Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр




НазваКрытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр
старонка1/3
Дата канвертавання15.12.2012
Памер226.45 Kb.
ТыпДокументы
  1   2   3




Прыклад 3. Пакажам, што функцыі для розных сапраўдных лікаў k1, k2, … , km ствараюць лінейна незалежную на R сістэму функцый.

Сапраўды,

W[] = =


=


Апошні дэтэрмінант называецца

Дэтэрмінант Вандэрмонда няроўны нулю, калі лікі k1, k2, … , km няроўныя паміж сабой.

Заўвага. Роўнасць W(x) = 0 на адрэзку не з'яўляецца дастатковай ўмовай для лінейнай залежнасці сістэмы функцый.

Разгледзім, напрыклад, сістэму функцый






у якіх носьбіты ненулявых значэнняў не перасякаюцца.


На адрэзку [0, 2] маем роўнасць , таму што на адрэзку [0, 1] другі слупок W(x) роўны нулю, а на адрэзку [1, 2] — першы слупок.

Але сістэма u1(x), u2(x) лінейна залежнай не з'яўляецца, паколькі нельга знайсці няроўных нулю лікаў 1, 2, каб на адрэзку [0, 2] выконвалася тоеснасць


Роўнасць нулю дэтэрмінанта Вронскага на адрэзку з'яўляецца дастатковай ўмовай для лінейнай залежнасці сістэмы n рашэнняў ЛАДР n–га парадку.

Тэарэма 3 (крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ЛАДР).

Для таго, каб сістэма n рашэнняў y1, y2, ... , yn ЛАДР n–га парадку

L(y) = 0 (1)

з непарыўнымі на [a, b] каэфіцыентамі была лінейна незалежнай на [a, b], неабходна і дастаткова, каб


Доказ. Дастатковасць забяспечваецца вынікам тэарэмы 2.

Неабходнасць дакажам метадам ад супраціўнага. Няхай існуе x0  [a, b], што W(x0) = 0.

Тады разглядаем сістэму раўнанняў

, (3)

Яе дэтэрмінант W(x0) = 0, таму існуе нетрывіяльнае рашэнне сістэмы (3) — лікі 1, 2, ... , m не ўсе роўныя нулю.

Разглядаем функцыю

(4)

Яна з'яўляецца рашэннем ЛАДР (1), як лінейная камбінацыя рашэнняў.

З (3) вынікае, што функцыя (4) задавальняе пачатковым умовам

y(x0) = 0, y(x0) =0, ... , y(n – 1)(x0) = 0. (5)

Але тым жа ўмовам задавальняе і трывіяльная рашэнне yт(x)  0 раўнання (1).

Па тэарэме аб існаванні і адзінасці рашэння задача Кашы ЛАДР (1), (5) мае адзінае рашэнне, таму рашэнні yт(x)  0 і (4) супадаюць. Гэта азначае, што

1y1(x) + 2y2(x) + … + nyn(x)  0 на [a, b],

і сістэма рашэнняў y1, y2, ... , yn ЛАДР з'яўляецца лінейна залежнай, гэта супярэчыць умове ленейнай незалежнасці сістэмы n рашэнняў ЛАДР.


3º. Структура агульнага рашэння ЛАДР n–га парадку

Тэарэма 4. Калі каэфіцыенты ЛАДР n–га парадку

L(y) = 0, (1)

непарыўныя на [a, b] функцыі, тады існуе лінейна незалежная на [a, b] сістэма n рашэнняў ЛАДР.

Доказ. Фіксуем x0  [a, b].

Спачатку да ЛАДР (1) дадаем пачатковыя ўмовы выгляду

y(x0) = , y(x0) = , ... , y(n – 1)(x0) = . (6)

Па тэарэме п. 1º § 15 існуе адзінае рашэнне y1(x) задачы Кашы (1), (6).

Потым задаем другія пачатковыя ўмовы

y(x0) = , y(x0) = , ... , y(n – 1)(x0) = . (7)

Абазначым праз y2(x) — адзінае рашэнне задачы Кашы (1), (7).

Адпаведна будуем іншыя рашэнні ЛАДР (1), якія задавальняюць адпаведным краявым умовам.

yn(x) — апошнее рашэнне задачы Кашы з краявымі ўмовамі

y(x0) = , y(x0) = , ... , y(n – 1)(x0) = .

Атрымалі n рашэнняў ЛАДР (1). Паколькі для гэтых рашэнняў

W(x0) = = 1  0,

пабудаваная сістэма рашэнняў лінейна незалежная па выніку з тэарэмы 2.

Тэарэма даказана.


Азначэнне. Усялякая лінейна незалежная сістэма n рашэнняў ЛАДР (1) з непарыўнымі каэфіцыентамі называецца

ЛАДР (1).


Тэарэма 5. Агульнае рашэнне ЛАДР (1) з непарыўнымі каэфіцыентамі мае выгляд

(8)


дзе y1, y2, ... , yn — фундаментальная сістэма рашэнняў ЛАДР (1);

C1, C2, … , Cn — адвольныя канстанты.


Доказ. Праверым азначэнне агульнага рашэння (п. 2º § 15).

Відавочна, што функцыя (8) мае непарыўныя частковыя вытворныя па x да парадку n уключна, і пры любых C1, C2, … , Cn функцыя (8) з'яўляецца рашэннем лінейнага раўнання (1).

Зараз пакажам, што выконваецца ўласцівасць 2) азначэння — для любога набора x0, y0, можна знайсці значэнні канстантаў C1, C2, … , Cn.

Дыферэнцыруем (8), падстаўляем адзаначаны набор і атрымліваем сістэму

.

Дэтэрмінант сістэмы W(x0)  0, таму існуе нетрывіяльнае рашэнне C1, C2, … , Cn.


Вынік. Максімальны лік лінейна незалежных рашэнняў ЛАДР


4º. Формула Астраградскага-Ліувіля

Тэарэма 6. Для ЛАДР (1) з непарыўнымі на [a, b] каэфіцыентамі мае месца формула

дзе W(x) — вранскіян фундаментальнай сістэмы рашэнняў ЛАДР (1);

p1(x) — каэфіцыент пры y(n – 1)(x) у ЛАДР (1).


Доказ. Няхай маем фундаментальную сістэму рашэнняў ЛАДР (1) y1, y2, ... , yn.

Запісываем ЛАДР (1) у выглядзе

p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y + pn(x)y = – y(n). (9)

Падстаўляем кожную з функцый фундаментальнай сістэмы ў раўнанне (9) і атрымліваем алгебраічную сістэму



адносна каэфіцыентаў p1(x), p2(x), …, pn(x) з дэтэрмінантам W(x).

Па правілу Крамера

,

дзе .

Пры гэтым W1(x) = W(x), паколькі вытворная дэтэрмінанта W(x) n-га парадку ёсць сума n дэтэрмінантаў выгляду W(x), у кожным з якіх адзін слупок ёсць вытворная адпаведнага слупка W(x):

.

Ва ўсіх дэтэрмінантах-складніках, акрамя W1(x), атрымліваюцца аднолькавыя слупкі, таму гэтыя дэтэрмінанты знікаюць(роўныя нулю).

Маем дыферэнцыяльнае раўнанне

, ці W + p1(x)W = 0.

Рашэнне мае выгляд

.

Калі x = x0 атрымліваем W(x0) = C і формулу Астраградскага-Ліувіля.

Тэарэма даказана.


§ 19. Уласцівасці ЛНДР n–га парадку

1º. Структура агульнага рашэння ЛНДР

Тэарэма 1. Агульнае рашэнне ЛНДР

L(y) = f(x), (1)

з непарыўнымі каэфіцыентамі ёсць сума частковага рашэння ЛНДР (1) і агульнага рашэння адпаведнага ЛАДР.

Доказ. Няхай yч(x) — вядомае частковае рашэнне ЛНДР (1), а y(x) — адвольнае рашэнне ЛНДР.

Разгледзім функцыю


Карыстаемся лінейнасцю аператара L і маем


Адсюль вынікае, што z(x) з'яўляецца рашэннем ЛАДР і мае прадстаўленне (Т.5 § 19)

z(x) = C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn,

адкуль

y(x) = yч(x) + C1y1 + C2y2 + ... + Cnyn.

З другога боку, калі z(x) рашэнне ЛАДР, то падстаноўкай у левую частку (1) y(x) = yч(x) + z(x) пераканаемся, што гэта — рашэнне ЛНДР.

Тэарэма даказана.


Тэарэма 2. Няхай yч1 — частковае рашэнне ЛНДР

L(y) = f1(x),

а yч2— частковае рашэнне ЛНДР

L(y) = f2(x),

тады сума yч1+ yч2 ёсць рашэнне ЛНДР


Доказ.

L(yч1+ yч2) = L(yч1) + L(yч2) = f1(x) + f2(x).


2º. Метад варыяцыі адвольных канстантаў

Тэарэма 3. Няхай дадзена ЛНДР (1) з непарыўнымі каэфіцыентамі.

Калі y1, y2, ... , yn — фундаментальная сістэма рашэнняў адпаведнага ЛАДР, тады частковае рашэнне ЛНДР можна шукаць у выглядзе

(2)


дзе C1(x), C2(x), ... , Cn(x) — новыя шукаемыя функцыі.


Доказ. Разглядаем ЛНДР

y(n) + p1(x)y(n – 1) + p2(x)y(n – 2) +… + pn – 1(x)y + pn(x)y = f(x). (3)

Трэба падставіць (2) у (3). Спачатку будзем паслядоўна знаходзіць вытворныя (2) і накладаць дадатковыя ўмовы на C1(x), C2(x), ... , Cn(x).

Першая вытворная (2):

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x) + C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x).

На C1(x), C2(x), ... , Cn(x) накладаем дадатковую ўмову — тое, што падкрэслена прыраўноўваем да нуля:

(1*)


Застаецца

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x). (4)

Дыферэнцыруем:

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x) + C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x).

Ізноў накладаем умову

(2*)


Застаецца

y(x) = C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x). (5)

Так робім паслядоўна і спыняемся на роўнасці пасля дыферэнцавання y(n – 1)(x)

y(n)(x) = + C1(x)y(n)1(x) + ... + Cn(x)y(n)n(x). (6)

Мелі выраз (2) і атрымалі выразы (4), (5), (6), ... для функцыі y(x) і ўсіх вытворных да парадку n. Падстаўляем іх у раўнанне (3):

+ C1(x)y(n)1(x) + ... + Cn(x)y(n)n(x) +

+ p1(x) + ... +

+ pn-1(x)(C1(x)y1(x) + ... + Cn(x)yn(x)) +

+ pn(x)(C1(x)y1(x) +... + Cn(x)yn(x)) = f(x). (7)

Cкладнікі з C1(x) збіраюцца, C1(x) выносіцца і ў дужках застаецца L(y1) = 0, паколькі y1(x) — рашэнне ЛАДР.

Аналагічна с іншымі складнікамі і ад раўнання (7) застаецца ўмова

(8)

і да яе дадаецца (n – 1) умова (1*), (2*), ...

Такім чынам, для знаходжання склалася сістэма

.

Дэтэрмінант сістэмы W(x)  0 і для знойдуцца выразы праз функцыі ад x. Потым C1(x), C2(x), ... , Cn(x) лёгка знайсці інтэграваннем.

Тэарэма даказана.


  1   2   3

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр icon2. Знайсці ранг сістэмы вектараў. Вызначыць, ці з’яўляецца яна лінейна залежнай. Запісаць млнп сістэмы вектараў. 1,,; 2,,,; 3,,,,; 4,,,. Супольныя сістэмы лар
Вызначыць, ці з’яўляюцца сістэмы вектараў лінейна залежнымі. Для лінейна залежных сістэмаў запісаць нетрывіяльную лінейную камбінацыю...

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconКрытэрый Кашы збежнасці шэрагаў
Калі лічыць цяпер Sn – паслядоўнасцю частатковых сум шэрагу a1+a2+…+an+…, тады Sn+m-Sn=an+1+an+2+| +an+m І мае месца тэарэма

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconАкадэмія кіравання пры прэзідэнце рэспублікі беларусь інстытут дзяржаўнага кіравання
У пачатку жадаў бы адзначыць, каб лепш зразумець прыроду І прынцыпы пабудовы сістэмы дзяржаўнага кіравання, мы павінны разгледзець...

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconПытанні да заліка
Збежнасць І разбежнасць лікавых шэрагаў. Асноўныя ўласцівасці. Крытэрый Кашы збежнасці лікавых шэрагау

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр icon2 кастрычніка 2012 года а 17 гадзіне ў вялікай зале Музея сучаснага выяўленчага мастацтва (пр. Незалежнасці, 47) адбудзецца адкрыццё выстаўкі плаката І графікі Лешка Жэброўскага (Польшча)
...

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconРаздзел Уводзіны. Кароткая анатацыя праграмы
Указам Прэзідэнта Рэспублікі Беларусь ад 25. 03. 2005г. №150, Праграмай развіцця сістэмы адукацыі Гродзенскай вобласці на 2011-2016...

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconАсноўная тэарэма об лінейнай залежнасці
Тэарэма: Калі большая сістэма вектароў лінейна выражаецца праз меньшую, то большая сістэма – лінейна залежна

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconТэма ўрока: Будова І функцыі органаў стрававальнай сістэмы Мэта ўрока
Мэта ўрока: арганізаваць работу вучняў па вывучэнню тэмы “Будова І функцыі органаў стрававальнай сістэмы”, у выніку якой яны змогуць...

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconУ чатырохвугольніку ўсе вуглы прамыя. Ці правільна, што ён з'яўляецца прамавугольнікам?
Бясконца многа; 2 два; 3 правільнага адказу няма; 4 не мае рашэнняў; 5 адзінае рашэнне

Крытэрый лінейнай незалежнасці сістэмы рашэнняў ладр iconТэматыка інфармацыйных гадзін
Да Дня Канстытуцыі Рэспублікі Беларусь. Канстытуцыя краіны – сімаваляе незалежнасці

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка