), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f




Назва), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f
старонка1/5
Дата канвертавання22.11.2012
Памер356.59 Kb.
ТыпДокументы
  1   2   3   4   5
Тэма 1: Азначэнне і ўласцівасці нявызначанага інтэграла


Азначэнне 1.1. Няхай функцыя вызначана на некаторым канечным ці бясконцым прамежкулікавай восі R , гэта значыць на інтэрвале, паўінтэрвале ці адрэзку.

Функцыя F(x) , якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f(x) на , калі

  1. функцыя F(x) непарыўна на прамежку ,

  2. ва ўсіх унутраных пунктах прамежку функцыя f(x) мае вытворную і F’(x)=f(x) ў прыватнасці.

Азначэнне 1.2. Функцыя F(x) называецца першаіснай для функцыі f(x) на інтэрвале (a,b), калі ў любым пункце x інтэрвала (a,b) функцыя F(x) дыферэнцавальная і мае вытворную F’(x), якая роўна f(x).

Тэарэма 1.1. Калі функцыя F(x) з’яўляецца якой-небудзь першаіснай для функцыі f(x) на прамежку , тады кожная функцыя (x) выгляду (x)=F(x)+C, таксама з’яўляецца першаіснай функцыі f(x) і ўсякая першаісная функцыі f(x) мае выгляд

, дзе С=const.

Азначэнне 1.3. Сукупнасць усіх першаісных функцый f(x), якія вызначаны на некаторым прамежку , называецца нявызначанным інтэгралам ад функцыі f(x) на гэтым прамежку і абазначаецца .

Калі F(x) якая-небудзь першаісная функцыі f(x) на , то , дзе С – адвольная сталая.


Асноўныя ўласцівасці нявызначанага інтэграла

  1. Няхай функцыя F(x) непарыўная на і дыферэнцавальная ва ўнутраных пунктах, тады .

  2. Няхай f(x) мае першаісную на , тады для любога ўнутранага пункта прамежку мае месца роўнасць .

  3. Калі функцыі i маюць першаісныя на тады функцыя таксама мае першаісную на , прычым .

  4. Калі функцыя f(x) мае першаісную на і k – лік, тады функцыя kf(x) таксама мае на першаісную, прычым .


Табліца інтэгралаў

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.


Асноўныя метады інтэгравання


Замена зменных у нявызначаным інтэграле

Тэарэма 2. Няхай функцыя вызначана і непарыўна на прамежку , дыферэнцавальная ўнутры яго і адрозніваецца ад канстанты, g – функцыя, якая вызначана на прамежку , мае на ім першаісную G і

.

Тады f мае першаісную на і

. (1)

Тэарэма 3. Няхай непарыўная на прамежку, I строга манатонная на ім і дыферэнцавальная ў кожным унутраным пункце I функцыя. Калі функцыя мае першаісную на I, тады f мае першаісную на і , (2)

дзе – функцыя на адваротная да .

Заўвага.

- формула ўводзіны множніка пад знак дыферанцыяла,

- формула інтэгравання заменай зменнай.


Інтэграванне на частках


Тэарэма 4. Калі функцыі u(x) і v(x) непарыўныя на некаторым прамежку, дыферэнцавальныя ўнутры яго і на гэтым прамежку існуе інтэграл , тады на ім існуе і інтэграл , прычым

.


Пытанні для самакантролю


  1. Дайце азначэнне першаіснай на адвольным прамежку .

  2. Дайце азначэнне першаіснай на інтэрвале.

  3. Дайце азначэнне нявызначанага інтэграла.

  4. Сфармулюйце і дакажыце асноўныя ўласцівасці нявызначанага інтэграла.

  5. Дакажыце тэарэму аб інтэграванні падстаноўкай у нявызначаным інтэграле.

  6. Дакажыце тэарэму аб інтэграванні заменай зменнай у нявызначаным інтэграле.

  7. Сфармулюйце і дакажыце тэарэму аб інтэграванні па частках у нявызначаным інтэграле.


Прыклады рашэння задач

Разгледзім прыклады непасрэднага інтэгравання

  1. .

Карыстаючыся ўласцівасцямі нявызначанага інтэграла і формуламі табліцы інтэгралаў, атрымаем



.


Заўважым, што адвольныя сталыя, якія ўваходзяць паводле азначэння ў кожны нявызначаны інтэграл, аб’ядноўваюцца ў адну адвольную сталую.

  1. .






.




.




.




.




.


Уводзіны множніка пад знак дыферэнцыяла ажыццяўляецца паводле формулы , дзе (формула 1 тэарэмы 2).

  1. .






.




.





.




.


  1. .







.


  1. .




  1. .




  1. .






.






.




.




.


  1. ,

дзе .


Практыкаванні для самастойнай работы


Знайсці інтэгралы


































































  1   2   3   4   5

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f icon2  Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу: d() = ()’ = f(X)dx. 3 
Азначэнне Функцыя f называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xx f’(X) = f(X)

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f icon§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
Азначэнне. Рашэннем здр (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку І задавальняе...

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f icon«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
Няхай функцыі u(Х) І v(X )дыферэнцавальныя І непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f icon§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
Тэарэма Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя f(X), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Функцыя f(X) — сталая на...

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f iconФункцыі некалькіх зменных
Разгледзім функцыі, якія вызначаны на мноствах n мернай еўклідавай прасторы Rn І значэннямі якіх з'яўляюцца сапраўдныя лікі. Будзем...

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f iconQ. Лік q называецца назоўнікам геаметрычнай прагрэсіі. Формула п-га члена геаметрычнай прагрэсіі мае выгляд: в
Бясконцай лікавай паслядоўнасцю называецца лікавая функцыя, якая зададзена на мностве ўсіх натуральных лікаў: а1, а2, а3, … ап, …...

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f icon§ Дыферэнцыял функцыі 1. Азначэнне дыферэнцыяла
Азначэнне Функцыя х называецца дыферэнцыялам функцыі f ў пункце x0 І абазначаецца

), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f iconЯкая клавіша выкарыстоўваецца для праверкі правапісу?
Як называецца дапаможная інфармацыя, якая выводзіцца на кожнай старонцы дакумента?

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка