Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк




НазваНяхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк
Дата канвертавання22.11.2012
Памер128.25 Kb.
ТыпДокументы
НЯВЫЗНАЧАНЫ IНТЭГРАЛ


§1 Паняцце першаiснай i нявызначанага iнтэграла.


П.1 Паняцце першаiснай.


Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi, тэхнiкi прыводзяць нас да неабходнасцi рашэння адваротнай задачы, г.зн. знаходжанне функцыi па яе вытворнай .

Напрыклад, задача вызначэння закона руху матэрыяльнага пункта па зададзенай хуткасцi.


Азначэнне 1: Функцыя называецца першаiснай для функцыi на прамежку , калi для ўсiх з прамежку мае месца роўнасць


Прыклад: . Першаiснай для функцыi на з’яўляецца функцыя , так як . Нецяжка заўважыць, што функцыi


i г. д. таксама зяўляюцца першаiснымi функцыi .


ТЭАРЭМА 1: Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку . Тады пры адвольным пастаянным , функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку . Кожная першаiсная на прамежку , з’яўляецца функцыей выгляду , дзе - некаторы пастаянны лiк.


Доказ: 1.Так як - першаiсная функцыi , то па азначэнню


Разгледзiм функцыю+, дзе - некаторы пастаянны лiк:


Па азначэнню гэта азначае , што функцыя + - першаiсная функцыi на прамежку .

  1. Так як першаiсная функцыi на прамежку Х, то


(1).


Няхай Ф – адвольная першаiсная для функцыi на прамежку Х, г.зн., што


(2)

З (1) i (2) вынiкае, што . Так як функцыi i Ф на прамежку Х маюць роўныя вытворныя , то на гэтым прамежку яны адрознiваюца на пастаянную. Гэта значыць, што

- пастаянны лiк.▼


Вынiк: Няхай якая-нiбудзь першаiсная для функцыi на прамежку Х . Мноства ўсiх функцый выгляду , дзе С – адвольны пастаянны лiк есць мноства ўсiх першаiсных для функцыi на прамежку Х.


П.2 Паняцце нявызнаанга iнтэграла


Азначэнне 2: Мноства ўсiх першаiсных функцыi на прамежку Х называецца нявызначаным iнтэгралам ад функцыi на гэтым пармежку i абазначаецца


Чытаецца так: iнтэграл ад ад х . Сiмвал называецца знакам нявызначанага iнтэграла, - падынтэгральная функцыя, - падынтэгральным выразам.

Такiм чынам, па азначэнню


дзе - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , С – адвольная пастаянная.


Прыклад:


Такiм чынам, знаходжанне нявызначанага iнтэграла зводзiцца да знаходжання якой-нiбудзь адной першаiснай для падынтэгральнай функцыi.

Знаходжанне нявызначанага iнтэграла называецца iнтэграваннем дадзенай функцыi.


§2 Асноўныя ўласцiвасцi нявызначанага iнтэграла


10.

(1)


Роўнасць (1) вiдавочная, так як функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi .

Прыклад. .

Заувага. Формула (1) можа быць запiсана ў выглядзе


(1’)


20. (2)


Гэтую роўнасць трэба разумець так: вытворная нявызначанага iнтэграла роўна падынтэгральнай функцыi. Справядлiвасць яе вынiкае з азначэння першаiснай:


Заувага. Калi выкарыстаць азначэнне дыферэнцыяла, то з (2) атрымаем


(2’)


Гэта азначае, што дыферэнцыял ад нявызначанага iнтэграла роўны падынтэгральнаму выразу.


30. Калi функцыi i маюць першаiсныя , то функцыя + таксама мае першаiсную, прычым


(3)


Гэта азначае, што нявызначаны iнтэграл ад сумы функцый роўны суме нявызначаных iнтэгралаў ад дадзеных функцый..

Роўнасць (3) будзем разумець як роўнасць двух мностваў. У левай часцы маем мноства ўсiх першаiсных для функцыi +. Правую частку разумеем як мноства магчымых функцый , кожная з якiх прэдстаўляе сабой суму якой-нiбудзь першаiснай для i якой-нiбудзь першаiснай для .

Доказ. Няхай - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , а - якая-нiбудзь першаiсная для функцыi . Тады па азначэнню першаiснай будзем мець


Разгледзiм функцыю . Гэта функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi +, так як


Адсюль вынiкае, што iснуе першаiсная функцыi +.

Дакажам роўнасць (3). Так як з'яўляецца першаiснай для функцыi +, то


дзе С – адвольная пастаянная.

Так як - якая-нiбудзь першаiсная функцыi , а - якая-нiбудзь першаiсная для функцыi , то


дзе i - адвольныя пастаянныя.

Такiм чынам, у левай часцы роўнасцi (3) мы маем мноства функцый выгляду


У правай часцы – мноства функцый выгляду


На падставе таго, што С, , - адвольныя пастаянныя велiчынi, то гэтыя мноствы роўныя. Адсюль вынiкае справядлiвасць роўнасцi (3).



Прыклад.


40. Калі функцыя мае першаісне і - сапраўдны лік , то функцыя таксама мае першаісную, прычым


(4)


г.зн., пастаянны множнік можна выносіць за знак інтэграла.


Доказ. Роўнасць (4) мы разумеем як роўнасць двух мностваў – мноства першаісных функцыі і мноства функцый, якія з’яўляюцца здабыткам на першаісную функцыі .

Няхай якая-нiбудзь першаiснаяфункцыi, тадыпершаіснаяфункцыі,

так як


Згодна з азначэннем вызначанага інтэграла


Так як , то з роўнасці С1=С2 для кожнага С2 можна знайсці С1 і наадварот. Значыць мноствы функцый і супадаюць, што і даказвае роўнасць (4).




50. Інтэграл ад лінейнай камбінацыі функцый роўны лінейнай камбінацыі інтэгралаў ад разглядаемых функцый, г.зн.


(5)


дзе і - пастаянныя і .

Гэтая ўласцівасць называецца ўласцівасю лінейнасці. Яе справядлівасць вынікае з уласцівасцей 30 і 40.


§2 Табліца асноўных інтэгралаў


Няхай функцыя дыферэнцавальная на некаторым прамежку Х. Кожная з наступных формул справядлівая на адвольным прамежку, які змяшчаецца ў абсягу вызначэння.


1.

2.


3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;


11.


12. ;

13. ;

14. .

Доказы.


1.




2.Калі , то і


Калі , то і


Такім чынам,





11.





Прыклады.


1) ;


2)


3)

.


§3 Метады інтэгравання.

П.1 Замена зменнай у нявызначаным інтэграле



ТЭАРЭМА 1. Няхай функцыя вызначана на прамежку Х і з’яўляецца дыферэнцавальнай на ім і прымае значэнні з прамежку Т. Функцыя вызначана на прамежку Т, мае на ім першаісную G і


(1)


Тады функцыя мае першаісную на Х, прычым


(2)


Доказ. Па ўмове тэарэмы функцыя G з’яўляецца першаіснай для функцыі g. Гэта азначае, што функцыя G з’яўляецца дыферэнцавальнай на прамежку Т.

Разгледзім кампазіцыю функцый


Так як дыферэнцавальная на Х па ўмове, то функцыя - дыферэнцавальная як кампазіцыя дыферэнцавальных функцый. Тады


функцыя з’яўляеццп першаіснай для функцыі


.




На практыцы формулу (2) выкарыстоўваюць наступным чынам:




(3)


Часта формулу (3) называюць формулай паднясення пад знак дыферэнцыяла.


Прыклады.

1) .


2)


3)


4) Калі функцыя мае першаісную , то


5)


П.2 Інтэграванне метадам падстаноўкі



ТЭАРЭМА 2. Няхай функцыя - строга манатонная і дыферэнцавальная на прамежку Т функцыя, са значэннямі з прамежку Х. Калі функцыя мае прешаісную на прамежку Т, то функцыя мае першаісную на прамежку Х, прычым


дзе функцыя вызначана на прамежку Х і з’яўляецца адваротнай для функцыі .


Доказ. Так як функцыя - строга манатонная і дыферэнцавальная на прамежку Т, то для яе на прамежку Х вызначана адваротная функцыя .

Разгледзім складаную функцыю , якая з’яўляецца дыферэнцавальнай як кампазіцыя дыферэнцавальных функцый. Так як - першаісная функцыі на прамежку Т, то


Такім чынам, функцыя з’яўляецца першаіснай для функцыі на прамежку Х. Тады




Прыклады.

1)


2)


§4 Інтэграванне часткамі


ТЭАРЭМА. Няхай функцыі і непарыўныя на прамежку Х, маюць наім непарыўныя вытворныя і існуе першаісная для функцыі на прамежку Х. Тады існуе першаісная для функцыі , прычым


(1)



Доказ. Па тэарэме аб вытворнай здабытку будзем мець,


. (2)


Першаісная функцыі існуе на падставе ўмовы тэарэмы. Згодна з уласцівасю 10 нявызначнага інтэграла першаісная функцыі існуе і роўна на прамежку Х. Такім чынам з роўнасці (2) вынікае , што існуе і першаісная функцыі .

Калі праінтэгруем роўнасць (2), то атрымаем




Роўнасць (1) называецца формулай інтэгравання часткамі.


Пры дапамозе гэтага метада можна вылічаць наступныя групы інтэгралаў:


  1. Інтэгралы, падынтэгральная функцыя каторых змяшчае ў якасці множніка адну з наступных функцый –



За трэба ўзяць адну з гэтых функцый.


2)


- const, . Трэба n разоў скарыстаць формулу (1) .Пры гэтым за трэба ўзяць .

3)


Прыклады.


1).

2)


Праінтэграваўшы часткамі два разы, мы прыйшлі да зыходнага інтэграла. Фактычна атрымана ўраўненне для знаходжання інтэграла:



Значыць,


§5 Інтэграванне простых дробаў


Простымі дробамі называюцца дробы наступнага выгляду


I. II. III. IV.

дзе a, p, q, A, M, N – сапраўдныя лікі, n – натуральны лік, .

Разгледзім інтэграванне простых дробаў:


I. .


II. .


III.


IV.


Вылічым інтэграл пры дапамозе рэкурэнтнай формулы (recyrentis (лат.) – возвращаться).


Такім чынам,


(1)


Вылічым

.

Такім чынам


Падставім гэты выраз у (1), атрымаем


Адсюль вынікае, што


(2)


Формула (2) называецца рэкурэнтнай формулай . Яна зводзіць вылічэнне да вылічэння , а да і г.д. да вылічэння , які з’яўляецца таблічным.


Прыклады.


1)


.


§6 Інтэграванне рацыянальных функцый


Рацыянальнай функцыей называецца функцыя выгляду , дзе - мнагасклады. Мнагасклад з’яўляецца прыватным выпадкам рацыянальнай функцыі і называецца цэлай рацыянаьнай функцыей. Рацыянальная функцыя, якая не з’яўляецца цэлй называецца дробна-рацыянальнай функцыей ці рацыянальным дробам.

Рацыянальны дроб называецца правільным, калі ступень мнагасклада меньш ступені мнагасклада . У процілеглым выпадку дроб называецца – неправільным.

Цэлыя рацыянальныя функцыі мы інтэграваць умеем. Няхай - правільны рацыянальны дроб. Мможна лічыць, што мнагасклад мае каэфіцыент 1 пры старэйшай ступені. У курсе алгебры даказваецца, што мнагасулад можна прэдставіць у выглядзе здабытку лінейных і квадратных множнікаў з сапраўднымі каэфіцыенртамі, прычым у кожнага квадратнага множніка дыскрымінант будзе адмоўны. Калі аб’яднаць аднолькавыя множнікі, то атрымаем наступнае прэдстаўленне назоўніка:


(1)

дзе - натуральныя лікі, - сапраўдныя лікі, такія, што .

У курсе алгебры будзе даказана наступная тэарэма.


ТЭАРЭМА 1. Няхай - правільны рацыянальны дроб, назоўнік якога мае выгляд (1). Такі дроб можна прэдставіць у выглядзе сумы простых дробаў, прычым у такім прэдстаўленні кожнаму множніку назоўніка адпавядае наступная сума n простых дробаў


кожнаму множніку назоўніка адпавядае наступная сума m простых дробаў


Такім чынам, кожны правільны рацыянальны дроб можна прэдставіць у выглядзе сумы простых дробаў


Каэфицыенты гэтага прэдстаўлення знаходзяцца пры дапамозе метада нявызначаных каэфицыентаў.


Прыклады.

1) .

Падынтэгральная функцыя – гэта правільны рацыянальны дроб. Згодна з тэарэмай запішам расклад яго на простыя дробы.




(2)








Каэфіцыенты можна знаходзіць і так:

У (2) паступова паложым

Такі метад называецца метадам прыватных значэнняў.


Такім чынам, атрымалі


Такім чынам, калі - правільны рацыянальны дроб, то яго інтэграванне зводзіцца да інтэгравання простыз дробаў (§5).

Няхай - неправільны рацыянальны дроб. Падзяліўшы лічнік на назоўнік, мы прэдставім яго ў выглядзесумы мнагасклада і праільнага рацыянальнага дробу.

Прыклад.

.


Так як інтэгралы ад мнагаскладу і простых дробаў выражаюцца праз элементарныя функцыі, то з гэтых разважанняў вынікае


ТЭАРЭМА 2. інтэграл ад кожнай рацыянальнай функцыі выражаецца праз элементарныя функцыі.


§7 Вылічэнне інтэгралаў выгляду ,

дзе - сапраўдныя лікі, .


Сімвалам абазначана функцыя, якая атрымоўваецца ў ваыніку выканання арыфметычных аперацый над пастаяннымі і функцыямі і і называецца дробава-лінейнай ірацыянальнасцю.

Разглядаемы інтэграл вылічаецца метадам рацыяналізацыі інтэграла. Дакажам, што дадзены інтэграл рацыяналізуецца пры дапамозе падстаноўкі .

Сапраўды


Тады

.


Такім чынам


=


Не цяжка заўважыць, што ёсць рацыянальная функцыя аргументв t. Гэта значыць, што дадзеная падстаноўка прывяла інтэграл да інтэгралу ад рацыянальнай функцыі, які мы ўмеем інтэграваць (§6).

Калі падінтэгральная функцыя мае выгляд


дзе - рацыянальныя лікі, то інтэграл ад такой функцыі рацыяналізуецца пры дапамозе падстаноўкі

,

дзе n – найменьшы агульны назоўнік дробаў .


Разгледзім некаторыя прыватныя выпадкі :


  1. Калі


рацыяналізуецца пры дапамозе падстаноўкі .


  1. Калі


рацыяналізуецца пры дапамозе падстаноўкі .


Прыклады.

1)




2)


3)

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon+, дзе некаторы пастаянны лiк: Па азначэнню гэта азначае, што функцыя +
Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi,...

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
Тэарэма Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя f(X), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Функцыя f(X) — сталая на...

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
Азначэнне. Рашэннем здр (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку І задавальняе...

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
Тэарэмы16. 1–16 Няхай на адрэзку [a, b] азначана непарыўная функцыя f(X), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Менавіта тады

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
Няхай функцыі u(Х) І v(X )дыферэнцавальныя І непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f
Азначэнне Няхай функцыя вызначана на некаторым канечным ці бясконцым прамежкулікавай восі R, гэта значыць на інтэрвале, паўінтэрвале...

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon2  Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу: d() = ()’ = f(X)dx. 3 
Азначэнне Функцыя f называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xx f’(X) = f(X)

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon4. Няхай у палярнай сістэме каардынат дадзена крывая , якая зададзена раўнаннем r=f(), (5) дзе f – непарыўная на [;] функцыя. Дакажам, што – з'яўляецца крывой Жардана. Дадатковыя звесткі
Прыклад Графік функцыі y = f(X), непарыўнай на адрэзку [a, b], з’яўляецца крывой Жардана

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк icon§. Плошча паверхні абароту
Няхай на адрэзку [a,b] азначана непарыўная, дадатная, дыферэнцавальная функцыя y = f(X), графікам якой з’яўляецца крывая ав. Пры...

Няхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк iconIндывiдуальныя заданнi па тэме «Функцыi некалькiх зменных» для самастойнай работы студэнтау
Знайсцi усi частковыя вытворныя I поуныя дыферэнцыялы першага I другога парадкау ад функцыi

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка