Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў




НазваМетрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў
старонка1/10
Дата канвертавання08.12.2012
Памер473.38 Kb.
ТыпДокументы
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Прадмова


Дадзены вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам-завочнікам матэматычнага факультэта для арганізацыі самастойнай працы і падрыхтоўкі да заліку і экзамену. У ім змешчаны тэарэтычны выклад дзвух раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” і “Дыферэнцыяльнае і інтэгральнае злічэнне функцыі многіх зменных”, шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў, узоры рашэння нулявога варыянта, пытанні да экзамену, спіс рэкамендаванай літаратуры.

Змест дапаможніка адпавядае праграме курса матэматычнага аналізу.

У дапаможніку выкарыстаны распаўсюджаныя сімвалы матэматычнай логікі і лагічныя аператары   ,  , 

Для зручнасці карыстання тэкст, якім распачынаецца і завяршаецца доказ тэарэм, паказаны значкамі іадпаведна.





Глава 1. МЕТРЫЧНЫЯ ПРАСТОРЫ

§1. Азначэнні і прыклады метрычных прастораў


Успомнім, што адлегласць паміж дзвюма пунктамі М11,y1) і М2(х2,y2) плоскасці падлічваецца па формуле



і мае ўласцівасці:

1) (M1,M2) 0; (M1,M2) = 0 M1 = M2;

2) (M1,M2) = (M2,M1);

3)(M1,M2) (M1,M3) + (M2,M3) (няроўнасць трохвугольніка).

Наг адаем, што калі маюцца два непустыя мноствы X і Y, то іх дэкартавым здабыткам X Y называецца мноства усіх упарадкаваных параў . У прыватнасці X Х абазначаецца X2.

Абагульнім паняцце адлегласці на любое мноства з дапамогаю паняцця дэкартавага здабытку двух мностваў: .

Азначэнне 1.1. Няхай Х – некаторае непустое мноства любой прыроды. Разгледзім дэкартавы здабытак.

Метрыкай на мностве Х называецца сапраўдная функцыя , азначаная на здабытку Х Х і здавальнаяючая x, y, zX наступным умовам:

1) (x,y)0; (x,y)=0 x = y;

2) (x,y) = (y,x);

3) (x,y) (x,z) + (y,z) (няроўнасць трохвугольніка).

Значэнне функцыі у пункце (x,y) , г.зн. лік (x,y) называецца адлегласцю паміж пунктамі x i y. Умовы 1-3 называюцца аксіёмамі мeтрыкі.

Азначэнне 1.2. Мноства Х з метрыкай на гэтым мностве, г.з. упарадкаваная пара (Х, ), называецца метрычнай прасторай (м.пр.).

Элементы мноства Х называюцца элементамі або пунктамі м.пр. (Х, ).

Няхай дадзен м.пр. (Х, ), няхай МХ, м(x,y) = (x,y). Відавочна, што і прастора ( М, м ) у гэтым выпадку будзе метрычнай прасторай, паколькі

М М Х Х.. Прастора (М, м) называецца падпрасторай метрычнай прасторы ( Х, ).

Заўвага. Увядзенне паняцця адлегласці паміж пунктамі метрычнай прасторы мае вялікае значэнне ў матэматыцы. Яно дазваляе резгледзіць важныя пытанні аб лімітавым пераходзе, непарыўнасці і дыферэнцавальнасці адлюстраванняў і г.д.

Прыклады метрычных прастораў


Прыклад 1.1. Няхай R – мноства сапраўдных лікаў. Для любых лікаў x,yR увядзём функцыю (x,y) = х у (1.1). Відавочна, што (1.1) задавальняе аксіёмам 1 і 2 метрыкі. Пакажам, што функцыя здавальняе аксіёме 3 x,y,zR :

(x,y) = х у= х z + z у х z+ z у= (x,z) + (z,y).

Пара (R, ), дзе азначана роўнасцю (1) – метрычная прастора. Яе абазначаюць R або R1.

Прыклад 1.2. Мноства М=[a,b] з метрыкай (x,y) = х уx,y[a,b] абазначаюць Х = ([a,b], ). Х – падпрастора метрычнай прасторы R , паколькі [a,b] R .

Прыклад 1.3. Мноства рацыянальных лікаў Q з метрыкай, якая азначана формулай (1) для ўсіх x, y Q, з’яўляецца метрычнай прасторай. Прастора

Х = (Q,) – падпрастора метрычнай прасторы R і абазначаецца праз Q.

Прыклад 1.4. Абазначым праз Rm мноства ўпарадкаваных сукупнасцей m сапраўдных лікаў . Элементы мноства Rm называюцца вектарамі (пунктамі) і абазначаюцца адной літарай х = (х12,…, хm), y =(y1,y2 ,…, ym). Лікі х1, х2 ,…, хm – кардынаты вектара х. Элементы х і у роўныя паміж сабою, г.зн. х = у, тады і толькі тады, калі х1 = у1, х2 = у2, …, хm = уm.

На мностве Rm увядзём функцыю (x,y)

x,y Rm. (1.2)

Пакажам, што прастора (Rm ,) = Rm, дзе азначана роўнасцю (1.2), з’яўляецца метрычнай прасторай.

Функцыя здавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі (?). Для таго, каб паказаць, што функцыя здавальняе аксіёме 3, дакажам 2 лемы.

Лема 1.1. Для любых сапраўдных лікаў ak , bk, k=1,2,…,m, мае месца няроўнасць Кашы-Бунякоўскага:

(1.3)

Разгледзім функцыю



Паколькі квадратны трохсклад неадмоўны, то дыскрымінант недадатны:





Лема 1.2. Для любых сапраўдных лікаў ak ,bk , дзе k = 1,2,…,m мае месца няроўнасць Мінкоўскага:

. (1.4)



.

Пакажам зараз, што для функцыі (1.2) выконваецца аксіёма 3 для любых трох пунктаў х = (х1, х2, …, хm), y = (y1, y2 , …, ym), z = (z1, z2, …, zm). Абазначым

ak = xk – zk , bk = zk – yk ak + bk = xk – zk + zk – yk= xk – yk . (1.5)

Падставім у няроўнасць (1.4) абазначэнні з (1.5) і атрымаем



 (x,y) (x,z) + (z,y). 

Прыклад 1.5. Разгледзім таксама мноства Rm , але зададзім з дапамогаю формулы

, (1.6)

дзе х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym) – адвольныя пункты (вектары) прасторы Rm. Дакажам, што функцыя (1.6) задавальняе аксіёмам метрыкі.

Функцыя здавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі (?). Пакажам, што  здавальняе аксіёме 3 для любых трох пунктаў

х = (х12,…, хm), y = (y1,y2 ,…, ym), z = (z1,z2,…, zm) прасторы Rm.



 (x,y) (x,z) + (z,y). 

Прыклад 1.6. Разгледзім мноства С[a,b] усіх сапраўдных функцый непарыўных на [a,b]. Для любых дзвюх функцый x(t) i y(t) з гэтага мноства паложым

(1.7)

Роўнасць (1.7) – чэбышоўская адлегласць паміж функцыямі x(t) і у(t). Пакажам, што функцыя (x,y) – метрыка на мностве С[a,b].

Функцыя здавальняе першым дзвюм аксіёмам метрыкі (?). Пакажам, што задавальняе аксіёме 3.

Няхай x, y, z С[a,b]. Тады t [a,b]. Ацэнім рознасць

x(t) y(t)= x(t) z(t) + z (t) y(t) x(t) z(t)+z(t) y(t)



(x,y) (x,z) + (z,y).

Прыклад 1.7. Разгледзім l2 – мноства розных лікавых паслядоўнасцей

х1, х2, ..., хn… сапраўдных лікаў, для якіх збягаецца шэраг . Для любых 2-х элементаў х = х1, х2, ... і у = у1, у2 ... гэтага мноства пакладзем

. (1.9)

Паколькі шэраг збежны, то формула (1.9) азначае функцыю для любых х, уl2. Збежнасць гэтага шэрагу лёгка даказаць з дапамогай прыкметы параўнання шэрагаў, калі ўлічыць збежнасць шэрагаў і і відавочную няроўнасць .

Функцыя , заданая формулай (1.9), задавальняе аксіёмам 1 і 2 (відавочна). Дакажам, што яна задавальняе і аксіёме 3.

Для любых трох элементаў x, y, z мноства l2 мае месца няроўнасць

 (x,y) (x,z) + (z,y). 

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Успомнім, што адлегласць паміж дзвюма пунктамі М1(х1,y1) І м2(х2,y2) плоскасці падлічваецца па формуле

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconПоўныя метрычныя прасторы
...

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconДадатак Кантрольная работа па раздзелах Метрычныя прасторы
Назавіце мноства лімітавых, ізаляваных, унутраных, межавых пунктаў І пунктаў дотыку мноства м у метрычнай прасторы (R,), дзе r –...

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconПытанні да калёквіума па тапалогіі
Адкрытыя мноствы ў метрычнай прасторы. Натуральная тапалогія метрычнай прасторы

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconПытанні да экзамена па геаметрыі
...

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў icon1. Якія з наступных формулаў вызначаюць скалярны здабытак у прасторы : 1 ; 2, дзе; 3 ; 4 ; 2
Няхай І – ненулявыя вектары ў эуклідавай прасторы, – вугал паміж імі. Дакажыце, што: 1 вугал не змяняецца пры множанні гэтых вектараў...

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconХто І чаму ўжывае замаўляе рэкляму ў пераважна расейскамоўнай інфармацыйнай прасторы Беларусі?
Хто І чаму ўжывае замаўляе рэкляму ў пераважна расейскамоўнай інфармацыйнай прасторы Беларусі? Тэму дасьледуе Севярын Квяткоўскі

Метрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў iconТэма: аднародныя І неаднародныя азначэнні. Мэта
Мэта: 1 спрыяць пашырэнню ведаў вучняў аб прыкметах аднародных І неаднародных азначэнняў, спосабах ІХ выражэння, умовах раздзялення...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка