Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік




НазваШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
старонка11/11
Дата канвертавання01.12.2012
Памер0.66 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Пытанні для самакантролю


Які функцыянальны шэраг называецца ступеневым?

Дайце азначэнне радыўса, інтэрвала і мноства збежнасці ступеневага шэрага.

Дакажыце тэарэмы 1 і 2.

Сфармулюйце і дакажыце тэарэму аб раўнамернай збежнасці ступеневага шэрага.

Сфармулюйце тэарэмы аб паскладовым інтэграванні і дыферэнцаванні ступеневых шэрагаў.

Дайце азначэнне шэрага Тэйлара і шэрага Макларэна функцыі.

Сфармулюйце неабходныя і дастатковы ўмовы раскладання функцыі ў шэраг Тэйлара.

      1. Прыклады рашэння задач

      2. 1. Знайсці радыўс і мноства збежнасці ступеневага шэрага .


Рашэнне.

Выкарыстаем прымету Д’Алямбэра ў лімітавай форме.

.

Па прымеце Д’Алямбэра шэраг будзе збягацца, калі і разбягацца, калі .

Такім чынам, калі , то шэраг збягаецца, калі , то шэраг разбягаецца. Адсюль вынікае, што радыўс збежнасці R=3 (азначэнне 1), а інтэрвал збежнасці – гэта інтэрвал .Даследуем збежнасць шэрага ў пунктах x=–2, x=4. Пры x=–2 атрымаецца лікавы шэраг . Гэта гарманічны шэраг.Як вядома, ен разбягаецца. Пры x=4 атрымаецца таксама гарманічны шэраг.

Такім чынам радыўс збежнасці дадзенага ступеневага шэрага , а абсяг збежнасці – інтэрвал .

2. Знайсці радыўс і мноства збежнасці ступеневага шэрага .

Рашэнне.

Выкарыстаем прымету Кашы ў лімітавай форме. . Па прымеце Кашы шэраг збягаецца, калі і разбягаецца, калі Тады, калі – шэраг збягаецца, калі – шэраг разбягаецца. Адсюль і па азначэнню радыўса збежнасці ступеневага шэрага вынікае, што радыўс збежнасці , інтэрвал збежнасці – інтэрвал .

Даследуем збежнасць шэрага у пунктах x=–1, x=0. Пры x=–1 атрымаецца знакачаргавальны шэраг выгляду , які збягаецца па прымеце Ляйбніца. Пры x=0 атрымаецца шэраг выгляду . Калі параўнаць яго з гарманічным , то ён разбягаецца па прымеце параўнання ў лімітавай форме.

Такім чынам, радыўс збежнасці дадзенага ступеневага шэрага , абсяг збежнасці – паўінтэрвал .

3. Пры дапамозе паскладовага дыферэнцавання знайсці суму шэрага .

Рашэнне.

Знойдзем абсяг збежнасці дадзенага шэрага. Выкарыстаем прымету Д’Алямбэра. Тады

.

Зразумела,што радыўс збежнасціR=1, інтэрвал збежнасці –(-1;1). Даследуем збежнасць шэрага у пункце . Пры падстаноўцы у дадзены шэраг атрымаем гарманічны шэраг , які разбягаецца. Пры падстаноўцы атрымаем шэраг , які збягаецца па прымеце Ляйбніца.

Такім чынам дадзены шэраг збягаецца на паўінтэрвале .

Няхай сума шэрага на інтэрвале роўна . Значыць = для ўсіх х[-1;1). Так як ступеневы шэраг можна паскладова дыферэнцаваць (тэарэма 5), то будзем мець .У правай часцы роўнасці атрымалася геаметрычная прагрэсія з назоўнікам х. Як вядома яе сума роўна

. Пагэтаму можна запісаць = для ўсіх х[-1;1). Праінтэграваўшы

апошнюю роўнасць атрымаем

для ўсіх х[-1;1).

Такім чынам, = для ўсіх х[-1;1).

4. Пры дапамозе паскладовага інтэгравання знайсці суму шэрага .

Рашэнне.

Знойдзем абсяг збежнасці дадзенага шэраг.

.

Відавочна, што інтэрвал збежнасці – гэта інтэрвал(-1;1). У пунктах x=1 шэраг будзе разбягацца, так як у гэтых пунктах не выконваецца неабходная ўмова збежнасці лікавага шэрага. Такім чынам суму дадзенага шэрага будзем шукац на інтэрвале(-1;1). Няхай сума роўна S(x). Гэта значыць,што =.

Так як ступеневы шэраг можна паскладова інтэграваць па любому адрэзку, які змяшчаецца ўнутры яго інтэрвала збежнасці (тэарэма 4),то будзем мець

Няхай . Знойдзем . Для гэтага праінтэгруем апошнюю роўнасць. Атрымаем, .

Тады

.

Далей

.

Такім чынам, атрымалі, што для ўсіх х[-1;1).

5. Раскласці ў шэраг Макларэна функцыю пры дапамозе формул (1)–(7).

Рашэнне.

Раскладзем дроб на простыя дробы. Будзем мець

.

Метадам нявызначаных кафецыентаў, можна знайсці, што

Тады

.

Разгледзім дроб . Па формуле (7) атрымаем

. (8)

Роўнасць выконваецца для ўсіх пунктаў x такіх, што .

Аналагічна атрымаем, што

. (9)

Роўнасць выконваецца для ўсіх пунктаў x такіх, што .

Відавочна, што расклады (8) і (9) выконваюцца адначасова для ўсіх пунктаў x такіх, што .

Тады

.

Такім чынам, атрымалі .

6. Раскласці функцыю у ступеневы шэраг па ступеням .

Рашэнне.

Выкарыстаем формулу (1). Для гэтага абазначым , тады . Такім чынам,

для ўсіх х[-∞;∞).

7. Раскласці функцыю у шэраг Макларэна пры дапамозе дыферэнцавання.

Рашэнне.

Так як для ўсіх х(-1;1] і ,то пры х(-1;1] будзем мець



Такім чынам,

, пры х(-1;1].

8. Раскласці функцыю f(x)= у ступеневы шэраг па ступенях x-2.

Рашэнне.
          1. Заўважым, што

.

.

Такім чынам,

.

8. Раскласці функцыю па ступенях .

Рашэнне.
        1. Заўважым, што




,

дзе .


Практыкаванні для самастойнай працы

1. Знайсці радыўс і мноства збежнасці ступеневага шэрага.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

; Адказ:.

2. Пры дапамозе паскладовага дыферэнцавання або інтэгравання знайсці суму ступеневага .

;

;

;

;

.

3. Раскласці функцыю f(x) па ступенях x.

; Адказ: .

; Адказ:.

;Адказ:

; Адказ: .

; Адказ: .

; Адказ: .

; Адказ: .

; Адказ: .

4. Раскласці функцыю па ступенях .

Адказ: .

5. Раскласці функцыю па ступенях .

Адказ: .

6. Раскласці функцыю па ступеняз .

Адказ: .

7. Раскласці функцыю па ступенях .

Адказ: .

8. Раскласці функцыю па ступенях .

Адказ: .

  1. Літаратура


  1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М., «Наука», 1980. Т. 2. Гл. 1. § 1, 2.

  2. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. – М., «Просвещение», 1976. Т. 2. Гл. 2. § 10, 11, 12.

  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М., «Высшая школа», 1981. Т. 1. Гл. 4. § 37.

  4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М., «Наука», 1966. Т. 2. Гл. 11. § 3. Гл. 12. § 4.

  5. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М., изд-во Моск. ун-та, 1987. Т. 2. Гл. 2. § 6, 7.

  6. Русак В.Н., Шлома Л.І. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі. – Мн., «Вышэйшая школа», 1991. Т. 2. Гл. 17.



1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Падобныя:

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconС. Б. Пазняк, А. Г. Смалей Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных І мікозных інфекцый сельскагаспадарчай І хатняй жывёлы (вучэбна-метадычны дапаможнік) Гродна 2009
Вучэбна-метадычны дапаможнік/ М.І. Таранда [і інш.]. – Гродна: уа «гдау», 2009. – 236 с

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconПа курсу
Вучэбна-метадычны дапаможнік па курсу «Гісторыя чэшскай літаратуры ІІ паловы ХІХ стагоддзя» / Аўт-склад. А. У. Вострыкава.—Мн.: Ривш,...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconБеларуская дзяржаўная акадэмія мастацтваў Кафедра гуманітарных дысцыплін гісторыя беларусі вучэбна-метадычны дапаможнік для падрыхтоўкі да семінарскіх заняткаў
Кафедра працуе: 00-13. 00, 14. 00-18. 00 Пн-пт (метадыст – Шыркоўская Людміла Мікалаеўна)

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
Дапаможнік складаецца з шасці частак. Кожная частка прысвечана пэўнай тэме І ўтрымлівае ў сціслым выглядзе тэорыю, прыклады падрабязнага...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconНовые поступления в библиотеку литературоведение
Сюжэталогія празаічнага твора : вучэбна-метадычны дапаможнік [для вну] / В. М. Кавальчук; рэц.: Дз. М. Лебядзевіч, А. Г. Ківака;...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны дапаможнік па аднайменнаму курсу для студэнтаў спецыяльнасці 1 21 03 01 01 Гісторыя, 1 02 01 02 04 Гісторыя. Замежная мова Гродна 2006
Гістарыяграфія гісторыі Беларусі: Вучэб метад дапам. / Склад. В. А. Белазаровіч. – Гродна: ГрДУ, 2006. – 309 с

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconАсновы творчай дзейнасці рэдактара вучэбна-метадычны дапаможнік
У сувязі з гэтым ставіцца асноўная метадалагічная задача – выпрацаваць у студэнтаў навыкі творчага падыходу да рэдагавання, якое...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconДзея­слоў. Дзеепрыметнік. Дзеепры­слоўе. Прыслоўе. Бпс. Няпоўна­знамянальныя словы Вучэбна-метадычны дапаможнік Віцебск Выдавецтва уа "вду імя П. М. Машэрава" 2006
Друкуецца па рашэнні навукова-метадычнага савета ўстановы адукацыі “Віцебскі дзяржаўны універсітэт імя П. М. Машэрава”

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconРэкамендавана Метадычнай камісіяй фдп І па бдуір
Беларуская мова: спецыяльная лексіка: Вучэбна-метадычны дапаможнік для студэнтаў усіх форм навучання ўсіх спецыяльнасцей бдуір /...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны комплекс па дысцыпліне "гісторыя беларусі" у дзвюх частках Частка 1 Брэст Брду імя А. С. Пушкіна 2009 удк 94(476)(075)
Гісторыя Беларусі : вучэбна-метадычны комплекс у 2 ч. / Н. П. Галімава [і інш.]; пад агульнай рэд. У. В. Здановіча. – Ч. 1 : – Брэст...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка