Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы




НазваПрапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы
старонка1/6
Дата канвертавання22.11.2012
Памер0.93 Mb.
ТыпДокументы
  1   2   3   4   5   6

ПРАДМОВА


Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы i пры падрыхтоўцы да практычных заняткаў па тэмам “Нявызначаны iнтэграл”, “Вызначаны інтэграл”. Змест адпавядае тыпавой праграме матэматычнага аналiзу навучання ў педагагічным унiверсiтэце. У дапаможнiку ў сцiслым выглядзе размешчаны неабходныя тэарэтычныя звесткi i пытаннi для самакантроля, вельмi падрабязна праведзены рашэнні шэрага тыповых прыкладаў. Пасля кожнай тэмы прапаноўваюцца практыкаваннi для самастойнай работы студэнтаў з адказамi.

Дапаможнiк уключае дзевяць тэм: “Азначэнне i ўласцiвасцi нявызначанага iнтэграла”, “Iнтэграванне рацыянальных функцый”, “Iнтэграванне выразаў, якiя змяшчаюць трыганаметрычныя функцыi”, “Інтэграванне некаторых iрацыянальных выразаў”, “Iнтэграванне бiномнага дыферэнцыялу”, “Iнтэграванне функцый выгляду ”, “Інтэгральныя сумы. Азначэнне вызначанага інтэграла”, “Уласцівасці вызначанага інтэграла. Формула Н’ютана-Лейбніца”, “Вылічэнне вызначанага інтэграла”.

Аўтары спадзяюцца, што студэнты i выкладчыкi матэматычных факультэтаў педагагiчных вышэйшых навучальных устаноў выкарыстаюць дапаможнiк для правядзення практычных заняткаў i самастойнай працы навучэнцаў па абазначаных тэмах.

Глава I


НЯВЫЗНАЧАНЫ ІНТЭГРАЛ


Тэма 1. АЗНАЧЭННЕ І ЎЛАСЦІВАСЦІ

НЯВЫЗНАЧАНАГА ІНТЭГРАЛА


    1. Асноўныя тэарэтычныя звесткі


Азначэнне 1.1. Няхай функцыя вызначана на некаторым канечным ці бясконцым прамежкулікавай восі R , гэта значыць на інтэрвале, паўінтэрвале ці адрэзку. Функцыя F(x) , якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f(x) на , калі

  1. функцыя F(x) непарыўна на прамежку ,

  2. ва ўсіх унутраных пунктах прамежку функцыя F(x) мае вытворную і F’(x)=f(x) ў прыватнасці.

Азначэнне 1.2. Функцыя F(x) называецца першаіснай для функцыі f(x) на інтэрвале (a,b), калі ў любым пункце x інтэрвала (a,b) функцыя F(x) дыферэнцавальная і мае вытворную F’(x), якая роўна f(x).

Тэарэма 1.1. Калі функцыя F(x) з’яўляецца якой-небудзь першаіснай для функцыі f(x) на прамежку , тады кожная функцыя (x) выгляду (x)=F(x)+C, таксама з’яўляецца першаіснай функцыі f(x) і ўсякая першаісная функцыі f(x) мае выгляд

, дзе С=const.

Азначэнне 1.3. Сукупнасць усіх першаісных функцый f(x), якія вызначаны на некаторым прамежку , называецца нявызначанным інтэгралам ад функцыі f(x) на гэтым прамежку і абазначаецца .

Калі F(x) якая-небудзь першаісная функцыі f(x) на , то , дзе С – адвольная сталая.

Асноўныя ўласцівасці нявызначанага інтэграла

  1. Няхай функцыя F(x) непарыўная на і дыферэнцавальная ва ўнутраных пунктах, тады .

  2. Няхай f(x) мае першаісную на , тады для любога ўнутранага пункта прамежку мае месца роўнасць .

  3. Калі функцыі i маюць першаісныя на тады функцыя таксама мае першаісную на , прычым .

  4. Калі функцыя f(x) мае першаісную на і k – лік, тады функцыя kf(x) таксама мае на першаісную, прычым .


Табліца інтэгралаў

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6.

7. .

8. .

9. .

10..

11..

12..

13..

14..

15..

16..


Асноўныя метады інтэгравання


Замена зменных у нявызначаным інтэграле

Тэарэма 1.2. Няхай функцыя вызначана і непарыўна на прамежку , дыферэнцавальная ўнутры яго і адрозніваецца ад канстанты, g – функцыя, якая вызначана на прамежку , мае на ім першаісную G і

.

Тады f мае першаісную на і

. (1)

Тэарэма 1.3. Няхай непарыўная на прамежку I, строга манатонная на ім

і дыферэнцавальная ў кожным унутраным пункце I функцыя. Калі функцыя мае першаісную на I, тады f мае першаісную на і

, (2)

дзе – функцыя на адваротная да .

Заўвага .

(1) – ўводзіны множніка пад знак дыферанцыяла,

(2) – формула інтэгравання заменай зменнай.


Інтэграванне на частках

Тэарэма 1.4. Калі функцыі u(x) і v(x) непарыўныя на некаторым прамежку, дыферэнцавальныя ўнутры яго і на гэтым прамежку існуе інтэграл , тады на ім існуе і інтэграл , прычым

.


    1. Пытанні для самакантролю


1. Дайце азначэнне першаіснай на адвольным прамежку .

  1. Дайце азначэнне першаіснай на інтэрвале.

  2. Дайце азначэнне нявызначанага інтэграла.

  3. Сфармулюйце і дакажыце асноўныя ўласцівасці нявызначанага інтэграла.

  4. Дакажыце тэарэму аб інтэграванні падстаноўкай у нявызначаным інтэграле.

  5. Дакажыце тэарэму аб інтэграванні заменай зменнай у нявызначаным інтэграле.

  6. Сфармулюйце і дакажыце тэарэму аб інтэграванні па частках у нявызначаным інтэграле.


1.3. Прыклады рашэння задач


Разгледзім прыклады непасрэднага інтэгравання.

  1. .

Карыстаючыся ўласцівасцямі нявызначанага інтэграла і формуламі табліцы інтэгралаў, атрымаем



.

Заўважым, што адвольныя сталыя, якія ўваходзяць паводле азначэння ў кожны нявызначаны інтэграл, аб’ядноўваюцца ў адну адвольную сталую.











.



.




.



.


Уводзіны множніка пад знак дыферэнцыяла ажыццяўляецца паводле формулы , дзе (формула (1) тэарэмы 1.2.).



.




.



.



.



.

  1. .




.



.



.

  1. .



.






.



.



.

  1. ,

дзе


Замена зменных








.





.



.









.











.







.


Інтэграванне па частках


Да ліку інтэгралаў, якія вылічваюцца інтэграваннем па частках адносяцца, напрыклад, інтэгралы выгляду , дзе – мнагасклад, – адна з наступных функцый: .





.




Паўторнае інтэграванне па частках часам прыводзіць да раўнання адносна шуканага інтэграла



,

атрымалі раўнанне адносна I.

ці , тады


Часам інтэграванне па частках дазваляе атрымаць суадносіны паміж нявызначаным інтэгралам, які змяшчае ступень некаторай функцыі, і аналагічным інтэгралам, але з меншым паказчыкам ступені гэтай жа функцыі. Гэтыя суадносіны называюцца рэкурэнтнымі формуламі.

  1. Знайсці рэкурэнтную формулу для вылічэння інтэграла



, адсюль

Гэта формула дазваляе вылічыць інтэграл з дапамогай інтэграла , і таму інтэграл з любым натуральным індэксам, дзе

.


Разгледзім інтэграл выгляду , дзе– мнагасклад.







.

Для вылічэння інтэгралаў такога тыпу можна скарыстоўваць метад нявызначананых каэфіцыентаў.

  1. Знайсці метадам нявызначаных каэфіцыентаў

Лічым, што

.

Прадыферэнцуем гэтую роўнасць , ці

Прыраўняўшы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях , атрымаем сістэму для вызначэння каэфіцыентаў А, В, С.

.

Адсюль вынік

.

Метад нявызначаных каэфіцыентаў можна скарыстоўваць да інтэгралаў выгляду .

  1   2   3   4   5   6

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў...

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
Дапаможнік складаецца з шасці частак. Кожная частка прысвечана пэўнай тэме І ўтрымлівае ў сціслым выглядзе тэорыю, прыклады падрабязнага...

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconДапаможнік прызначаны для студэнтаў завочнага аддзялення матэматычнага факультэта спецыяльнасці 1-02 05 03 "Матэматыка". Яно напісана ў адпаведнасці з
Матэматыка”. Яно напісана ў адпаведнасці з дзейнічаючай тыпавой праграмай курса “Элементарная матэматыка з практыкумам па рашэнню...

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconГісторыя знешняй палітыкі Беларусі Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасцях
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconЗнешняя палітыка Рэспублікі Беларусь Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасці
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconПалажэнне аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучаль ных устаноў) Рэспублікі Беларусь глава I агульныя палажэнні
Аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучальных устаноў) Рэспублікі Беларусь

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconIнструкцыя аб парадку стажыроўкi на прадпрыемствах, у арганiзацыях I навуковых установах выкладчыкаў вышэйшых навучальных устаноў
Галоўная ўвага ў працэсе праходжання стажыроўкi павiнна ўдзяляцца навукова-даследчай працы

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconПравапіс літар е, ё, я
Беларуская мова. Практычны дапаможнік” падрыхтаваны ў адпаведнасці з патрабаваннямі “Праграмы па беларускай мове для медыцынскіх...

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы iconМ I н I стэрства аховы здароўя рэспубл I к I беларусь
Зацвердзiць Iнструкцыю аб прадстаўленнi акадэмiчных адпачынкаў студэнтам вышэйшых навучальных устаноў, навучэнцам сярэднiх спецыяльных...

Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы icon2. Мэтай атэстацыі педагагічных работнікаў з'яўляецца стымуляванне росту ІХ навукова-тэарэтычнага ўзроўню, прафесійнага майстэрства, развіцця творчай ініцыятывы, павышэння ІХ прэстыжу І аўтарытэту. 3
Палажэнне аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучальных устаноў) рэспублікі беларусь

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка