Азначэнні І прыклады метрычных прастораў




НазваАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
старонка6/23
Дата канвертавання08.12.2012
Памер1.76 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

§5. Уласцівасці збежных паслядоўнасцей у некаторых
метрычных прасторах


Тэарэма 5.1 (аб пакаардынатнай збежнасці паслядоўнасці ў метрычнай прасторы Rm). Для таго, каб паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы Rm

(хn =(х1(n)2(n),…, хm(n),…)) збягалася да пункта а =(а12,…, аm) гэтай прасторы неабходна і дастаткова каб лікавыя паслядоўнасці (х1(n)), (х2(n)),…,(хm(n)) збягаліся адпаведна да лікаў а12,…, аm :

,,..., (5.1)

Калі выконваюцца умовы (1), то кажуць, што паслядоўнасць (хn) збягаецца да пункта а пакаардынатна.

?неабходнасці.

Няхай (5.2) у метрычнай прасторы Rm.

Дакажам, што выконваюцца роўнасці (5.1).

У сілу роўнасці (5.2) па азначэнню ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы Rm будзем мець:

(????)(?????)(?n?? ) ? [?? xn???],

дзе ? - метрыка метрычнай прасторы Rm :

?x,y? Rm .

Няроўнасць ?? xn??? прыме выгляд:





? ? x1(n)?a1 ???, ? x2(n)? a2 ???,… ,? xm(n)?am ???.

Такім чынам, калі k = 1, 2,…,m даказана, што

(????)(?????)(?n??) ?[? xk(n)? ak ???] ??

роўнасці (5.1). ?

?дастатковасці.

Няхай маюць месца роўнасці (5.1).

Дакажам, што (5.2) у метрычнай прасторы Rm.

Няхай ? - адвольны дадатны лік і ў прыватнасці няхай яго ролю адыгрывае лік .

Таму (????)( ?nk)(?n?nk) ?? xk(n)?ak ??, k = 1,2,…,m.

Выбярэм лік N = max{ n1, n2,…, nm }. Тады ?n>N ?



Мы даказалі, што (????)(?????)(?n??) ?[?? xn???] ?.?

Прыклад 5.1. Знайсці ліміт a = (a1,a2)

паслядоўнасці у прасторы R2.



Такім чынам, =(1/4;3).

Тэарэма 5.2 (Бальцана-Вайерштраса). З усякай абмежаванай паслядоўнасці прасторы Rm можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Прыватны выпадак гэтай тэарэмы для прасторы R1 быў даказаны на першым курсе.

Тэарэма 5.3. Для таго, каб паслядоўнасць (xn) пунктаў метрычнай прасторы С[a,b] з чэбышоўскай метрыкай збягалася да элементу х гэтай прасторы , неабходна і дастаткова, каб функцыйная паслядоўнасць (xn(t)) раўнамерна збягалася да х(t) на [a,b].

Дакажам дастатковасць.

?Нагадаем , што метрыка у прасторы С[a,b] мае выгляд



Вядома, што функцыйная паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі х тады і толькі тады, калі

З улікам азначэння метрыкі ў прасторы С[a,b] мы маем роўнасць

па метрыцы ? у метрычнай прасторы С[a,b]. ?

Прыклад 5.2. xn(t) = tn ?t? ??;???? ??n?N. Вядома, што на адрэзку ??;???? функцыйная паслядоўнасць xn(t) = tn раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі x (t) = 0. Такім чынам ?t? ??;???? паслядоўнасць (xn) збягаецца да х = 0 у метрычнай прасторы С[0;1/2].

Тэарэма 5.4. Калі а – лімітавы пункт мноства Е метрычнай прасторы

(X, ?), то існуе паслядоўнасць (xn), элементы якой належаць Е і няроўныя а, якая збягаецца да а у гэтай метрычнай прасторы.

Доказ аналагічны доказу для прасторы R.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Падобныя:

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Успомнім, што адлегласць паміж дзвюма пунктамі М1(х1,y1) І м2(х2,y2) плоскасці падлічваецца па формуле

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconМетрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў
У ім змешчаны тэарэтычны выклад дзвух раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае І інтэгральнае злічэнне...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconТэма: аднародныя І неаднародныя азначэнні. Мэта
Мэта: 1 спрыяць пашырэнню ведаў вучняў аб прыкметах аднародных І неаднародных азначэнняў, спосабах ІХ выражэння, умовах раздзялення...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 2
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 5
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару у (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconЯк Вы лічыце, якія Вашы якасці І вопыт дазволяць стаць вядучым? Прывядзіце канкрэтныя прыклады *

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 3
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 4
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconСамастойная работа па тэме
На якія групы па значэнні падзяляюцца прыслоўі. Прывядзіце прыклады прэдыкатыўных прыслоўяў

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка