Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі




НазваТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Дата канвертавання06.12.2012
Памер129.91 Kb.
ТыпДокументы

§7. Трыганаметрычныя функцы.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі




1. Трыганаметрычныя функцыі y = sin x, y = cos x, y= tg x, y= ctg x.


Самастойна разгледзіць кожную функцыю па настуанай схеме:

  1. Азначэнне.

  2. Уласцівасці

  • Абсяг вызначэння і абсяг значэнняў, абмежаванасць

  • Цотнасць, перыядычнасць

  • Непарыўнасць

  • Асімптоты

  • Прамежкі манатоннасці

  • Пункты перасячэння з васямі каардынат

  • Графік

2. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі y=arcsin x, y=arccosx ,y = arctgx ,y= arcctgx.


Функцыя y = sin x непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд Т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца функцыяй на адрэзку [-1,1], паколькі кожнаму значэнню у адпавядае мноства значэнняў х у сілу перыядычнасці функцыі sin.

Разгледзім звужэнне функцыі sin на адрэзку []:

f(x) = sinxx[].


На адрэзку [] функцыя

f(x) = sinx узрастальная, непарыўная і адпаведна тэарэме 1 §5 існуе адваротная ёй функцыя f-1, якая таксама зўяўляецца узрастальнай і непарыўнай на D(f-1) = =E(f) = [1,1].

Aзначэнне 1. Функцыя f-1, адваротная звужэнню функцыі sin на адрэзку [] называецца арксінусам і абазначаецца arcsin; прычым D(arcsin) = E(sin) =[-1,1],

E(arcsin) = D(sin) = [].

Заўвага. Функцыя arcsin з’яўляецца няцотнай функцыяй.

Самастойна разглядзець функцыі cos, tg, ctg , вызначыць для іх адпаведна функцыі arcos, arctg i arcctg, пабудаваць графікі.

§8. Ступеневая функцыя з рацыянальным паказнікам ступені


Нагадаем, як азначаліся ступені сапраўднага ліку а>0 у сярэдняй школе, і іх уласцівасці

Азначэнне 1. Ступенню ліку а>0 з рацыянальным паказнікам r называецца лік, які абазначаецца ar і азначан наступным чынам:

  1. Калі r = nN, то an = a a …  a (множнікі а узятыя n-разоў).

  2. Калі r = 1/n (nN), то a1/n – арыфметычны корань n-ай ступені з ліку а.

  3. Калі r = 0, то ar = 1.

  4. Калі r = m/n (m,n  N не маюць агульных дзельнікаў няроўных 0), то

(am)1/n = am/n.

  1. Калі r =  m/n (для m,n тая ж умова), то .

У гэтым параграфе будзем разглядаць функцыю, якая задаецца формулай f(x)=xr, дзе rQ. Спынімся на прыватных выпадках

1. Ступеневая функцыя з натуральным паказнікам ступені y = xn, nN.


Уласцівасці:

  1. D(f) = R, непарыўная, як здабытак непарыўных функцый.

  2. Калі n = 2k–1, то f – узрастальная функцыя на D(f), калі

n = 2k, то f убывае на прамежку ( і узрастае на прамежку .

З няроўнасці 0 х1 < х2  0 < х1n < х2n nN, калі х1 < х20, то х1n > х2n, калі n= 2k, х1n< х2n , калі n = 2k–1. 

  1. Калі n = 2k–1, то фунцыя f неабмежаваная знізу і зверху  E(f) = R, пры n = 2k функцыя f абмежаваная знізу восю Ох і неабмежаваная зверху  E(f) = .

  2. Калі n = 2k-1, то f – няцотная функцыя. калі

n = 2k, то f – цотная функцыя  графік

2. Ступеневая функцыя з паказнікам ступені y=x 1/n, nN


С школы вядома:

Азначэнне 2. Арыфметычным коранем n-ай ступені з неадмоўнага ліку а называецца такі неадмоўны лік, n-ая ступень якога роўна а.

Прыклады: = 3; =5.

1. Няхай n = 2k+1.

Разгледзім ступеневую функцыю f(x) = xn , дзе n = 2k+1: D(f) = , E(f) = . Функцыя f узрастальная і непарыўная на мностве R. Таму па T.1 §5 існуе функцыя f–-1, якая таксама узрастальная і непарыўная на E(f). Значэнні гэтай функцыі хR абазначым f–-1(х) = і назавeм коранем n-ай ступені з ліку х або ступенню ліку х паказніка 1/n. Функцыю f–-1 называюць ступеневай функцыяй з паказнікам ступені 1/n. Графік функцыі f–-1 сіметрычны графіку функцыі f (x) = xn адносна прамой y=x.


2. Няхай n = 2k.

Разгледзім ступеневую функцыю f (x) = xn , дзе n = 2k: D(f) = R, E(f) = . Адваротная адпаведнасць не з’яўляецца функцыяй. Разгледзім звужэнне g функцый f на прамежку . Такім чынам

D(g) = i E(g) = , g – функцыя узрастальная, непарыўная на D(g). Таму па T.1§ 5 існуе функцыя g 1 таксама узрастальная і непарыўная на D(g -1) = E(g). Значэнні гэтай функцыі х абазначым g -1(х) = і назавём коранем n-ай ступені з ліку х або ступенню ліку х паказніка 1/n. Функцыю g–-1 называюць ступеневай функцыяй з паказнікам ступені 1/n. Графік функцыі g–-1 сіметрычны графіку функцыі g(x) = xn адносна прамой y=x.

Азначэнне 3. Неадмоўнае значэнне функцыі 0 і nN, незалежна ад цотнасці ліку n, называецца арыфметычным коранем n-ай ступені з ліку х 0 і nN, 0 .

Вядома, што f(f-1(х)) = х, таму = х 0.


3. Ступеневая функцыя з адвольным рацыянальным паказнікам ступені

Рзгледзім адвольны рацыянальны лік r.

Магчымы 3 выпадкі: r = 0, r = m/n, r = m/n, калі m,n N і не маюць агульных дзельнікаў няроўных 1.

Азначэнне 4. Ступеневай функцыяй з паказнікам 0 называецца функцыя, заданая формулай:

f(x) = x0=1.

Вядома, што гэта функцыя мае D(f) = R і непарыўная на D(f), як сталая.

Азначэнне 5. Ступеневай функцыяй з паказнікам m/n называецца функцыя, заданая формулай: f(x) = xm/nf(x) = (xm)1/n.

Гэтую функцыю можна разглядаць, як кампазіцыю функцый

f(x) = g u, дзе u(x) = xm, g(x) =x1/n.

У пунктах 1 і 2 было даказана, што функцыі g(x) і u(x) непарыўныя на сваіх абсягах вызначэння, таму па тэарэме аб непарыўнасці складанай функцыі і функцыя f таксама непарыўная на сваім абсягу вызначэння. Менавіта абсягам вызначэння функцыі з’яўляеца або прамежак , або прамежак . Паколькі функцыі g і u узрастальныя на прамежку ,, то і функцыя f узрастальная на прамежку ,.

Азначэнне 6. Ступеневай функцыяй з паказнікам m/n называецца функцыя, якая задаецца формулай:

.

Гэта функцыя непарыўная на D(f) як дзель непарыўных функцый. Абсягам вызначэння з’яўляецца або прамежак (, або аб’яднанне прамежкаў (-,)(,. Пакольк функцыя xm/n узрастае на інтервале (, то f убывае на гэтым інтэрвале.

На заключэнне адзначым ступеневую функцыю f(x)=xr з адвольным рацыянальным паказнікам ступені r, як функцыю, якая вызначана на прамежаку (, і яе значэнне ў адвольным пункце a>0: f(a)=ar вылічаюцца ў адпаведнасці з азначэннем 1.

З улікам уласцівасцей ступеневай функцыі (гл. пп. 1 –– 3) даказаць

Уласцівасці ступені з рацыянальным паказнікам


1. ar > 0 для любых рацыянальных r (вынікае з азначэння 1).

2. Для любых рацыянальных r1, r 2 : , , ,

(ab)r = arbr ,

3.Калі a >1 і рацыянальны лік r >0, то ar >1.

З узрастальнасці функцыі xr для x>0, r >0  ar > ao = 1. 

4. Калі a >1, r 1> r 2, то

r 1> r 2 r 1 r 2 >0 

5. Для адвольнай паслядоўнасці {r n}, якая імкнецца да 0, і a >0, адпаведная паслядоўнасць імкнецца да 1.

1. Дакажам, што для a >1 (1) і (2)

Т. як , то па ўласцівасці 3 . Абазначым праз (3) , тады (лема Бернулі) . Па Т.аб ліміце прамежк. пасл-ці(крытэрый збежнасці ЛП). Роўнасць (2) можна даказаць з дапамогай Т. аб ліміце дзелі збежных паслядоўнасцей, т. як .

2. Няхай {r n}– адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да 0.

Разгледзім , з улікам (1) і (2) . (4)

Для гэтага ж . (5) Абазначым праз n3=max{n1,n2}. Па ўласцівасці модуля , з улікам (4) і (5) выконываюцца няроўнасці

(6)

Т. як па ўмове , то па ўласцівасці 3о, калі a >1



  1. Калі 0> a >1, то і (па Т. аб ліміце дзелі і п.2 доказу).

  2. Калі а=1, то =1,1,… імкнецца да 1, як сталая. 



§8. Ступень з ірацыянальным паказнікам ступені


Тэарэма. Няхай a>0,  – ірацыянальны лік. Для любой паслядоўнасці рацыянальных лікаў {rn}, якая імкнецца да , калі n, адпаведная паслядоўнасць мае канечны ліміт.

Няхай a > 0,  - адвольны ірацыянальны лік. Разгледзім якую-небудзь узрастаючую паслядоўнасць рацыянальных лікаў {rn}, калі n, прычым rn nN. У сілу ўласцівасці 4 ступені з рацыянальным паказнікам для a > 1 паслядоўнасць узрастальная і абмежаваная зверху лікам , дзе r*– які-небудзь рацыянальны лік, які больш за . Таму паслядоўнасць мае канечны ліміт і ён супадае з sup = А (на падставе тэарэмы аб ліміце манатоннай абмежаванай паслядоўнасці).

Разгледзім зараз адвольную паслядоўнасць рацыянальных лікаў , якая імкнецца да , калі n. Дакажам, што адпаведная паслядоўнасць імкнецца да таго ж ліку А. Так як і , то . Па ўласцівасці 5о §7 . Разгледзім паслядоўнасць . Па Т. аб ліміце здабытку .

Для выпадку 0> a >1, то і (па Т. аб ліміце дзелі і п.2 доказу).

Калі а=1, то =1,1,… імкнецца да 1, як сталая. 


Азначэнне 2. Ступенню ліку a>0 з ірацыянальным паказнікам  называецца лік a, які азначаецца

, (1)

дзе – адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да ірацыянальнага ліку .

Прыклад. , дзе , калі n;

= 1 + 7/10 + 3/100 + 2/1000 + c4/104 + …+ cn/10n,

= 1,732c4c5…cn….

– дзесятковае набліжанне да  з недахопам (недостатком).

Заўвага 1. Роўнасць (1), якая ў выпадку ірацыянальнасці  з’яўляецца азначэннем ступені з ірацыянальным паказнікам a, можа быць даказана і ў выпадку рацыянальнага .

Заўвага 2. З дапамогаю азначэнняў (1) і (2) уводзіцца паняцце ступені з любым сапраўдным паказнікам, якая мае тыя ж самыя ўласцівасці, што і ў азначэнні (1) для ступені з рацыянальным паказнікам.


§10. Паказнікавая функцыя


Азначэнне. Паказнікавай функцыяй называецца функцыя, якая зададзена роўнасцю f(x) = ax , xR, дзе

Адпаведна азначэнню ступені (азначэнні (1) і (2) §4) сімвал ax трэба разумець так:

  1. Калі x = n N, то an = aa …  a (множнікі а узятыя n-разоў).

2. Калі х = 1/n (n N), то a1/n – арыфметычны корань n-ай ступені з ліку а.

3. Калі х = 0, то aо = 1.

4. Калі х = m/n (m,n  N не маюць агульных дзельнікаў няроўных 0), то (am)1/n = am/n.

5. Калі х =  m/n (для m,n тая ж умова), то .

6. Калі x =  - ірацыянальны лік, то , дзе – адвольная паслядоўнасць рацыянальных лікаў, якая імкнецца да ірацыянальнага ліку .

Уласцівасці паказнікавай функцыі


1о. D(f) = R.

2o. ax > 0 xR  E(f) = (,.

3o. Калі a > 1, то ax > 1 x >0; калі 0 < a < 1, то ax < 1.

4o. Калі a > 1, то ax - узрастальная функцыя ; калі 0 < a < 1, то ax - спадальная функцыя.

5о. Функцыя ax непарыўная на ўсёй лікавай прамой.

6о. Калі a > 1, то

Калі 0 < a < 1, то

y=0 – гарызантальная асімптота.


§11. Лагарыфмічная функцыя

Разгледзім паказнікавую функцыю f(x) = ax xR, дзе

Калі a>1, то функцыя узрастальная, а калі 0 < a < 1, то спадальная; функцыя непарыўная на мностве R; E(f) = (,. Па т.2 § 5аб існаванні і непарыўнасці адваротнай функцыі вынікае, што існуе адваротная функцыя f-1, якая узрастальная (спадальная) на

D(f-1) = E(f) = (,.

Азначэнне 1. Функцыя f-1 , адваротная паказнікавай функцыі, называецца лагарыфмічнай функцыяй пры аснове а і абазначаецца:

f-1 = loga.

D(log) = (,, E(log) = R.

Графікі паказнікавай і лагарыфмічнай функцый сіметрычны адносна прамой y = x.


Рыс. 7 Рыс.8


Азначэнне 2. Значэнне лагарыфмічнай функцыі ў кожным пункце х>0, г.зн. logaх, называецца лагарыфмам ліку х па аснове а.

Вядома, што f(f-1(х)) = х х D(f-1) = E(f) = (,  - лагарыфмічная тоеснасць.

Азначэнне 2*. Лагарыфмам ліку х>0 па аснове а называецца паказнік ступені, ў якую трэба ўзвесці а, каб атрымаць лік х.

Прыклад.


§12. Ступеневая функцыя з ірацыянальным паказнікам

У §4 было ўведзена азначэнне ступені з ірацыянальным паказнікам для кожнага дадатнага х.

Разгледзім функцыю f(x) = x х( (1) , дзе  - ірацыянальны лік. Гэту функцыю называюць ступеневай функцыяй з ірацыянальным паказнікам. D(f) = (,.

Дакажам, што функцыя x непарыўная на D(f).

Формула (1) прыме выгляд: f(x) =(1*)

Функцыя (1*) – складаная функцыя: f(x) = g(u(x)), дзе g(x)=ex, u(x) = lnx. Паколькі кожная з функцый g і u непарыўная , то і функцыя f непарыўная ў сваім абсягу вызначэння як складаная функцыя.


§13. Клас элементарных функцый

Азначэнне 1.Асноўнымі элементарнымі функцыямі называюцца функцыі са значэннямі:

f(x) = c (cR), f(x) = x (R), f(x) =ax (),

f(x) = logaх (), f(x) = sinx, f(x) = cosx, f(x) = tgx,

f(x) = ctgx, f(x) = arcsinx, f(x) = arccosx, f(x) = arctgx,

f(x) = arcctgx.


Азначэнне 2. Элементарнымі функцыямі называюцца такія функцыі, якія атрыманы з асноўных элементарных функцый з дапамогаю чатырох арыфметычных дзеянняў і кампазіцый гэтых функцый (складаныя функцыі).

У §§6-11 мы паказалі, што асноўныя элементарныя функцыі непарыўныя ў сваіх абсягах вызначэння.

На падставе тэарэмы аб непарыўнасці алгебраічнай сумы, здабытку, дзелі непарыўных функцый і тэарэмы аб непарыўнасці складанай функцыі можна зрабіць вынік, што

кожная элементарная функцыя непарыўная ў сваім абсягу вызначэння.

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconЗадача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае
Напрыклад, трыганаметрычныя функцыі sin X, cos X можна ўвесці як стасункі паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка І як сумы...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconПлан урока. Арг момант
Гэта тэма вельмі важная. Яна з’яўляецца ступенькай у вывучэнні больш складанага матэрыяла. У старэйшых класах мы будзем рашаць трыганаметрычныя,...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconФункцыі некалькіх зменных
Разгледзім функцыі, якія вызначаны на мноствах n мернай еўклідавай прасторы Rn І значэннямі якіх з'яўляюцца сапраўдныя лікі. Будзем...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі icon§ Дыферэнцыял функцыі 1. Азначэнне дыферэнцыяла
Азначэнне Функцыя х называецца дыферэнцыялам функцыі f ў пункце x0 І абазначаецца

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі icon§ 13. Выпукласць функцыі. Пункты перагібу
Няхай функцыя f дыферэнцавальная ў пункце х0, тады графік гэтай функцыі ў пункце M0(x0, f(x0)) мае нахільную датычную, ураўнанне...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі icon§ 14. Тыповыя сінтаксічныя функцыі часцін мовы. Пераход адных часцін мовы ў другія
Прачытайце тэкст, у якім ідзе гаворка пра тыповыя сінтаксічныя функцыі часцін мовы. Дапоўніце яго звесткамі пра тое, якія яшчэ сінтаксічныя...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconПытанні да экзамена
Даць азначэнне вызначанага інтэграла функцыі f на адрэзку [a,b] (інтэграла Рымана). Даказаць неабходную ўмову інтэгравальнасці функцыі...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconКурс лекций Глава Дыферэнцыяльнае злічэнне для функцыі некалькіх зменных > Паняцце функцыі некалькіх зменных Нагадаем, што R
...

Трыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі iconУрок біялогіі ў 9 класе
Тэма: Будова І функцыі касцей. Злучэнні касцей шкілета чалавека. Практычная работа №2 “Будова І функцыі шкілета чалавека”

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка