Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае




НазваЗадача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае
Дата канвертавання12.12.2012
Памер83.38 Kb.
ТыпЗадача
Увядзенне элементарных функцый з дапамогай

дыферэнцыяльных раўнанняў

1. Асноўныя паняцці

Існуюць элементарныя функцыі, якія можна азначыць рознымі спосабамі. Напрыклад, трыганаметрычныя функцыі sin x, cos x можна ўвесці як стасункі паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка і як сумы адпаведных ступянёвых шэрагаў.

У гэтым параграфе мы разгледзім аналітычны падыход да азначэння элементарных функцый, які грунтуецца на выкарыстанні тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў. Сутнасць падыхода ў тым, што функцыю можна азначыць як рашэнне задачы Кашы для пэўнага дыферэнцыяльнага раўнання і аналітычна вывесці ўсе яе ўласцівасці.

Будзем выкарыстоўваць наступныя дапаможныя рэзультаты з тэорыі дыферэнцыяльнах раўнанняў.

Няхай зададзена ЛАДР n–га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі

y(n) + p1y(n–1) + p2y(n–2)+ … + pny = 0, (1)

дзе p1, p2, …, p n — канстанты,

y = y(x) — невядомая функцыя,

і пачатковыя ўмовы

y(x0) = y0,

y(x0) = y0, (2)

... ... ...

y(n–1)(x0) = y(n–1)0.

Мае месца

Тэарэма (т. Пікара для ЛАДР n–га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі).

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (– , + ) адзінае n разоў дыферэнцавальнае рашэнне.


Вынік 1. Калі пачатковыя ўмовы (2) нулявыя (y0 = y0 = ... = y(n–1)0 = 0), тады рашэнне задачы (1), (2) трывіяльнае (нулявое).

Доказ. Пры нулявых пачатковых умовах трывіяльная (нулявая) функцыя рашэннем задачы (1), (2) з'яўляецца, а па тэарэме такое рашэнне адзінае.

Вынік 2. Рашэнне задачы Кашы (1), (2) мае непарыўныя вытворныя любога парадку.

Доказ. З (1) вынікае роўнасць

y(n) = – p1y(n–1) p2y(n–2) – … – pny .

Правая частка роўнасці мае вытворную, значыцца, мае вытворную і левая частка. Дыферэнцыруем роўнасць. Г.зн. існуе y(n +1). І гэтак далей.


2. Паказнікавая фукнцыя (экспанента)

Разгледзім задачу Кашы

y – y = 0, (3)

y(0) = 1.

Па тэарэме існуе адзінае рашэнне гэтай задачы. Абазначым яго праз e(x).

Пакажам, што гэтае рашэнне мае ўсе ўласцівасці функцыі ex (экспаненты).

1)e(n)(x) = e(x).

Сапраўды, з дыферэнцыяльнага раўнання маем роўнасць e(x) = e(x). Дыферэн­цаваннем з яе атрымліваем e(x) = e(x), ці e(x) = e(x) = e(x). Г.зн. e(x) = e(x) і г.д.

2) e(x) > 0 для любога xR.

Спачатку пакажам, што e(x)  0. Ад супраціўнага.

Няхай існуе пункт x1 такі, што e(x1) = 0. Тады разгледзім задачу Кашы

y – y = 0, y(x1) = 0.

Гэтая задача, згодна з вынікам 1, мае толькі трывіяльнае рашэнне y(x)  0. Але гэтая функцыя не можа быць рашэннем задачы (3), паколькі там ўмова y(0) = 1. Такім чынам, e(x)  0 для любога x.

Пакажам цяпер, што e(x) не можа быць меней за 0. Зноў ад супраціўнага.

Дапусцім, што існуе пункт x2 такі, што e(x2) < 0. Але ў пункце 0 маем e(0) = 1. Тады па тэарэме Бальцана-Кашы для непарыўнай функцыі e(x) паміж пунктамі x2 і 0 існуе пункт x3, дзе e(x3) = 0. А мы ўжо паказалі, што гэта немагчыма.

3) e(x) — нарастальная функцыя

З дыферэнцыяльнага раўнання для e(x) маем e(x) = e(x). Тады з няроўнасці

e(x) > 0 вынікае няроўнасць e(x) > 0. Гэтага дастаткова.

4) e(x + a) = e(x)e(a) для любых x, aR. Роўнасць называецца тэарэмай складання.

Для доказу ўводзім дапаможную функцыю v(x) = e(x + a) – e(x)e(a) і пакажам, што v(x)  0. Для гэтага пакажам, што v(x) з'яўляецца рашэннем задачы Кашы

y – y = 0, y(0) = 0. (4)

Знаходзім выраз для вытворнай

v(x) = e(x + a) – e(x)e(a).

Карыстаючыся дыферэнцыяльным раўнаннем для e(x), робім замену вытворных e(x + a), e(x) на функцыі e(x + a) і e(x). Атрымліваем

v(x) = e(x + a) – e(x)e(a) = v(x).

Г. зн. v(x) задавальняе раўнанню y – y = 0.

Знойдзем v(0):

v(0) = e(0 + a) – e(0)e(a) = e(a) – 1e(a) = 0.

Такім чынам, v(x) — рашэнне задачы (4) і па выніку 1 v(x)  0, г. зн.

v(x) = e(x + a) – e(x)e(a)  0  e(x + a)  e(x)e(a).


3. Трыганаметрычныя фукнцыі sin x і cos x

Разгледзім дзве задачы Кашы

y' + y = 0, (5)

y(0) = 0, y'(0) = 1; (6)

y' + y = 0, (5)

y(0) = 1, y'(0) = 0. (7)

Рашэнні задач існуюць па тэарэме.

Абазначым рашэнне задачы (5), (6) праз s(x), а рашэнне задачы (5), (7) праз c(x).

Пакажам, што s(x) мае ўсе ўласцівасці функцыі sin x, а функцыя c(x) — уласці­васці cos x.

1) s'(x) = c(x), c'(x) = – s(x)

Паколькі па выніку 2 рашэнне задачы Кашы (5), (6) мае вытворныя любога парадку, раўнанне (5) для s(x) у выглядзе

s''(x) + s(x) = 0

дыферэнцыруем. Атрымліваем раўнанне

(s''(x))' +s'(x) = 0 ці (s'(x))'' + s'(x) = 0.

Г. зн., што функцыя u(x) = s'(x) з'яўляецца рашэннем раўнання (5), паколькі

u''(x) + u(x) = 0.

Для функцыі u(x) знойдзем пачатковыя умовы:

u(0) = s'(0) ={ другая з умоў (6) } = 1,

u'(0) = s''(0) ={ карыстаемся раўнаннем (5) } = – s(0) = { першая з умоў (6) } = 0.

Такім чынам, u(x) з'яўляецца рашэннем задачы (5), (7) і з адзінасці рашэння вынікае u(x) = c(x), ці s'(x) = c(x).

Аналагічна даказываецца роўнасць с'(x) = – s(x). (Даказаць самастойна)

2) s(x) — цотная функцыя, c(x) — няцотная.

Абсягі азначэння функцый s(x) і c(x) роўныя мноству сапраўдных лікаў R. Мноства R сіметрычнае адносна пункта 0.

Пакажам, што c(x) = c(– x) для любога xR (цотнасць функцыі c(x) ).

Будуем дапаможную функцыю

w(x)  c(x) – c(–x).

Пакажам, што яна з'яўляецца рашэннем задачы Кашы

y'' + y = 0, (5)

y(0) = 0, y'(0) = 0. (8)

Маем w''(x) = (c(x))'' – (c(–x))''.

Карыстаемся раўнаннем (5) у выглядзе y''(x) = – y(x) для c(x) і для c(–x). Такім чынам вызваляемся ад вытворных другога парадку:

w''(x) = – c(x) + c(– x).

Падстаўляем w(x) і w''(x) у (5):

w''(x) + w(x)  [– c(x) + c(– x)] + [c(x) – c(– x)] = 0.

Правяраем пачатковыя ўмовы

w(0)  c(0) – c(– 0) = 0,

w'(x)  (c(x))' – (c(– x))' = c'(x) + c'(– x) = – s(x) – s(– x),

w'(0) = – s(0) – s(– 0) = 0 – 0 = 0.

Такім чынам, w(x)  c(x) – c(– x) з'яўляецца рашэннем задачы Кашы (5), (8), г. зн. трывіяльнай функцыяй (w(x)  0). Адкуль маем c(x) = c(– x).

Роўнасць s(x) = – s(– x) даказаць самастойна.

3) s2(x) + c2(x) = 1 для любога xR.

Будуем дапаможную функцыю

u(x) = s2(x) + c2(x).

Знойдзем яе вытворную

u'(x) = 2s(x)s'(x) + 2c(x)c'(x) = 2s(x)c(x) + 2c(x)(– s(x)) = 0.

Атрымалі, што u(x) = const на R.

Але u(0) = s2(0) + c2(0) = 0 + 1 = 1  u(x)  1 для любога xR.

4) s(x + a) = s(x)c(a) + c(x)s(a),

c(x + a) = c(x)c(a) – s(x)s(a) для любых x, aR.

Формулы вядомыя як тэарэмы складання.

Дакажам формулу для c(x + a).

Уводзім функцыю

v(x)  c(x + a) – c(x)c(a) + s(x)s(a).

Правяраем, ці задавальняе яна раўнанню (5).

Знаходзім вытворную другога парадку:

v'(x) = c'(x + a) – c'(x)c(a) + s'(x)s(a) = – s(x + a) + s(x)c(a) + c(x)s(a),

v''(x) = – s'(x + a) + s'(x)c(a) + c'(x)s(a) = – c(x + a) + c(x)c(a) – s(x)s(a).

Падстаўляем v(x) і v''(x) у (5). Маем

v''(x) + v(x) = 0.

А зараз пра пачатковы ўмовы:

v(0)  c(0 + a) – c(0)c(a) + s(0)s(a) = c(a) – 1·c(a) + 0·s(a) = 0.

v'(0) = – s(0 + a) + s(0)c(a) + c(0)s(a) = – s(a) + 0·c(a) + 1·s(a) = 0.

Функцыя

v(x)  c(x + a) – c(x)c(a) + s(x)s(a)

з'яўляецца рашэннем задачы Кашы (5), (8) і павінна быць нулявой. Адсюль і вынікае канчатковы рэзультат.

Доказ першай формулы зрабіць самастойна.

Аналагічна можна даказаць перыядычнасць і іншыя ўласцівасці трыганаметрычных функцый.

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае icon«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
Няхай функцыі u(Х) І v(X )дыферэнцавальныя І непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconНяхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк
Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi,...

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconКрытэрый Кашы збежнасці шэрагаў
Калі лічыць цяпер Sn – паслядоўнасцю частатковых сум шэрагу a1+a2+…+an+…, тады Sn+m-Sn=an+1+an+2+| +an+m І мае месца тэарэма

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае icon§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
Азначэнне. Рашэннем здр (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку І задавальняе...

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconУ чатырохвугольніку ўсе вуглы прамыя. Ці правільна, што ён з'яўляецца прамавугольнікам?
Бясконца многа; 2 два; 3 правільнага адказу няма; 4 не мае рашэнняў; 5 адзінае рашэнне

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconХто не любіць адпачынку на зялёных лугах, асабліва калі пякуць мазалі пасля пераходу І пацягвае жывот ціхім сумам аб кашы з салам, аб шклянцы чаю з пахкім
Адпачынак быў, але не было кашы, не было сала, І толькі чай булькаў у кацялках. На бульбатках скакала сонца, а навокал лугі расцвіталі...

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconЗалік па матэматыцы 8 клас
Дадена задача: "Першы лік на 10 большы ха другі. Сума квадратаў гэтых лікаў роўна 148. Знайдзіце меншы лік." Ураўненне да гэтай задачы...

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае iconЗадача 1
Задача використовуючи дані, наведені в таблиці, визначити, до якої групи країн за класифікацією Світового банку належать зазначені...

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае icon2  Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу: d() = ()’ = f(X)dx. 3 
Азначэнне Функцыя f называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xx f’(X) = f(X)

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка