскасці. Заданне афіннага пераўтварэння дзвюмя
Афіннае пераўтварэнне плоскасці. Дзеянне афіннага пераўтварэння на вектары плоскасці. Заданне афіннага пераўтварэння дзвюмя тройкамі...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка