Азначэнні І прыклады метрычных прастораў




НазваАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
старонка9/23
Дата канвертавання08.12.2012
Памер1.76 Mb.
ТыпДокументы
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   23

§8. Непарыўныя адлюстраванні кампактных прастораў

  1. 8.1. Паняцці кампактных прастораў. Неабходныя ўмовы

    1. кампактнасці мностваў


Азначэнне 8.1. Метрычная прастора X = (X, ?) называецца кампактнай або кампактам, калі з любой паслядоўнасці (xn) элементаў гэтай прасторы можна вылучыць падпаслядоўнасць , якая збягаецца да элементу прасторы Х.

Азначэнне 8.2. Мноства Е ? Х называецца кампактным у метрычнай прасторы Х, калі з любой паслядоўнасці элементаў мноства Е можна вылучыць падпаслядоўнасць, якая збягаецца па метрыцы ? да элементу мноства Е або другімі словамі: калі падпрастора (Е, ?) - метрычнай прасторы (X, ?) з’яўляецца кампактам.

Прыклад 8.1. Прастора R не з’яўляецца кампактам, паколькі існуе паслядоўнасць (n), n?N, з якой нельга вылучыць падпаслядоўнасць , якая збягаецца ў R.

Прыклад 8.2. Усякае канечнае мноства Е пунктаў метрычнай прасторы

(X, ?) кампактнае ў гэтай прасторы.

Прыклад 8.3. Е = {3,4,5} ? R; xn=, (xn)?E.

Няхай падпаслядоўнасць (= (3, 3, …,3…)) (n = 2k) імкнецца да ліку 3? калі n?? . Пункт 3 належыць мноству Е? R . Мноства Е кампактнае ў R.

Тэарэма 8.1. Калі мноства Е замкнёнае ў метрычнай прасторы (X,?), то яно кампактнае ў гэтай прасторы [1 ,ст.29].

Прыклад 8.4. Мноствы (a,b), (a,b], не могут быць кампактным мноствамі ў прасторы R, паколькі не з’яўляюцца замкнёнымі.

Тэарэма 8.2 (першая неабходная ўмова кампактнасці). Калі мноства

Е ? Х кампактнае ў метрычнай прасторы (X, ?), то яно замкнёнае ў гэтай прасторы.

?Няхай а – які-небудзь лімітавы пункт мноства Е у метрычнай прасторы (X, ?). Таму можна вылучыць паслядоўнасць (xn)?Е, якая збягаецца да а ў гэтай прасторы (т.5.4). Паколькі Е – кампактнае мноства у метрычнай прастоы (X, ?), то існуе падпаслядоўнасць ? (xn), якая збягаецца да пункта а*?Е па метрыцы ? : ? а*?Е. Вядома, што падпаслядоўнасць збежнай паслядоўнасці збягаецца да таго ж самага ліміту. Такім чынам а*. Паколькі а*?Е, то і а?Е. ?

Тэарэма 8.3 (другая неабходная ўмова кампактнасці). Калі мноства

Е ? Х кампактнае ў метрычнай прасторы (X, ?), то яно абмежаванае ў гэтай прасторы [1 ,ст.30-31].

Заўвага 8.1. Тэарэмы адваротныя тэарэмам 2 і 3 наогул кажучы не маюць месца ў любой метрычнай прасторы.

Тэарэма 8.4 (крытэрый кампактнасці ў Rm). Для таго, каб мноства Е? Rm было кампактным у метрычнай прасторы Rm , неабходна і дастаткова каб яно было замкнёным і абмежаваным у гэтай прасторы.

Доказ неабходнасці вынікае з тэарэм 8.2 і 8.3.

?дастатковасці.

Разгледзім адвольную паслядоўнасць (xn)?Е. Паколькі мноства Е абмежаванае ў метрычнай прасторы Rm па ўмове тэарэмы, то і паслядоўнасць (xn) абмежаваная. Таму па тэарэме Бальцана-Вайерштраса з яе можна вылучыць падпаслядоўнасць, якая збягаецца да некаторага ліку а. Гэты лік з’яўляецца лімітавым пунктам для паслядоўнасці ? Е, а таму і для мноства Е. У сілу замкнёнасці мноства Е?Х, лік а?Е, падпаслядоўнасць збягаецца да ліку а?Е, то мноства Е кампактнае мноства па азначэнню (8.2).

Прыклад 8.5. Мноства Е=[0,1]?{5}?R – кампактнае мноства.

Прыклад 8.6. Замкнёны шар у прасторы Rmкампактнае мноства.

Прыклад 8.7. Мноства {1/n, n?N}?R не будзе кампактным мноствам, паколькі яно не з’яўляецца замкнёным.
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   ...   23

Падобныя:

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Успомнім, што адлегласць паміж дзвюма пунктамі М1(х1,y1) І м2(х2,y2) плоскасці падлічваецца па формуле

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconМетрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў
У ім змешчаны тэарэтычны выклад дзвух раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае І інтэгральнае злічэнне...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconТэма: аднародныя І неаднародныя азначэнні. Мэта
Мэта: 1 спрыяць пашырэнню ведаў вучняў аб прыкметах аднародных І неаднародных азначэнняў, спосабах ІХ выражэння, умовах раздзялення...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 2
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 5
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару у (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconЯк Вы лічыце, якія Вашы якасці І вопыт дазволяць стаць вядучым? Прывядзіце канкрэтныя прыклады *

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 3
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 4
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconСамастойная работа па тэме
На якія групы па значэнні падзяляюцца прыслоўі. Прывядзіце прыклады прэдыкатыўных прыслоўяў

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка