Азначэнні І прыклады метрычных прастораў




НазваАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
старонка2/23
Дата канвертавання08.12.2012
Памер1.76 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Прыклады метрычных прастораў


Прыклад 1.1. Няхай R – мноства сапраўдных лікаў. Для любых лікаў x,y?R увядзём функцыю ?(x,y) = ?х? у? (1.1). Відавочна, што (1.1) задавальняе аксіёмам 1 і 2 метрыкі. Пакажам, што функцыя ? задавальняе аксіёме 3

? x,y,z?R :



Пара (R, ?), дзе ? азначана роўнасцю (1.1) – метрычная прастора. Яе абазначаюць R або R1.

Прыклад 1.2. Мноства М=[a,b] з метрыкай ?(x,y) = ?х? у??x,y?[a,b] абазначаюць Х = ([a,b], ?). Х – падпрастора метрычнай прасторы R , паколькі [a,b]? R .

Прыклад 1.3. Мноства рацыянальных лікаў Q з метрыкай, якая азначана формулай (1.1) для ўсіх x, y ?Q, з’яўляецца метрычнай прасторай. Прастора

Х = (Q,?) – падпрастора метрычнай прасторы R і абазначаецца праз Q.

Прыклад 1.4. Абазначым праз Rm мноства ўпарадкаваных сукупнасцей m сапраўдных лікаў . Элементы мноства Rm называюцца вектарамі (пунктамі) і абазначаюцца адной літарай х = (х12,…, хm), y =(y1,y2 ,…, ym). Лікі х1, х2 ,…, хm – кардынаты вектара х. Элементы х і у роўныя паміж сабою, г.зн. х = у, тады і толькі тады, калі х1 = у1, х2 = у2, …, хm = уm.

На мностве Rm увядзём функцыю ? (x,y):



Пакажам, што прастора (Rm ,?) = Rm, дзе ? азначана роўнасцю (1.2), з’яўляецца метрычнай прасторай.

Функцыя ? задавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі. Для таго, каб паказаць, што функцыя задавальняе аксіёме 3, дакажам дзве лемы.

Лема 1.1. Для любых сапраўдных лікаў ak , bk, k=1,2,,m, мае месца няроўнасць Кашы-Бунякоўскага:



?Разгледзім функцыю

?

Паколькі квадратны трохсклад неадмоўны, то дыскрымінант недадатны:

?

Лема 1.2. Для любых сапраўдных лікаў ak,bk , дзе k = 1,2,…,m мае месца няроўнасць Мінкоўскага:

. (1.4)

?

?

Пакажам, што для функцыі (1.2) выконваецца аксіёма 3 для любых трох пунктаў х = (х1, х2, …, хm), y = (y1, y2 , …, ym), z = (z1, z2, …, zm). Абазначым

ak = xk – zk , bk = zk – yk ? ak + bk = xk – zk + zk – yk= xk – yk . (1.5)

Падставім у няроўнасць (1.4) абазначэнні з (1.5) і атрымаем

?

? ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(z,y). ?

Прыклад 1.5. Разгледзім таксама мноства Rm , але ? зададзім з дапамогаю формулы



дзе х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym) – адвольныя пункты (вектары) прасторы Rm. Дакажам, што функцыя (1.6) задавальняе аксіёмам метрыкі.

Функцыя ? здавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі (?). Пакажам, што ? здавальняе аксіёме 3 для любых трох пунктаў

х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym), z = (z1,z2,…, zm) прасторы Rm.

?

? ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(z,y). ?


Прыклад 1.6. Разгледзім мноства С[a,b] усіх сапраўдных функцый непарыўных на [a,b]. Для любых дзвюх функцый x(t) i y(t) з гэтага мноства паложым



Роўнасць (1.7) –адлегласць Чабышова паміж функцыямі x(t) і у(t). Пакажам, што функцыя ?(x,y) – метрыка на мностве С[a,b].

Функцыя ? задавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі. Пакажам, што ? задавальняе аксіёме 3.

?Няхай x, y, z ? С[a,b]. Тады t ?[a,b]. Ацэнім рознасць





?

Прыклад 1.7. Разгледзім l2 – мноства розных лікавых паслядоўнасцей

х1, х2, ..., хn… сапраўдных лікаў, для якіх збягаецца шэраг . Для любых двух элементаў х = х1, х2, ... і у = у1, у2 ... гэтага мноства пакладзем

.

Паколькі шэраг збежны, то формула (1.9) азначае функцыю для любых х, у?l2. Збежнасць гэтага шэрагу лёгка даказаць з дапамогай прыкметы параўнання шэрагаў, калі ўлічыць збежнасць шэрагаў і і відавочную няроўнасць .

Функцыя ?, заданая формулай (1.9), задавальняе аксіёмы 1 і 2 (відавочна). Дакажам, што яна задавальняе і аксіёме 3.

?Для любых трох элементаў x, y, z мноства l2 мае месца няроўнасць

? ?(x,y) ? ?(x,z) + ?(z,y). ?

1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   23

Падобныя:

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Успомнім, што адлегласць паміж дзвюма пунктамі М1(х1,y1) І м2(х2,y2) плоскасці падлічваецца па формуле

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconМетрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў
У ім змешчаны тэарэтычны выклад дзвух раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае І інтэгральнае злічэнне...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconТэма: аднародныя І неаднародныя азначэнні. Мэта
Мэта: 1 спрыяць пашырэнню ведаў вучняў аб прыкметах аднародных І неаднародных азначэнняў, спосабах ІХ выражэння, умовах раздзялення...

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 2
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 5
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару у (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconЯк Вы лічыце, якія Вашы якасці І вопыт дазволяць стаць вядучым? Прывядзіце канкрэтныя прыклады *

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 3
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconВарыянт 4
АЗ. Адзначце словы (прыклады), у якіх на месцы пропуску трэба пісаць літару ў (нескладовае)

Азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconСамастойная работа па тэме
На якія групы па значэнні падзяляюцца прыслоўі. Прывядзіце прыклады прэдыкатыўных прыслоўяў

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка