Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік




НазваШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
старонка3/11
Дата канвертавання01.12.2012
Памер0.66 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

  • Літаратура


    Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М., «Наука», 1967. Т. 2. Гл. 13. § 1, 4.

    Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. – М., «Просвещение», 1976. Т. 2. Гл. 2. § 10, 11, 12.

    Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М., «Высшая школа», 1981. Т. 1. Гл. 4. § 34.

    Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М., «Наука», 1966. Т. 2. Гл. 12. § 1, 2, 3.

    Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М., изд-во Моск. ун-та, 1987. Т. 2. Гл. 2. § 1, 2.

    Коровкин П.П. Математический анализ. – М., «Просвещение», 1972. Ч. 2. Гл. XIII. § 1, 5.

    Русак В.Н., Шлома Л.І. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі. – Мн., «Вышэйшая школа», 1991. Т. 2. Гл. 16.


    ТЭМА 2. ЛІКАВЫЯ ШЭРАГІ З ДАДАТНЫМІ ЧЛЕНАМІ

    1. Асноўныя азначэнні і тэарэмы


    Калі ў лікавым шэрагу усе члены неадмоўныя, то такі шэраг называецца знакададатным.

    Тэарэма 1. Для збежнасці знакададатнага шэрагу неабходна і дастаткова, каб паслядоўнасць яго частковых сум была абмежавана зверху.

    Тэарэма 2. (Прымета параўнання.) Калі для двух знакададатных шэрагаў

    (1) і , (2)

    пачынаючы з некаторага нумара , выконваецца няроўнасць

    , (3)

    то са збежнасці шэрагу (2) вынікае збежнасць шэрагу (1), а з разбежнасці (1) вынікае разбежнасць шэрагу (2).

    Тэарэма 3. (Прымета параўнання ў лімітавай форме.) Няхай для двух знакададатных шэрагаў (1) і (2) існуе ліміт , то дадзеныя шэрагі збягаюцца і разбягаюцца адначасова.

    Нагадаем, што шэраг выгляду называецца гарманічным. Раней было даказана, што ён разбягаецца. Шэраг выгляду



    (дзе – адвольны сапраўдны лік) называецца абагульненым гарманічным шэрагам. Ніжэй будзе даказана, што ён збягаецца, калі і разбягаецца, калі .

    Тэарэма 4. (Прымета Д’Алямбэра.) Няхай для ўсiх членаў знакададатнага шэрагу (1), пачыная з некаторага нумара , выконваецца няроўнасць , то шэраг (1) збягаецца (разбягаецца).

    Тэарэма 5. (Прымета Д’Алямбэра ў лімітавай форме.) Няхай для знакададатнага шэрагу (1) існуе ліміт . Тады, калі

    , то дадзены шэраг збягаецца;

    , то дадзены шэраг разбягаецца;

    , то дадзены шэраг можа як збягаецца так і разбягацца (у гэтым выпадку патрэбны дадатковыя даследавання).

    Тэарэма 6. (Прымета Кашы.) Няхай для ўсiх членаў знакададатнага шэрагу (1), пачынаючы з некаторага нумара , выконваецца няроўнасць , то шэраг (1) збягаецца (разбягаецца).

    Тэарэма 7. (Прымета Кашы ў лімітавай форме.) Няхай для знакададатнага шэрагу (1) існуе ліміт . Тады, калі

    , то дадзены шэраг збягаецца;

    , то дадзены шэраг разбягаецца;

    , то дадзены шэраг можа як збягаецца так і разбягацца (у гэтым выпадку патрэбны дадатковыя даследавання).

    Тут запіс трэба зразумець, як верхні ліміт лікавай паслядоўнасці.

    Ніжэй будзе паказана, што прымета Кашы мацней за прымету Д’Алямбэра (прыклад 5).

    Няхай на прамежку () зададзена дадатная, непарыўная функцыя . Будзем казаць, што функцыя спараджае лікавы шэраг , калі члены гэтага шэрагу задавальняюць наступным роўнасцям: , ,…, ,…

    Тэарэма 8. (Інтэгральная прымета.) Няхай функцыя – дадатная, непарыўная і ўбывае на замкнутым прамежку . Тады шэраг, які спараджае функцыя , будзе збягацца, калі збягаецца няўласны інтэграл , і разбягаецца, калі інтэграл разбягаецца.


    Пытанні для самакантролю

    Які лікавы шэраг называецц знакададатным?

    Даказаць крытэрый збежнасці знакададатнага шэрагу.

    Сфармулюйце прыметы параўнання.

    Які шэраг называецца гарманічным? Што можна сказаць наконт яго збежнасці?

    Сфармулюйце прымету Д’Алямбэра збежнасці лікавага шэрагу.

    Сфармулюйце прымету Кашы збежнасці лікавага шэрагу.

    Даць азначэнне верхняга ліміту лікавай паслядоўунасці.

    Сфармулюйце інтэгральную прымету збежнасці лікавага шэрагу.

    Які шэраг называецца абагульненым гарманічным? Калі ён збягаецца, а калі разбягаецца?


    Прыклады рашэння задач

    1. Даказаць з дапамогай прыметы параўнання, што гарманічны шэраг разбежны.

    Рашэнне.

    Параўнаем гарманічны шэраг з лікавым шэрагам . Мы ўжо даказалі, што ён разбягаецца. Па прымеце параўнання ў лімітавай форме, так як , то гарманічны шэраг разбежны.

    2. Даследаваць на збежнасць лікавы шэраг .

    Рашэнне.

    Скарыстаем прымету Д’Алямбэра. Запішам формулу -га члену , а потым вылічым



    Па тэарэме 3 шэраг збягаецца.

    3. Даследаваць на збежнасць абагульнены гарманічны шэраг.

    Рашэнне.

    Скарыстаем інтэгральную прымету. Абагульнены гарманічны шэраг спараджае функцыя , яна непарыўная, неадмоўная і спадае на промні . Высветлім, пры якіх абагульнены гарманічны шэраг збягаецца і разбягаецца. Разгледзім няўласны інтэграл



    Па тэарэме 6 абагульнены гарманiчны шэраг збягаецца, калі і разбягаецца, калі .

    4. Даследаваць на збежнасць шэраг



    Рашэнне.

    Разгледзім у гэтым выпадку нельга скарыстаць тэарэму 5, так як не ісснуе. Але для адвольнага , таму па тэарэме 4 гэты шэраг збягаецца.

    5. Паказаць,што шэраг



    нельга даследаваць на збежнасць па прымеце Д’Алямбэра, але магчыма па прымеце Кашы.

    Рашэнне.

    Формула n-га члена дадзенага шэрагу таму У гэтым выпадку нельга скарыстаць ні тэарэму 5, так як не ісснуе, ні тэарэму 4, так як для n=2k , а для n=2k+1 .

    Скарыстаем прымету Кашы. Для гэтага знойдзем

    Па тэарэме 6 шэраг збягаецца, так як .


    Практыкаванні для самастойнай працы

    1.З дапамогай прымет параўнання даследаваць на збежнасць наступныя шэрагі:

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: збягаецца, калі .

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    2. З дапамогай прымет Кашы і Д’Алямбэра даследаваць на збежнасць наступныя шэрагі:

        1. . Адказ: збягаецца.

        2. . Адказ: разбягаецца.

        3. . Адказ: разбягаецца.

        4. . Адказ: збягаецца.

        5. . Адказ: разбягаецца.

        6. . Адказ: збягаецца.

        7. . Адказ: збягаецца.

        8. . Адказ: разбягаецца.

        9. . Адказ: збягаецца.

        10. . Адказ: збягаецца.

        11. . Адказ: збягаецца.

        12. . Адказ: збягаецца.

        13. . Адказ: збягаецца.

        14. . Адказ: збягаецца.

        15. . Адказ: збягаецца.



    Указанне: . Адказ: збягаецца.

    2.17.

    Указанне: . Адказ: збягаецца.

      1. З дапамогай інтэгральнай прыметы даследаваць на збежнасць

    наступныя шэрагі:

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: разбягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    . Адказ: збягаецца.

    4. Даследаваць на збежнасць шэрагi, для даследавння самастойна выбраць прымету:

      1. . Адказ: збягаецца.

      2. Адказ: збягаецца.

      3. Адказ: разбягаецца.

      4. Адказ: збягаецца.

      5. Адказ: збягаецца.

      6. Адказ: разбягаецца.

      7. . Адказ: разбягаецца.

      8. Адказ: збягаецца.

      9. Адказ: збягаецца.

      10. Адказ: збягаецца.

      11. Адказ: збягаецца.

      12. Адказ: збягаецца.

      13. Адказ: збягаецца.

      14. Адказ: збягаецца.

      15. Адказ: разбягаецца.

      16. Адказ: разбягаецца.

      17. Адказ: разбягаецца.


    Літаратура

    Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М., «Наука», 1967. Т. 2. Гл. 13. § 2.

    Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. – М., «Просвещение», 1976. Т. 2. Гл. 2. § 10, 11, 12.

    Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М., «Высшая школа», 1981. Т. 1. Гл. 4. § 36.

    Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М., «Наука», 1966. Т. 2. Гл. 12. § 1, 2, 3.


    Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М., изд-во Моск. ун-та, 1987. Т. 2. Гл. 2.§ 1, 2.

    Коровкин П.П. Математический анализ. – М., «Просвещение», 1972. Ч. 2. Гл. XIII. § 2.

    Русак В.Н., Шлома Л.І. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі. – Мн., «Вышэйшая школа», 1991. Т. 2. Гл. 16.


    ТЭМА 3. ЗНАКАЗМЕННЫЯ ШЭРАГІ


    Асноўныя азначэнні і тэарэмы
  • 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

    Падобныя:

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconС. Б. Пазняк, А. Г. Смалей Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных І мікозных інфекцый сельскагаспадарчай І хатняй жывёлы (вучэбна-метадычны дапаможнік) Гродна 2009
    Вучэбна-метадычны дапаможнік/ М.І. Таранда [і інш.]. – Гродна: уа «гдау», 2009. – 236 с

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconПа курсу
    Вучэбна-метадычны дапаможнік па курсу «Гісторыя чэшскай літаратуры ІІ паловы ХІХ стагоддзя» / Аўт-склад. А. У. Вострыкава.—Мн.: Ривш,...

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconБеларуская дзяржаўная акадэмія мастацтваў Кафедра гуманітарных дысцыплін гісторыя беларусі вучэбна-метадычны дапаможнік для падрыхтоўкі да семінарскіх заняткаў
    Кафедра працуе: 00-13. 00, 14. 00-18. 00 Пн-пт (метадыст – Шыркоўская Людміла Мікалаеўна)

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
    Дапаможнік складаецца з шасці частак. Кожная частка прысвечана пэўнай тэме І ўтрымлівае ў сціслым выглядзе тэорыю, прыклады падрабязнага...

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconНовые поступления в библиотеку литературоведение
    Сюжэталогія празаічнага твора : вучэбна-метадычны дапаможнік [для вну] / В. М. Кавальчук; рэц.: Дз. М. Лебядзевіч, А. Г. Ківака;...

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны дапаможнік па аднайменнаму курсу для студэнтаў спецыяльнасці 1 21 03 01 01 Гісторыя, 1 02 01 02 04 Гісторыя. Замежная мова Гродна 2006
    Гістарыяграфія гісторыі Беларусі: Вучэб метад дапам. / Склад. В. А. Белазаровіч. – Гродна: ГрДУ, 2006. – 309 с

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconАсновы творчай дзейнасці рэдактара вучэбна-метадычны дапаможнік
    У сувязі з гэтым ставіцца асноўная метадалагічная задача – выпрацаваць у студэнтаў навыкі творчага падыходу да рэдагавання, якое...

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconДзея­слоў. Дзеепрыметнік. Дзеепры­слоўе. Прыслоўе. Бпс. Няпоўна­знамянальныя словы Вучэбна-метадычны дапаможнік Віцебск Выдавецтва уа "вду імя П. М. Машэрава" 2006
    Друкуецца па рашэнні навукова-метадычнага савета ўстановы адукацыі “Віцебскі дзяржаўны універсітэт імя П. М. Машэрава”

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconРэкамендавана Метадычнай камісіяй фдп І па бдуір
    Беларуская мова: спецыяльная лексіка: Вучэбна-метадычны дапаможнік для студэнтаў усіх форм навучання ўсіх спецыяльнасцей бдуір /...

    Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны комплекс па дысцыпліне "гісторыя беларусі" у дзвюх частках Частка 1 Брэст Брду імя А. С. Пушкіна 2009 удк 94(476)(075)
    Гісторыя Беларусі : вучэбна-метадычны комплекс у 2 ч. / Н. П. Галімава [і інш.]; пад агульнай рэд. У. В. Здановіча. – Ч. 1 : – Брэст...

    Размесціце кнопку на сваім сайце:
    be.convdocs.org


    База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
    звярнуцца да адміністрацыі
    be.convdocs.org
    Галоўная старонка