Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры




НазваВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
старонка3/5
Дата канвертавання01.12.2012
Памер0.62 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5

Пытанні для самоконтролю

1. Дайце азначэнне лімітавага пункта мноства.

2. Дакажыце эквівалентнасць азначэнняў ліміту функцыі паводле Кашы і паводле Гэйне.

3. Вызначыце ліміт функцыі ў пункце на мове наваколляў.

4. Дайце геаметрычнае тлумачэнне канечнага ліміту ў пункце.

5. Прывядзіце прыклады функцый, якія маюць канечны ліміт у пункце.

6. Дакажыце, што функцыя Дырыхле не мае ліміту.

7. Дакажыце, што .

8. Сфармулюйце і дакажыце тэарэмы аб адзінасці ліміту, лакальнай абмежаванасці і ўстойлівасці знака функцыі, якая мае канечны ліміт у пункце.

9. Сфармулюйце і дакажыце тэарэмы аб ліміце сумы, здабытку і дзелі функцый, якія маюць канечны ліміт.

10. Сфармулюйце і дакажыце тэарэмы аб пераходзе да ліміту ў няроўнасцях f(x) ? ?(x) і f(x) ? ?(x) ? ?(x).

11. Сфармулюйце і дакажыце тэарэму аб ліміце складанай функцыі.

12. Сфармулюйце і дакажыце крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту функцыі ў пункце.

13. Чаму роўны ?

14. Сфармулюйце азначэнне бясконца малой функцыі ў дадзеным працэсе.

15. Сфармулюйце асноўныя ўласцівасці бясконца малой функцыі ў дадзеным працэсе і прывядзіце адпаведныя прыклады.

16. Сфармулюйце азначэнне і прывядзіце прыклады эквівалентных бясконца малых функцый ў дадзеным працэсе.

17. Сфармулюйце тэарэму аб скарыстанні эквівалентных бясконца малых функцый ў дадзеным працэсе да вылічэння ліміту.


Прыклады рашэння задач

1. Даказаць, выкарыстоўваючы азначэнне ліміту паводле Кашы, што:

а) ; г) ;

б) ; д) .

в) ;

Рашэнне

а) f(x)=2x+1, D(f)=R, х0=3 — лімітавы пункт мноства D(f).

Зафіксуем адвольны лік ?>0 і пакажам, што знойдзецца лік ?=?(?)>0 такі, што для ўсіх x?D(f), якія задавальняюць умове 0 . Тады для ўсіх x?D(f)\{3}, якія задавальняюць умове ?х–3? выконваецца няроўнасць ?2х+1–7?.

б) f(x)=, D(f)=[–4,+?), х0=5 — лімітавы пункт мноства D(f).

Зададзім адвольны лік ?>0 і пакажам, што існуе лік ?=?(?)>0 такі, што для ўсіх x?D(f)\{5}, якія задавальняюць умове ?x–5?–3?
Разгледзім рознасць: .

Ацэнім зверху выраз . Тады будзем мець . Патрабуем, каб . Тады ў якасці ? можна ўзяць лік 3?. Атрымаем, што для ўсіх x?D(f)\{5}, для якіх выконваецца ?х–5?–3?? — адвольны лік, то .


в) f(x)=, D(f)=R, х0=2 — лімітавы пункт D(f).

Зададзім адвольны лік ?>0 і пакажам, што .

Разгледзім няроўнасць:

.

Ацэнім зверху выраз на мностве U1(2)\{2}. Тады ?х? U1(2)\{2} маем паслядоўна ?х–2?<1, –1.

Запатрабуем, каб . Тады атрымаем, што для ўсіх х?2, якія задавальняюць умовам ??х – 2??<1 i ??x – 2 ??. Таму можна ўзяць ?=min {1, ?}.

г) f(x)=2x2–3x+5, D(f)=R, х0=2 — лімітавы пункт D(f).

Зададзім адвольны лік ?>0 і пакажам, што .

Разгледзім няроўнасць ???2x2 – 3x + 5 – 7 ??=??2x2 – 3x – 2 ??= ??x – 2 ????2x + 1 ?.

Будзем разглядаць толькі тыя х?2, для якіх ?х–2?<1. Тады паслядоўна
–12–3x+5–7???< 7 ?x–2? ?х? U1(2)\{2}. Няхай цяпер 7?x–2? . Тады для ўсіх х?2, якія задавальняюць умовам ?х–2?< i ?x–2?<1 выконваецца няроўнасць ?2x2 – 3x + 5 – 7?}.

д) f(x)=, D(f)=R\{3}, х0=2 — лімітавы пункт D(f).

Зададзім адвольны лік ?>0 і пакажам, што

.

Разгледзім няроўнасць:

. Ацэнім зверху. Паколькі у наваколлі пункту х=3 функцыя неабмежаваная, таму будзем разглядаць гэту функцыю ў такім наваколлі пункту х=2, для якога пункт х=3 не з'яўляецца лімітавым пунктам, напрыклад, . Тады для ?х?\{2} выконваецца паслядоўна , , , . Таму ?х?\{2}

.

Запатрабуем, каб 14??х–2? і ?x?D(f)\{2}, для якіх і выконваецца няроўнасць , таму можна ўзяць ? = min {; }.

2. Высвятліць, для якіх дадатных лікаў ? існуе дадатны лік ?, што з няроўнасці 0, калі .

Рашэнне

Няхай х?1. Разгледзім няроўнасць ?2х–2?. Паколькі х?1, няроўнасць ?2х–2?.

Калі x>1 няроўнасць ?f(х)–2? і гэтае мноства не змяшчае ніякага наваколля пункту х=1, гэта значыць шуканага ? не існуе.

Калі ??1, мноства

змяшчае, напрыклад, -наваколле пункту х=1, гэта значыць, шуканы лік ? існуе (?=). Паколькі не для ўсіх ?>0 існуе патрэбнае ?>0, атрымліваем, што сцвярджэнне няправільна.

3. Даказаць, што не існуе.

Рашэнне

Возьмем дзве паслядоўнасці , n=1,2,… , для якіх .

Адпаведныя паслядоўнасці значэнняў функцыі маюць выгляд

, n=1,2,… ,

, n=1,2,… і . Гэта значыць паслядоўнасці (f(xn) i f(x'n)) маюць розныя ліміты. Таму згодна азначэнню ліміта функцыі ў пункце паводле Гэйне не існуе.

4. Вылічыць ліміты:

а) д)

б) ж)

в) з)

г) е) .

Рашэнне

а) = (згодна тэарэмам аб ліміце дзелі і ліміце мнагасклада) = .

б) (так як згодна азначэнню ліміту функцыі ў пункце, х?2, але х?2) =.

в)

=

=

=.

г)

=

=

=

=.


д)

= ?? =

=.


ж) .

з)

.

е) .


Практыкаванні для самастойнай працы

1. Даказаць, выкарыстоўваючы азначэнне ліміту функцыі ў пункце паводле Кашы, што:

а) ; д) ;

б) ; ж) ;

в) ; з) ;

г) ; е) .

2. Даказаць, што функцыі не маюць ліміту ў дадзеных пунктах:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Вылічыць ліміты:

а) ; (Адказ: )

б) ; (Адказ: )

в) ; (Адказ: )

г) ; (Адказ: 0)

д) ; (Адказ: )

е) ; (Адказ: )

ж) ; (Адказ: )

з) ; (Адказ: )

и) ; (Адказ: )

к) ; (Адказ: 2)

л) ; (Адказ: )

м) ; (Адказ: )

н) ; (Адказ: –3)

о*) ; (Адказ: )

п) ; (Адказ: )

р) ; (Адказ: 4)

с) ; (Адказ: cos a)

т) ; (Адказ: 1)

у) ; (Адказ: –1)

ф*) ; (Адказ: –24)


х*) ; (Адказ: )

ц) ; (Адказ: 0)

ч*) ; (Адказ: )

ш) ; (Адказ: )

э) ; (Адказ: )


Літаратура

1. Бохан К. А., Егорова И.А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. М., 1971. Т. 1. Гл. 3. § 6.

2. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., 1982. Ч. 1. Гл. 3. § 3.

3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М., 1978. Гл. 3. § 4, п. 1 – 4.

4. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. М., 1970. Т. 1. Гл. 1. § 4,
п. 4.4 – 4.6.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1948. Т. 1. Гл. 2. § 2, п. 52 – 59.


ТЭМА 5. КАНЕЧНЫЯ ЛІМІТЫ ФУНКЦЫІ НА БЯСКОНЦАСЦІ.

БЯСКОНЦЫЯ ЛІМІТЫ


Асноўныя азначэнні і тэарэмы

Наваколлі пункта x0 і сімвалаў +?, –?, ?:

Няхай ?>0. U?(x0)={x?R? ?x–x0?0?R, ці U?(x0)=(x0–?, x0+?);

U?(+?)=(?,+?),

U?(–?)=(–?,?)

U?(?)=(–?,–?) (?,+?)={x?R? ?x?>?}

Азначэнне 1. Пункт x0 пашыранай лікавай прамой {+?, –?, ?} называецца лімітавым пунктам мноства Е?R, калі ў любым ?–наваколлі гэтага пункту змяшчаецца бясконцае мноства пунктаў з Е (гэта азначае, што пры любым ?>0 мноства ЕU?(x0) бясконцае). У прыватнасці, лімітавы пункт x0?R (адпаведна x0=?) мноства Е?R называецца двухбаковым лімітавым пунктам гэтага мноства, калі пры любым ?>0 кожнае з мностваў Е(x0–?, x0) і Е(x0, x0+?) (адпаведна Е(–?,–?) і Е(?,+?)) бясконцыя.


Азначэнне 2. Лік А называецца лімітам функцыі f(x), пры ўмове, што х??, калі:

1) ? – лімітавы пункт мноства Df ;

2) для любога ?>0 існуе адпаведны яму дадатны лік ? такі, што для ўсіх значэнняў аргумента х, якія задавальняюць умове ?х?>? выконваецца няроўнасць ?f(х)–A?
У дадзеным выпадку пішуць і



Аналагічна вызначаюцца ліміты , :



.



.

Існуе тры віды бясконцых лімітаў функцыі f(x) у канечным пункце і 9 відаў бясконых лімітаў на бясконцасці. Вызначым некаторыя з іх.



.



.

1   2   3   4   5

Падобныя:

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПрапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы
У дапаможнiку ў сцiслым выглядзе размешчаны неабходныя тэарэтычныя звесткi I пытаннi для самакантроля, вельмi падрабязна праведзены...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconДапаможнік прызначаны для студэнтаў завочнага аддзялення матэматычнага факультэта спецыяльнасці 1-02 05 03 "Матэматыка". Яно напісана ў адпаведнасці з
Матэматыка”. Яно напісана ў адпаведнасці з дзейнічаючай тыпавой праграмай курса “Элементарная матэматыка з практыкумам па рашэнню...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconГісторыя знешняй палітыкі Беларусі Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасцях
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПравапіс літар е, ё, я
Беларуская мова. Практычны дапаможнік” падрыхтаваны ў адпаведнасці з патрабаваннямі “Праграмы па беларускай мове для медыцынскіх...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconЗнешняя палітыка Рэспублікі Беларусь Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасці
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconМ I н I стэрства аховы здароўя рэспубл I к I беларусь
Зацвердзiць Iнструкцыю аб прадстаўленнi акадэмiчных адпачынкаў студэнтам вышэйшых навучальных устаноў, навучэнцам сярэднiх спецыяльных...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconС. Б. Пазняк, А. Г. Смалей Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных І мікозных інфекцый сельскагаспадарчай І хатняй жывёлы (вучэбна-метадычны дапаможнік) Гродна 2009
Вучэбна-метадычны дапаможнік/ М.І. Таранда [і інш.]. – Гродна: уа «гдау», 2009. – 236 с

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПалажэнне аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучаль ных устаноў) Рэспублікі Беларусь глава I агульныя палажэнні
Аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучальных устаноў) Рэспублікі Беларусь

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconЗмест ад аўтараў Уводзіны Раздзел I. Савецкі Саюз І краіны свету напярэдадні І ў пачатку Другой сусветнай вайны
Вучэбны дапаможнік для студэнтаў вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка