Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік




НазваШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
старонка10/11
Дата канвертавання01.12.2012
Памер0.66 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Літаратура


  1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М., «Наука», 1980. Т. 2. Гл. 1. § 1, 2.

  2. Уваренков И.М., Маллер М.З. Курс математического анализа. – М., «Просвещение», 1976. Т. 2. Гл. 2. § 10, 11, 12.

  3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М., «Высшая

школа», 1981. Т. 1. Гл. 4. § 36.

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М., «Наука», 1966. Т. 2. Гл. 12. § 1.

  2. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. – М., изд-во Моск. ун-та, 1987. Т. 2. Гл. 2. § 1– 4.

  3. Русак В.Н., Шлома Л.І. і інш. Курс вышэйшай матэматыкі. – Мн., «Вышэйшая школа», 1991. Т. 2. Гл. 16.


Тэма 6. Ступеневыя шэрагі. Шэраг Тэйлара


Асноўныя азначэнні і тэарэмы
        1. Функцыянальны шэраг выгляду

        2. , (1)


дзе –некаторыя сапраўдныя лікі называецца ступеневым шэрагам.

Падстаноўкай шэраг (1) прывядзем да выгляду

. (2)

Лікі называюцца каэфіцыентамі ступеневага шэрагу.

Тэарэма 1. Калі ступеневы шэраг (2) збягаецца ў пункце , то ен абсалютна збягаецца ва ўсіх пунктах , здавальняючых ўмове . Калі ступеневы шэраг (2) разбягаецца ў пункце , то ен разбягаецца ва ўсіх пунктах x, здавальняючых ўмове .

Тэарэма 2. Няхай ступеневы шэраг (2) збягаецца больш чым ў адным пункце, але не ўсюды. Тады існуе такі лік R>0, што для ўсіх пунктаў x, здавальняючых умове , шэраг (2) абсалютна збягаецца,а для ўсіх пунктаў x, здавальняючых умове , шэраг (2) разбягаецца.

Азначэнне 1. Лік R>0, такі, што для ўсіх пунктаў x, здавальняючых умове , шэраг (2) абсалютна збягаецца,а для ўсіх пунктаў x, здавальняючых умове , шэраг (2) разбягаецца, называецца радыўсам збежнасці ступеневага шэрага (2). Інтэрвал называецца інтэрвалам збежнасці ступеневага шэрага (2).

Тэарэма 3. (Кашы-Адамара). Радыўс збежнасці шэрагу (2) есць велічыня адваротная найбольшаму ліміту , гэта значыць .

Для знаходжання радыўса збежнасці ступеневага шэрагу карыстаюцца наступнымі сцвярджэннямі:

  1. Калі існуе ліміт (канечны або бясконцы) , тады ;

  2. Калі існуе ліміт (канечны або бясконцы) , тады ;

Дамовімся, што R=0, калі шэраг (2) збягаецца толькі ў пункце і R=+∞, калі ен збягаецца на ўсей лікавай прамой, пры гэтым інтарвал збежнасці – гэта інтэрвал .

Такім чынам, абсягам збежнасці ступеневага шэрага могуць быць мноствы: .

Тэарэма 3. Ступеневы шэраг (2) раўнамерна збягаецца на кожным адрэзку, які змяшчаецца ўнутры яго інтэрвала збежнасці.

Тэарэма 4. Ступеневы шэраг (2) можна паскладова інтэграваць на кожным адрэзку, які змяшчаецца ўнутры яго інтэрвала збежнасці. Пры гэтым мае месца роўнасць

,

дзе S(x) – сума шэрага (2), x(-R;R).

Тэарэма 5. Ступеневы шэраг (2) можна паскладова дыферэнцаваць унутры яго інтэрвала збежнасці. Пры гэтым мае месца роўнасць

, (3)

дзе S(x)– сума шэрага (2), x(-R;R).

Сцвярджэнне мае месца і для канца інтэрвала збежнасці, калі ў гэтым канцы шэраг (3) збягаецца. Радыўсы збежнасці шэрагаў (2) і (3) супадаюць.

Азначэнне 2. Гавораць, што ступеневы шэраг (1) збягаецца да функцыі f(x) на інтэрвале (a-r;a+r), калі ен збягаецца ў кожным пункце гэтага інтэрвала і

яго сума роўна f(x). Гэта значыць, мае месца роўнасць

. (4)

Таксама гавораць, што функцыя f(x) раскладаецца ў ступеневы шэраг (1) на інтэрвале (a-r;a+r). Роўнасць (3) называецца раскладам функцыі f(x) у ступеневы шэраг.

Тэарэма 6. Калі на інтэрвале (a-r;a+r) функцыя f(x) раскладаецца ў ступеневы шэраг (1), то гэты расклад адзіны.

Азначэнне 3. Шэрагам Тэйлара функцыі f(x) называецца ступеневы шэраг выгляду

.

Калі , то шэраг Тэйлара называецца шэрагам Макларэна і мае выгляд

.

Тэарэма 7. Калі на інтэрвале (a-r;a+r) функцыя f(x) раскладаецца ў ступеневы шэраг (1), то гэты шэраг з’яўляецца шэрагам Тэйлара.

Тэарэма 8. Няхай функцыя f(x) на (a-r;a+r) дыферэнцавальная адвольную колькасць разоў. Для таго, каб дадзеная функцыя раскладалася у шэраг Тэйлара на гэтым інтэрвале, неабходна і дастаткова, каб для ўсіх пунктаў x з інтэрвала выконвалася ўмова , дзе –ая частковая сума шэрага

Тэйлара фунцыі f(x).

Азначэнне 4. Роўнасць

, (5)

дзе

(6)

называецца формулай Тэйлара , называецца астаткавым членам формулы Тэйлара ў інтэгральнай форме.

Тэарэма 9. Няхай функцыя f(x) дыферэнцавальная адвольную колькасць разоў на(a-r;a+r). Для таго, каб шэраг Тэйлара , састаўлены для функцыі f(x) збягаўся на разглядаемым інтэрвале да функцыі f(x), неабходна і дастаткова, каб выконвалая ўмова , дзе – астаткавы член формулы Тэйлара.

Тэарэма 10. Няхай функцыя f(x) на інтэрвале (a-r;a+r) мае вытворныя любога парадку і усе яны абмежаваны адным і тым жа лікам, гэта значыць існуе лік такі, што для адвольных x(a-r;a+r), n=1,2,…. Тады дадзеная функцыя на інтэрвале (a-r;a+r) раскладаецца ў шэраг Тэйлара.

Пры раскладанні функцый у ступеневыя шэрагі будзем карыстацца наступнымі раскладамі ў шэраг Макларэна функцый:

. (7)

. (8)

. (9)

. (10)

. (11)

. (12)

. (13)

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11

Падобныя:

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconС. Б. Пазняк, А. Г. Смалей Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных І мікозных інфекцый сельскагаспадарчай І хатняй жывёлы (вучэбна-метадычны дапаможнік) Гродна 2009
Вучэбна-метадычны дапаможнік/ М.І. Таранда [і інш.]. – Гродна: уа «гдау», 2009. – 236 с

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconПа курсу
Вучэбна-метадычны дапаможнік па курсу «Гісторыя чэшскай літаратуры ІІ паловы ХІХ стагоддзя» / Аўт-склад. А. У. Вострыкава.—Мн.: Ривш,...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconБеларуская дзяржаўная акадэмія мастацтваў Кафедра гуманітарных дысцыплін гісторыя беларусі вучэбна-метадычны дапаможнік для падрыхтоўкі да семінарскіх заняткаў
Кафедра працуе: 00-13. 00, 14. 00-18. 00 Пн-пт (метадыст – Шыркоўская Людміла Мікалаеўна)

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
Дапаможнік складаецца з шасці частак. Кожная частка прысвечана пэўнай тэме І ўтрымлівае ў сціслым выглядзе тэорыю, прыклады падрабязнага...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconНовые поступления в библиотеку литературоведение
Сюжэталогія празаічнага твора : вучэбна-метадычны дапаможнік [для вну] / В. М. Кавальчук; рэц.: Дз. М. Лебядзевіч, А. Г. Ківака;...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны дапаможнік па аднайменнаму курсу для студэнтаў спецыяльнасці 1 21 03 01 01 Гісторыя, 1 02 01 02 04 Гісторыя. Замежная мова Гродна 2006
Гістарыяграфія гісторыі Беларусі: Вучэб метад дапам. / Склад. В. А. Белазаровіч. – Гродна: ГрДУ, 2006. – 309 с

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconАсновы творчай дзейнасці рэдактара вучэбна-метадычны дапаможнік
У сувязі з гэтым ставіцца асноўная метадалагічная задача – выпрацаваць у студэнтаў навыкі творчага падыходу да рэдагавання, якое...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconДзея­слоў. Дзеепрыметнік. Дзеепры­слоўе. Прыслоўе. Бпс. Няпоўна­знамянальныя словы Вучэбна-метадычны дапаможнік Віцебск Выдавецтва уа "вду імя П. М. Машэрава" 2006
Друкуецца па рашэнні навукова-метадычнага савета ўстановы адукацыі “Віцебскі дзяржаўны універсітэт імя П. М. Машэрава”

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconРэкамендавана Метадычнай камісіяй фдп І па бдуір
Беларуская мова: спецыяльная лексіка: Вучэбна-метадычны дапаможнік для студэнтаў усіх форм навучання ўсіх спецыяльнасцей бдуір /...

Шэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік iconВучэбна-метадычны комплекс па дысцыпліне "гісторыя беларусі" у дзвюх частках Частка 1 Брэст Брду імя А. С. Пушкіна 2009 удк 94(476)(075)
Гісторыя Беларусі : вучэбна-метадычны комплекс у 2 ч. / Н. П. Галімава [і інш.]; пад агульнай рэд. У. В. Здановіча. – Ч. 1 : – Брэст...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка