2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X




Назва2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X
Дата канвертавання30.10.2012
Памер123.37 Kb.
ТыпДокументы
Метадычная распрацоўка па тэме “Прамая на каардынатнай плоскасці” для КСПС па геаметрыі

для I курса


§1. Паняцце аб раўнанні геаметрычнай фігуры.

Няхай на плоскасці зададзена афінная сістэма каардынат (О, ē1, ē2) або інакш Оху. F(x; y) – гэта выраз з дзвюма пераменнымі х, у. Можна разглядаць мноствы пунктаў каардынатнай плоскасці, каардынаты якіх задавальняюць раўнанню F(x; y)=0, ці няроўнасці F(x; y)≥0. Гэта ёсць некаторыя фігуры.

Азначэнне. Раўнанне (няроўнасць), якому задавальняюць каардынаты кожнага пункта фігуры Φ у дадзенай сістэме каардынат і не задавальняюць каардынаты ніводнага пункта, які не належыць фігуры Φ, называецца раўнаннем (няроўнасцю) фігуры Φ.

Кажуць,што раўнанне (няроўнасць) вызначае або задае гэту фігуру.

Відавочна, што 2 паўнанні (няроўнасці) вызначаюць адну і тую ж фігуру Φ тады і толькі тады, калі яны эквівалентныя.

З дапамогаю метада каардынат у аналітычнай геаметрыі, г.зн. метадам каардынат звычайна рашаюца дзве задачы:

  1. дадзена некаторая фігура, як мноства пунктаў каардынатнай плоскасці. Патрабуецца скласці яе раўнанне, ці няроўнасць

  2. дадзена раўнанне F(x, y)=0, ці няроўнасць F(x, y)≥0. Трэба пабудаваць гэту фігуру.

Задача. Складзіце раўнанне акружнасці з цэнтрам у пункце С(a; b) і радыуса R на каардынатнай плоскасці з дэкартавай сістэмай каардынат.

Пункт М(х; у) належыць акружнасці тыды і толькі тады, калі адлегласць |СМ|=R2. Адсюль маем (x-a)2+(y-b)2=R2 (1)

Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так x2+y2=R2 (2).

Раўнанне акружнасці валодае трыма ўласцівасцямі:

  1. гэта раўнанне другой ступені;

  2. не ўтрымлівае члена са здабыткам XY каардынат

  3. каэфіцыенты пры квадратах каардынат роўныя паміж сабою.

Адзначым, што адваротнае не заўсёды мае месца. Напрыклад, раўнанне x2+y2+4=0 не вызначае ніякую фігуру. Кажуць, што яно вызначае пустое мноства пунктаў і абазначаюць яго Ø.

Калі фігуры Φ1 і Φ2 маюць раўнанні , то сістэма гэтых раўнанняў вызначае перасячэнне Φ1∩Φ2. Сукупнасць раўнанняў вызначае аб’яднанне гэтых фігур Φ12.




§2. Вектарнае і параметрычныя раўнанні прамой на каардынтнай плоскасці.

Азначэнне. Ненулявы вектар ā паралельны прамой l называецца кіроўным вектарам гэтай прамой.

Размяшчэнне прамой на плоскасці вызначаецца заданнем якога-небудзь яе пункта М0 і кіроўнага вектара ā. Пункт М Є l <=> 0|| ā, г.зн. калі 0=t*ā, дзе t – сапраўдны лік, які называецца параметрам.

0= -0, дзе r і r0 – гэта радыусы-вектары пунктаў М і М0 адпаведна. Падставіўшы ў папярэднюю роўнасць атрымаем: =0+t(1) Гэта ёсць вектарнае раўнанне прамой.

Няхай М000), ā=(а12), тады вектар 0=(x0;y0), =(x;y)

Раўнанне (1) эквівалентна сістэме двух раўнанняў (2). Гэта сістэма называеца параметрычнымі раўнаннямі прамой.


§3. Агульнае раўнанне прамой.

Пункт М належыць прамой L тады і толькі тады, калі вектар М0М паралельны вектару а (гл. Рыс.2), г. зн. калі каардынаты гэтых вектараў прапарцыянальныя, што зручна запісваць так:

=0 (3)

Гэта ёсць раўнанне прамой L на плоскасці, паралельнай вектару ā і якая праходзіць праз пункт М000).

(3) эквівалентна раўнанню a2(x-x0)-a1(y-y0)=0  a2x-a1y-a2x0+a1y0=0

Вектар а не нулявы і таму прынамсі адна з яго каардынат (а12) адрозніваецца ад нуля, а гэта можна запісаць так а1222≠0. Таму апошняе раўнанне з’яўляецца раўнаннем першай ступені і таму усякую прамую называюць алгебраічнай лініяй першага парадку.

Наадварот, дакажам, што кожнае раўнанне Ах+Ву+С=0 (4) , дзе А22≠0 вызначае прамую ў афіннай сістэме каардынат Оху.

Доказ: няхай, напрыклад, А≠0, тады раўнанне (4) можна запісаць у выглядзе:

А(х+)+Ву=0, або =0.

Гэта роўнась выгляду (3) і паводле папярэдняга яно вызначае прамую, якая праходзіць праз пункт М0(-; 0) і паралельную вектару =(-В; А)

Калі ж А=0, то тады В≠0. Доказ аналагічны гэтаму.

Такім чынам, мноства ўсіх ліній першага парадку – гэта мноства прамых плоскасці.

Раўнанне (4) называецца агульным раўнаннем прамой на каардынатнай плоскасці.


§4. Даследаванне агульнага раўнання прамой.

На плоскасці зададзена афінная сістэма каардынат Оху. Прамая мае агульнае раўнанне

Ах+Ву+С=0 (1), дзе А22≠0

Паводле папярэдняга, прамая мае кіроўны вектар =(-В; А), г.зн. =-В12.

Магчымы выпадкі:

  1. С=0. З (1) => Ax+By=0 => . Прамая праходзіць праз пачатак каардынат. Выконваецца і адваротнае, г.зн. што, калі ў раўнанні (1) свабодны член С=0, то .

  2. B=0, тады А≠0. З (1)=> Ax+C=0 => x= - , ; 2 => ||Oy.

  3. A=0, B≠0. З (1) => By+C=0 => y= -. 1. => ||Ox.

  4. C=0, A=0, B≠0. З(1) => By=0  y=0. Прамая супадае з каардынатнай воссю Ох.

  5. С=0, В=0, А≠0. З(1) => Ax=0  x=0. Прамая супадае з каардынатнай воссю Оу.



§5. Раўнанне прамой, якая праходзіць праз два пункты, і раўнанне ў адрэзках

Няхай прамая праходзхіць праз 2 пункты. М111) і М222). Кіроўным вектарам гэтай прамой можа быць вектар 12=(x2-x1; y2-y1).

Паводле (3)§3 раўнанне прамой будзе

=0 (1)

(y2-y1)(x-x1)-(x2-x2)(y-y1)=0.

Разгледзем цяпер прамую , якая перасякае вось Ох у пункце А(а; 0) і вось Оу у пункце В(0; b) і не праходзіць праз пачатак каардынат, г.зн. ab≠0.

Разгледзім цяпер прамую , якая перасякае вось Ох у пункце A(a; 0) і вось Оу у пункце В(0; b) і не праходзіць праз пачатак каардынат, г.зн. ab≠0.

Кіроўным вектарам прамой можа быць вектар Прамая мае раўнанне =0 

 xb+ay-ab=0 xb+ay=ab. Адсюль маем

(2)

Лікі a і b вызначаюць накіраваныя адрэзкі 1 і 2 , якія адсякае прамая на каардынатных восях Ох і Оу. Таму (2) называецца раўнаннем прамой ў адрэзках.


§6. Раўнанне прамой з вуглавым каэфіцыетам

Разгледзім прамую не паралельную восі ардынат Оу. Няхай яна мае агульнае раўнанне Ах+Ву+С=0 (1), дзе А22≠0.

Кіроўны вектар 1+|| 2 , таму В≠0. Знойдзем Y з раўнання (1)

Абазначым , . Падставіўшы, атрымаем раўнанне, рэшанае адносна ардынаты Y: (2)

Азначэнне. Стасунак каардынат кіроўнага вектара прамой называецца вуглавым каэфіцыентам k гэтай прамой.

Ен мае сэнс, калі a1≠0, г.зн. калі || Oy. Паводле папярэдняга , таму a1= - B, a2=A. Значыць . З (1) маем .

Такім чынам, вуглавы каэфіцыент прамой з’яўляецца каэфіцыентам пры Х у раўнанні прамой, рэшаным адносна ардынаты Y.

Калі прамая праходзіць праз пункт M0(x0;y0), то паводле (2) y0=k*x2+b. Адымаючы з (2) атрымаем раўнанне прамой y-y0=k*(x-x0) (3)

Калі сістэма каардынат Oxy дэкартава (О, ), то , B(0, b) , M(x;y) => => (4)

Такім чынам, у дэкартавай сістэма каардынат вуглавы каэфіцыент прамой роўны тангенсу вугла нахілу прамой да восі Ох.

Калі ж ||Oy, то вуглавы каэфіцыент К не існуе. У такім разе кіроўным вектарам прамой мода быць вектар 2=0*1+2=(0; 1).

Раўнанне прамой будзе =0, г.зн. x=x0 (5)


§7. Узаемнае размяшчэнне дзвюх прамых.

На каардынатнай плоскасці з афіннай сістэмай каардынат дзве прамыя зададзены агульнымі раўнаннямі адпаведна:

1: A1x+B1y+C1=0 і A12+B12≠0

2: A2x+B2y+C2=0 і A22+B22≠0

(1)


Яны маюць кіроўныя вектары

11; A1), 22; A2)

Магчымы выпадкі:

  1. Каэфіцыенты пры x і y у агульных раўнаннях (1) прамых 1 і 2 прапарцыянальныя. У такім разе 1||2. Прамыя 1 і 2 паралеьныя (розныя або супадаюць). Калі яшчэ пры гэтам дадаткова прапарцыянальныя і свабодныя члены у раўнаннях (1), то раўнанні прамых 1 і 2 эквівалентныя і вызначаюцьадну фігуру, таму прамыя 1 і 2 супадаюць.

  2. Каэфіцыенты пры Х і У у раўнаннях (1) прамых 1 і 2 не прапарцыянальныя. У гэтым выпадку кіроўныя вектары 1 і 2 не калінеарныя, таму прамыя не паралельныя. Яны перасякаюцца. Сістэма раўнанняў (1) мае адзінае рашэнне(x0; y0). Пункт М0(x0; y0) – гэта пункт іх перасячэння.

§
8. Пучок прамых



Азначэнне. Пучком прамых называецца мноства прамых плоскасці, якія праходзяць праз адзін і той жа пункт С. Ён называецца цэнтрам пучка.

На плоскасці зададзена афінная сістэма каардынат Оху. Пучок можа быць зададзены яго цэнтрам С або дзвюма рознымі яго прамымі. Няхай яны вызначаюцца роўнасцямі:

1: A1x + B1y + C1 = 0, A12 + B12 0,

2: A2x + B2y + C2 = 0, A22 + B220

Раўнанне пучка прамых запісваецца так

(1),

Калі, напрыклад, , то падзяліўшы на і абазначыўшы атрымаем раўнанне пучка прамых ў выглядзе

А1х + В1у + С1 + 2х +В2у + С2) = 0 (2)

Сапраўды, раўнанні (1) і (2) – гэта раўнанні першай ступені і вызначаюць прамыя. Яны праходзяць праз пункт перасячэння С дзвюх дадзеных прамых 1 і 2, гэта значыць праз цэнтр пучка. Значыць (1) і (2) з’яўляюцца раўнаннямі пучка. Пры розных сапраўдных значэннях параметраў і у раўнанні (1) і у раўнанні (2) гэтыя раўнанні (1) і (2) вызначаюць адпаведна розныя прамыя пучка.

Адзначым яшчэ, што раўнанне (2) вызначае любую прамую пучка, апрача прамой

А2х + В2у + С2 = 0


§ 9. Паўплоскасці, вызначаныя дадзенай прамой





На плоскасці зададзена афінная сістэма каардынат Оху. Прамая вызначана агульным раўнаннем

Ах + Ву + С = 0, А2 + В2 = 0.

Высветлім, якую фігуру вызначае няроўнасць

Ах +Ву + С > 0, А2 + В2.

Абазначым р(х;у) = Ах + Ву + С.

Прамая разбівае мноства пунктаў плоскасці, якія не належаць гэтай прамой, на дзве адкрытыя паўплоскасці. Разгледзім вектар . Так як , то вектар не каленіарны кіроўнаму вектару прамой . Адкладзем вектар ад якога-небудзь пункта М0 прамой . Тады . Пункт М . Ён належыць толькі адной з дзвюх адкрытых паўпласкасцей.

Возьмем пункт N(х; у),які не належыць прамой , і правядзём прамую NN0||да перасячэння з прамой у пункце N0(x0; y0)

(1)

Пункты M і N знаходзяццца ў адной паўплоскасці тады і толькі тады, калі > 0 і ў розных паўпласкасцях, калі < 0

, m = (A;B)



Вылічым значэнне р(х; у) для значэнняў каардынат пункта N(х:у)

р(х;у) = Ах0 + Ву0 + С + 2 + В2) = 2 + В2)

Знак мнагачлена р(х;у) для значэнняў каардынат пункта N супадае са знакам .

Такім чынам, Ах + Ву + С > 0 тады і толькі тады, калі пункт N(х;у) належыць адной і той жа паўплоскасці , што і пункт М. Туму строгая няроўнасць I ступені Ах + Ву + С >0, або Ах + Ву + С < 0 задае адкрытую паўплоскасць.

Нястрогая няроўнасць Ах + Ву + С або Ах + Ву + С вызначае паўплоскасць разам з яе мяжой, гэта значыць разам з прамой .


§ 10. Формула косінуса вугла паміж прамымі




Далей будзем лічыць, што сістэма каардынат дэкартава.

Азначэнне. Велічыня меншага з двух сумежных вуглоў, утвораных дадзенымі прамымі 1 і 2, называецца вуглом паміж імі. Для паралельных прамых ён роўны 0, а для перпендыкулярных ён лічыцца прамым. Абазначым яго праз

, або




(1)

(2)

Задача. Знайдзіце вугал паміж прамымі, зададзенымі ў дэкартавай сістэме каардынат агульнымі раўнаннямі

1: A1x + B1y + C1 = 0, A12 + B12 0

2: A2x + B2y + C2 = 0, A22 + B22 0

Гэтыя прамыя маюць кіроўныя вектары = (-В1; А1) і = (-В2; А2)




Адсюль вынікае, што прамыя перпендыкулярныя тады і толькі тады, калі

А1А2 + В1В2 = 0.


§ 11. Формула тангенса вугла паміж прамымі


Р
азгледзім дзве прамыя 1 і 2 у зададзеным парадку і якія не паралельныя восі Оу. У дэкартавай сістэме каардынат яны зададзены раўнаннямі з вуглавымі каэфіцыентамі:

1: y = k1x + b1

2: y = k2x + b2

У такім выпадку вугал паміж прамымі 1 і 2 – гэта вугал, на якім трэба павярнуць першую прамую 1, каб яна супала з другой прамой 2 або стала ёй паралельнай.

Калі прамыя 1 і 2 утвараюць з воссю Ох адпаведна вуглы (гл. Рыс. 13) і , то . Можна праверыць, што гэта ўмова мае месца і ў выпадку, калі .

Будзем лічыць, што прамыя 1 і 2 не перпендыкулярныя.

і ,

(1)

Вынік: 1) 1|| 2 k1 =k2

2) 1 2

, ,

Калі прынамсі адна з прамых паралельна восі Ох, то формула (1) не мае сэнсу.

Няхай напрыклад 2 || Oy

,






§ 12. Раўнанне прамой перпендыкулярнай

дадзенаму вектару


Калі сістэма каардынат дэкартава, то каэфіцыенты ў агульным раўнанні прамой

Ах + Ву + С = 0 (1) А220 маюць просты геаметрычны сэнс. Разгледзім вектар Прамая мае кіроўны вектар Відавочна, што . Вектар называецца нармальным вектарам прамой .

Такім чынам, каэфіцыенты А і В у агульным раўнанні (1) прамой, зададзенай у дэкартавай сістэме каардынат, з’яўляюцца каардынатамі нармальнага вектара гэтай прамой.

Складзем раўнанне прамой, якая праходзіць праз пункт і перпендыкулярна вектару .






(2)


§ 13. Адлегласць ад пункта да прамой


З
нойдзем адлегласць ад пункта М11; у1) да прамой Ах+Ву+С=0, А22 0 , , .

Вылічым значэнне Ах1 + Ву1 + С1. Для гэтага адымем ад яго 0 = Ах2 + Ву2 + С.



(1)

Адлегласць ад пункта М1 да прамой у дэкартавай сістэме каардынат роўна дробу, лічнік якога ёсць абсалютная велічыня значэння левай часткі агульнага раўнання прамой , калі замест каардынат (х; у) падставіць каардынвты (х11) пункта М1, а назоўнік роўны квадратнаму караню , гэта значыць даўжыні нармальнага вектара .

Задача. Знайдзіце адлегласць ад пункта М1(2;3) да прамой - 4х + 3у +4 =0


Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X icon4. Няхай у палярнай сістэме каардынат дадзена крывая , якая зададзена раўнаннем r=f(), (5) дзе f – непарыўная на [;] функцыя. Дакажам, што – з'яўляецца крывой Жардана. Дадатковыя звесткі
Прыклад Графік функцыі y = f(X), непарыўнай на адрэзку [a, b], з’яўляецца крывой Жардана

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X iconФігура ­- аб’яднанне акружнасці І яе дыяметра. Ці з’яўля-ецца гэта лініяй. Растлумачце, чаму не з’яўляецца простай лініяй?
Фігура ­– аб’яднанне акружнасці І яе дыяметра. Ці з’яўля-ецца гэта лініяй. Растлумачце, чаму не з’яўляецца простай лініяй?

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X iconПрактычныя заняткі
Састаўце параметрычныя ўраўненні тора (паверхня отрыманая вярчэннем акружнасці каля прамой, якая ляжыць у плоскасці акружнасці І...

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X icon1. Карыстаючыся маюнкам, укажыце праўдзівыя сцверджанні: а ав хорда акружнасц; б ав дыяметр акружнасці; в cd- дыяметр акружнасці; г оа І ов радыусы
Карыстаючыся маюнкам, укажыце праўдзівыя сцверджанні: а ав – хорда акружнасц; б ав – дыяметр акружнасці; в cd- дыяметр акружнасці;...

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X iconПаліномы над полем камплексных лікаў
Паказаць, што раўнанне з’яўляецца біквадратовым, калі сума двух яго каранеў роўна суме іншых двух каранеў І роўна 0

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X iconА. У. Дуброўскі Вершазнаўства ў тэарэтыка-літаратурнай падрыхтоўцы студэнтаў-журналістаў
Дый не будзе перавелічэннем, калі мы скажам, што ў свеце найбольш распрацавана менавіта метадалогія вывучэння мастацкай літаратуры,...

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X iconСтатут
Установа з'яўляецца юрыдычнай асобай, створанай на аснове дзяржаўнай камунальнай уласнасці, з'яўляецца некамерцыйнай арганізацыяй,...

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X icon6 клас Самастойная работа. Да ў жыня акружнасц І
Параўнайце перыметр квадрата, старана якога 9 см, з даўжынёй акружнасці, дыяметр якой 9 см

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X iconЯны заставаліся вернымі вучэнню Апосталаў І супольнасці, ламанню хлеба І малітвам
Учэнню Апосталаў І супольнасці, ламанню хлеба І малітвам (пар. Дз 2, 42). Гэты фрагмент з’яўляецца заклікам да пошуку натхнення І...

2 (1) Відавочна, (1) з’яўляецца раўнаннем акружнасці (С; R). Калі a=b=0, то цэнтрам акружнасці з’яўляецца пачатак каардынат О(0;0). Раўнанне (1) запісваецца так X icon"Нераўнамерны рух. Рух па акружнасці"
Залежнасць праекцыі паскарэння ад часу пры роўнапаскораным руху паказаны правільна на малюнку

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка