2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца




Назва2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца
Дата канвертавання09.12.2012
Памер174.57 Kb.
ТыпДокументы




з непарыўными функцыямі M(x) і N(y) называецца дыферэнцыяльным раўнаннем са зменнымі, якія падзелены (с разделенными переменными).


Заўвага. Падзеленасць у тым, што каля dx знаходзіцца толькі функцыя ад x, а каля dy — функцыя ад y.

Такія раўнанні вельмі проста вырашаюцца. Паколькі невядомая функцыя y залежыць ад x, дзелім раўнанне на dx і бярэм нявызначаны інтэграл па x:


дзе C — адвольная канстанта.

Такім чынам, кожны складнік левай часткі можна інтэграваць па сваёй зменнай.

Прыклад 1.

Маем


2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца

Азначэнне. Раўнанне выгляду

M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0 (2)

з непарыўными функцыямі M1(x), M2(x), N1(y), N2(y) называецца дыферэнцыяльным раўнаннем са зменнымі, якія падзяляюцца (с разделяющимися переменными).


Раўнанне (2) зводзіцца да раўнання выгляду (1) дзяленнем. Вылучаюцца тыя функцыі, якія перашкаджаюць інтэграванню — гэта N1(y) каля dx і M2(x) каля dy. На здабытак гэтых функцый трэба дзяліць усё раўнанне


M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0


Атрымліваем раўнанне


са зменнымі, якія падзелены. І далей трэба інтэграваць.

Заўвага. Пры пераўтварэнні раўнання (2) мы дзялілі на здабытак N1(y)M2(x). Пры гэтым няяўна лічылі, што N1(y)M2(x)  0.

Але, калі функцыянальныя раўнанні

N1(y) = 0, M2(x) = 0

маюць лікавыя рашэнні, напрыклад,

N1(y0) = 0, M2(x0) = 0,

то пастаянныя функцыі y = y0 і x0 = x0 будуць рашэннямі раўнання (2).

Каб такія рашэнні не сгубіць, трэба пры рашэнні раўнанняў выгляду (2):

1) знайсці лікавыя рашэнні раўнанняў N1(y) = 0, M2(x) = 0;

2) калі рашэнні ёсць, упэўніцца, што іх можна атрымаць з агульнага рашэння (агульнага інтэграла) раўнання. У працілеглым выпадку такія рашэнні трэба дапісаць да агульнага рашэння (агульнага інтэграла).

Прыклад 2.


Дзелім раўнанне на здабытак

пры гэтым лічым, што x  0, y  0 (!).


Інтэгруем


Карыстаемся ўласцівасцямі лагарыфма, змяняем форму адвольнай канстанты


патэнцыруем і атрымліваем агульны інтэграл


Вяртаемся да лікавых раўнанняў (!). Яны маюць рашэнні.

Функцыі x = 0 і y = 0 з'яўляюцца рашэннямі зыходнага дыферэнцыяльнага раўнання. Правяраем, ці ўваходзяць яны ў агульны інтэграл.

Функцыя x = 0 не ўваходзіць у агульны інтэграл. Пашыраем мноства значэнняў адвольнай канстанты C1 (–, +) і ўключаем функцыю x = 0 у формулу.

Функцыя y = 0 не ўваходзіць у агульны інтэграл. Яе трэба дапісваць.

Вынік. Усе рашэнні апісваюцца формуламі


Прыклад 3.

Дзелім раўнанне на здабытак


Лічым, што


(!) Праверка паказвае, што раўнанні


не маюць рашэнняў.

Заўвага. Дыферэнцыяльнае раўнанне выгляду

y = f1(x)f2(y) (3)

таксама называецца дыферэнцыяльным раўнаннем са зменнымі, якія падзяляюцца.

Паказаць, што гэта частковы выпадак раўнання выгляду (2).


3º. Раўнанні, якія можна прывесці да раўнаняў выгляду (3)

Да раўнанняў выгляду (3) можна прывесці дыферэнцыяльная раўнанні выгляду

y = f(ax + by + c). (4)

Разгледзім асобныя выпадкі.

1). Выпадак b = 0. Раўнанне мае выгляд


Гэта частковы выпадак раўнання (3) і вырашаецца непасрэдным інтэграваннем.

2) Выпадак a = 0. Раўнанне мае выгляд


Гэта частковы выпадак раўнання (3) са зменнымі, якія падзяляюцца.

3). Выпадак ab  0. Робім падстаноўку


дзе u — новая невядомая функцыя ад x.

Дыферэнцыруем па x

u = a + by

і знаходзім выраз для вытворнай y:


Падстаўляем у (4)

(u – a) = f(u), ці u = b (f(u) + a)

Апошняе раўнанне ёсць частковы выпадак раўнання (3) са зменнымі, якія падзяляюцца.


Прыклад 4.


Раўнанне вызначана на ўсёй плоскасці XOY за выключэннем лініі x = y.


Падстаноўка


Тады атрымліваем раўнанне


Пераводзім у дыферэнцыяльную форму і раздзяляем зменныя множаннем на u


Інтэгруем


вяртаемся да зменнай y і атрымліваем агульны інтэграл


§ 11. Дыферэнцыяльныя раўнанні ў поўных дыферэнцыялах


1º. Асноўныя паняцці

Разгледзім ЗДР у дыферэнцыяльнай форме

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)

Лічым, што функцыі M(x, y), N(x, y) — непарыўныя па абедзюх зменных у некаторым адназвязным абсягу D плоскасці XOY, прычым

M2(x, y) + N2(x, y)  0.


Азначэнне. ЗДР (1) называецца раўнаннем у поўных дыферэнцыялах, калі яго левая частка з'яўляецца поўным дыферэнцыялам некаторай функцыі дзвюх зменных.


Такім чынам, калі (1) — раўнанне у поўных дыферэнцыялах, то існуе функцыя u(x, y), што


Тады ЗДР (1) можна запісаць у выглядзе

du(x, y) = 0.

Аўтаматычна вынікае, што агульны інтэграл гэтага раўнання


Прыклад 1.


Левая частка раўнання ёсць поўны дыферэнцыял функцыі

Сапраўды,


таму


і поўны дыферэнцыял мае выгляд


На практыцы, каб выкарыстаць гэты метад інтэгравання, трэба вырашыць дзве задачы:

1). Якім чынам можна адрозніць дыферэнцыяльнае раўнанне у поўных дыферэнцыялах ад астатніх.

2). Як знайсці функцыю дзвюх зменных, калі вядомы яе поўны дыферэнцыял.

Гэтым мы і будзем займацца.


2º. Прыкмета раўнання ў поўных дыферэнцыялах

Тэарэма. Няхай функцыі M(x, y), N(x, y) — непарыўна дыферэнцавальныя ў адназвязным абсягу D. Раўнанне (1) будзе раўнаннем у поўных дыферэнцыялах, тады і толькі тады, калі для функцый M(x, y), N(x, y) выконваецца ўмова Эйлера


(2)


Доказ. Неабходнасць. Лічым, што існуе функцыя u(x, y), што

du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy.

Але з іншага боку


таму маем тоеснасці

, (3)

. (4)

Дыферэнцыруем (3) па y, (4) па x:


Паколькі частковыя вытворныя функцый M(xy), N(xy) непарыўныя па ўмовах, таму непарыўнымі з'яўляюцца і змешаныя вытворныя функцыі u(x, y). А гэта значыцца, яны роўныя паміж сабой, тады выконваецца ўмова Эйлера


Дастатковасць. Лічым, што выконваецца ўмова Эйлера (2). Трэба паказаць, што існуе функцыя u(x, y), для якой выконваюцца роўнасці (3), (4).

Доказ канструктыўны — функцыя u(x, y) будуецца.

Спачатку разглядаем формулу (3) як раўнанне адносна невядомай функцыі u(xy)

(3)


Фіксуем пункт (x0, y0)  D, які ўваходзіць у D разам з некаторым наваколлем.

З гэтага ж наваколля разглядаем рухомы пункт (x, y).

З (3) знаходзім выраз для функцыі u(x, y) інтэграваннем па x на прамежку ад x0 да x:

(5)


Інтэграл мае сэнс. Тут (y) — адвольная функцыя, якая павінна быць дыферэнцавальная па y, бо вытворная павінна існаваць.

Знойдзем выраз для вытворнай па y


Паднясенне знака дыферэнцавання пад знак інтэграла магчыма, паколькі функцыя M(xy) і яе вытворная непарыўныя па абедзвюх зменных.

З роўнасці (4) маем

(4)


таму


Карыстаючыся формулай Эйлера (2)

,

робім замену функцыі пад інтэгралам


(6)

Інтэгруем


І з (6) атрымліваем


Тады (y) = N(x0y) і


(7)


дзе C — адвольная канстанта.

З (5) і (7) атрымліваем формулу для функцыі u(x, y)


Нам трэба адну функцыю, а мы атрымалі цэлае сямейства функцый. Лічым C = 0 і

.

Тэарэма даказана.

Заўвага. Дастатковасць ўмовы Эйлера ў тэарэме можна даказаць, выкарыстоўваючы крывалінейны інтэграл. Пры такім падыходзе функцыя u(xy) вызначаецца крывалінейным інтэгралам ад дыферэнцыяльнай формы


Паколькі дыферэнцыяльная форма з'яуляецца поўным дыферэнцыялам, то значэнне інтэграла не залежыць ад шляху інтэгравання, а толькі ад пачатковага і канчатковага пунктаў.


3º. Метад знаходжання агульнага інтэграла

Метад інтэгравання раўнання ў поўных дыферэнцыялах фактычна вызначаецца доказам дастатковасці ў тэарэме. Формула агульнага інтэграла мае выгляд



Трэба адзначыць, што доказ дастатковасці можна было б пачаць з інтэгравання формулы

, (4)

тады б атрымалі формулу


Адпаведна агульны інтэграл

.

Формулы раўназначныя.

Прыклад 2.

Гэта не раўнанне са зменнымі, якія падзяляюцца.

Правяраем умову Эйлера


Выконваецца

Выкарыстоўваем першую формулу


У якасці пункта (x0, y0) бярэм пачатак каардынат (0, 0)


Атрымліваем агульны інтэграл


4º. Інтэгроўны множнік

Часта раўнанне ў дыферэнцыяльнай форме

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, (1)

раўнаннем у поўных дыферэнцыялах не з'яўляецца, але яго можна прывесці да раўнання ў поўных дыферэнцыялах з дапамогай множання на некаторую функцыю.

Азначэнне. Інтэгроўны множнік (интегрирующий множитель) — гэта функцыя (x, y), якая раўнанне

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

зводзіць да раўнання ў поўных дыферэнцыялах


(8)


Паколькі (8) — раўнанне ў поўных дыферэнцыялах, то павінна выконвацца ўмова Эйлера. Тады


,


,


,


.

Апошняе раўнанне — раўнанне ў частковых вытворных, і, наогул кажучы, больш складанае, чым зыходнае. Але ёсць прыватныя выпадкі.

Прыклад 3. Праверыць, што для раўнання


інтэгроўны множнік мае выгляд (x, y) = x + y2.


Формула Эйлера выконваецца.


Адным з прыватных выпадкаў наяўнасці інтэгроўнага множніка з'яўляецца раўнанне са зменнымі, якія падзяляюцца (§ 10)


M1(x)N1(y)dx + M2(x)N2(y)dy = 0. (9)


Дзяленнем на N1(y)M2(x) (множаннем на ) мы зводзілі яго да раўнання са зменнымі, якія падзелены

.

Калі праверыць формулу Эйлера:


то атрымліваецца, што раўнанне са зменнымі, якія падзелены, ёсць раўнанне ў поўных дыферэнцыялах, а для раўнання (9) інтэгроўны множнік мае выгляд

(x, y) = .


§ 12. Аднародныя дыферэнцыяльныя раўнанні


1º. Паняцце аднароднай функцыі

Азначэнне. Функцыя f(x, y) называецца аднароднай функцыяй ступені m, калі пры ўсялякім tR мае месца тоеснасць

(1)


Прыклады:


Дакажам наступную ўласцівасць аднароднай функцыі:


(2)


На самай справе, у формулу (1) падстаўляем і маем


адкуль атрымліваецца формула (2).


2º. Аднародныя раўнанні

Азначэнне. Дыферэнцыяльнае раўнанне выгляду

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (3)

называецца аднародным адносна зменных, калі M(x, y), N(x, y) аднародныя функцыі адной і той жа ступені.


Заўвагі. 1. Раўнанні называюць проста аднароднымі. Але трэба мець на ўвазе, што ёсць яшчэ дыферэнцыяльныя раўнанні, якія таксама называюць аднароднымі.

2. Раўнанне выгляду

y = f(x, y) (4)

называюць аднародным, калі функцыя f(x, y) аднародная ступені 0. Гэта звязана з тым, што раўнанне (3) пераўтвараецца ў раўнанне (4) з такой уласцівасцю.


Каб праінтэграваць раўнанне (3), выкарыстаем замену , дзе z — новая невядомая функцыя ад x.

На практыцы карыстаюцца роўнасцю y = zx.

Знаходзім дыферэнцыял dy = zdx + xdz.

Карыстаемся ўласцівасцю (2)


Падстаўляем у (3)

xmM(1, z)dx + xmN(1, z)(zdx + xdz) = 0. (5)

Дзелім на xm (!)

M(1, z)dx + N(1, z)(zdx + xdz) = 0,


Гэта раўнанне са зменнымі, якія падзяляюцца.

Дзелім на x(M(1, z) + zN(1, z)) (!), атрымліваем


Калі ўвесці абазначэнне , маем


(!) Трэба праверыць, ці з'яўляецца рашэннямі раўнання функцыі x =0 і z = z0, дзе P(z0) = 0.

Потым вернуцца да функцыі y.

Прыклад 4.


Аднароднае раўнанне. Замена y = zx, dy = zdx + xdz.

Раўнанне прераводзім у дыферэнцыяльную форму


Падстаўляем


(!) Правяраем функцыі x = 0 і z = 0  y = 0.

Функцыя x = 0 — не рашэнне.

Функцыя y = 0 — рашэнне.

Вынік:


3º. Раўнанні, якія зводзяцца да аднародных

Разгледзім раўнанне выгляду

. (6)


Магчымыя два выпадкі:


1).


Радкі дэтэрмінанта прапарцыянальныя, таму існуе лік k, што

, .

Маем


Гэта выпадак § 10, п. 3º.

Раўнанне зводзіцца да раўнання са зменнымі, якія падзяляюцца.


2).


У гэтым выпадку алгебраічная сістэма


мае адзінае рашэнне (x0, y0).

Робім падстаноўку


Адпаведна,


— аднароднае дыферэнцыяльнае раўнанне.


Прыклад 5.


Спачатку вылічваем дэтэрмінант


Вырашаем сістэму


Замена . Новае раўнанне — аднароднае, пераводзім у дыферэнцыяльную форму


Замена , .

Падстаўляем


і пераўтвараем

,


,


,


,


,


, , або


.


§ 13. Лінейныя аднародныя дыферэнцыяльныя раўнанні першага парадку


1º. Асноўныя паняцці

Разгледзім ЗДР першага парадку, вырашанае адносна вытворнай

y = f(x, y). (1)

Азначэнне. Раўнанне (1) называецца лінейным, калі функцыя f(x, y) лінейная адносна y.

На практыцы гэта азначае, што функцыя мае выгляд f(x, y) = a(x)y + b(x).

Звычайна лінейнае раўнанне запісваюць у выглядзе

(2)

прычым функцыі p(x) і g(x) лічацца непарыўнымі на нейкім прамежку І.


Азначэнне. Раўнанне выгляду

(3)

называецца лінейным аднародным дыферэнцыяльным раўнаннем (ЛАДР) першага парадку.

Калі ў раўнанні (2) g(x)  0 тоесна, то раўнанне называецца неаднародным (ЛНДР).


Лінейнае раўнанне першага парадку заўсёды інтэгруецца ў квадратурах.


2º. Агульнае рашэнне лінейнага аднароднага раўнання

Разглядаем ЛАДР

(3)

дзе p(x) — непарыўная функцыя.

Гэта раўнанне са зменнымі, якія падзяляюцца.

Пераўтвараем у дыферэнцыяльную форму


Функцыя y = 0 — рашэнне, таму C = 0 уключаем у агульнае рашэнне.

Вынік .


§ 14. Рашэнне лінейных неаднародных дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку і раўнання Бернулі


1º. Структура агульнага рашэння неаднароднага лінейнага раўнання

Разглядаем ЛНДР першага парадку


дзе тоесна.

Няхай вядомае нейкае y1(x) — рашэнне ЛНДР (1), г.зн.


(2)

Увядзём новую невядомую функцыю z па формуле z = yy1.

Выражаем y = y1 + z і падстаўляем у (1)


З (2) 


ці

(3)


Такім чынам, z(x) — рашэнне ЛАДР (3).


Азначэнне. Раўнанне (3) называецца лінейным аднародным дыферэнцыяльным раўнаннем, якое адпавядае ЛНДР (1).


Фактычна даказана


Тэарэма. Калі y1 з'яўляецца рашэннем ЛНДР

(1)

тады агульнае рашэнне гэтага раўнання мае выгляд


дзе z — агульнае рашэнне адпаведнага ЛАДР

(3)


Заўвага. Агульнае рашэнне ЛАДР першага парадку знаходзіцца па формуле


таму агульнае рашэнне ЛНДР мае выгляд


2º. Метад Бернулі

Частковае рашэнне y1 ЛНДР першага парадку

(1)

будзем шукаць у выглядзе здабытку


дзе — рашэнне адпаведнага аднароднага дыферэнцыяльнага раўнання

(3)

а — новая невядомая функцыя.

Падстаўляем y1(x) = u(x)v(x) у раўнанне (1):


з (3)


Паколькі агульнае рашэнне раўнання (3) мае выгляд , абіраем канкрэтнае значэнне C = 1 і маем


u = ,

адкуль


Абіраем C1 = 0, маем


Тады


Знайшлі частковае рашэнне ЛНДР метадам Бернулі.


3º. Метад Лагранжа (метад варыяцыі адвольнай канстанты)

На практыцы для рашэння ЛНДР (1) карыстаюцца мадыфікацыяй метада Бернулі, якая носіць назву метада Лагранжа.

Агульнае рашэнне адпаведнага ЛАДР (3) мае выгляд


і агульнае рашэнне ЛНДР (1) шукаюць у выглядзе

(4)

дзе C(x) — новая шукаемая функцыя.

Заўвага. Фактычна гэта ізноў здабытак невядомай функцыі і рашэння адпаведнага ЛАДР (метад Бернулі).

Метад варыяцыі адвольнай канстанты носіць такую назву, паколькі адвольная канстанта ў формуле рашэння адпаведнага ЛАДР стала шукаемай функцыяй (варыяцыяй адвольнай канстанты).

Падстаўляем (4) у (1):


Падстаўляем (5) у (4) і атрымліваем формулу агульнага рашэнна ЛНДР


Прыклад 1.

Адпаведнае ЛАДР мае рашэнне


Агульнае рашэнне ЛНДР шукаем у выглядзе


Падстаўляем у ЛНДР


Вынік — .


4º. Раўнанне Бернулі

Азначэнне. Раўнаннем Бернулі называецца дыферэнцыяльнае раўнанне выгляду

(6)

дзе і непарыўныя функцыі на прамежку І, α  0, α  1.

Калі α = 0, гэта


Калі α = 1, гэта


Раўнанне Бернулі лінейным не з'яўляецца. Яно зводзіцца да ЛНДР падстаноўкай z = y1 – α.

Можна таксама выкарыстоўваць метад Лагранжа (метад варыяцыі адвольнай канстанты).


Прыклад 2.


Карыстаемся метадам Лагранжа (α = –1).

Запісваем і вырашаем адпаведнае ЛАДР


Рашэнне раўнання Бернулі шукаем у выглядзе y = C(x)x.


2 спосаб.

Зробім падстаноўку z = y1 – α (α = –1): z=y2


Падставім у раўнанне


. Памножым на , прыдзем да ЛНДР



Вынік: y2 = x3 +x2C.

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconСамастойная работа па тэме
На якія групы па значэнні падзяляюцца прыслоўі. Прывядзіце прыклады прэдыкатыўных прыслоўяў

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconПытанні да экзамену
Дыферэнцыяльныя раўнанні ў поўных дыферэнцыялах. Прыкмета раўнанні ў поўных дыферэнцыялах

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconНетрадыцыйны погляд на тэму "Квадратныя раўнанні"
Але ж “прывесці розум у парадак” можа да­памагчы любы, нават маленькі раздзел матэматыкі, калі яго вывучаць не якойсці часткай, а...

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца icon9 клас Кантрольная работа Сістэмы ўраўненняў з дзвюма зменнымі Варыянт 1
...

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconУрока: 1 Адукацыйныя
Адукацыйныя: праверка вучняў самастойна прымяняць веды, уменні І навыкі пры рашэнні сістэм лінейных ураўненняў з дзвюма зменнымі,...

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconПраграма экзамена
Лінейныя неаднараодныя дыферэнцыяльныя раўнанні 1-га парадку. Тэарэма аб структуры агульнага рашэння лнду 1-га парадку

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца icon§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
Азначэнне. Рашэннем здр (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку І задавальняе...

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconПытані для экзамена па геаметрь І ў з І мовую c э ci ю 2008 г для студэнтаў I курса, гр. 101-105
Паняцце аб раунанні (няроунасці) фігуры. Перасячэнне I аб'яднанне фігур I ix сістэма I сукупнасць раунанняу або няроунасцей. Дзве...

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconДыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта
У сваю чаргу класічная вышэйшая матэматыка уключае розныя раздзелы вышэйшая матэматыкі. Частка з гэтых раздзелаў істотна абапіраецца...

2º. Раўнанні са зменнымі, якія падзяляюцца iconАлімпіядныя заданні 7 клас 2006
Вызначце, якія словы вымаўляюцца наступным чынам, І напішыце, якія літары ”схаваліся” за выдзеленымі гукамі

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка