Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры




НазваВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
старонка2/5
Дата канвертавання01.12.2012
Памер0.62 Mb.
ТыпДокументы
1   2   3   4   5

Прыклады рашэння задач

1. Даказаць, што:

а) .

Рашэнне

Зададзім адвольны лік ?>0 і пакажам, што знойдзецца N(?)?N такі, што для ўсіх натуральных n>N(?) выконваецца няроўнасць (1)

Маем ?n?N .

Патрабуем, каб , гэта значыць n>2?. Для ўсіх n?N, якія задавальняюць гэтай няроўнасці, выконваецца няроўнасць (1). Значыць у якасці шукаемага N(?)?N можна ўзяць N(?)=[2?]. Паколькі

?n>?(?) ? n>2? ? ;

б) .

Рашэнне

Возьмем ??>0. Разгледзім няроўнасць

. (2)

Заўважым, што

. (3)

Разгледзім няроўнасць

.

Возьмем які-нібудзь натуральны лік ?(?)=[]. Тады ?n>?(?) будзе выконвацца:

.

Значыць ??>0 ? ?(?), ?(?)=[], што ?n>?(?) ? ? .

2. Пры дапамозе тэарэмы аб ліміце прамежкавай паслядоўнасці даказаць збежнасць паслядоўнасці (хn), дзе:

а) .

Рашэнне

Заўважым, што



?N.

Паколькі і , то , і паслядоўнасць
n) – збежная;

б) .

Рашэнне

Заўважым, што . Тады .

Паколькі і , то , і паслядоўнасць
n) – збежная.

3. Вылічыць:

а) , паколькі , , .

б)

в) .

Разгледзім паслядоўнасці (xn), (yn), дзе і yn=cos n! .

. Гэта азначае, што (xn) – бясконца малая паслядоўнасць.
(yn) – абмежаваная, паколькі ?n?N ?yn?<1. Па тэарэме аб здабытку бясконца малой паслядоўнасці на абмежаваную атрымаем, што .

г)

.

д)



.

4. Знайсці ліміт паслядоўнасці 0,2; 0,23; 0,233; 0,2333; …

Рашэнне

ці .



.

е)

.

ж)

– геаметрычная прагрэсія. Скарыстаем формулу сумы геаметрычнай прагрэсіі: .

Тады .

з)

Заўважым, што





.


Практыкаванні для самастойнай працы

1. Даказаць пры дапамозе азначэння бясконца вялікай паслядоўнасці:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

2. Пры дапамозе тэарэмы аб ліміце прамежкавай паслядоўнасці даказаць збежнасць паслядоўнасцей (xn), дзе:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

3. Вылічыць:

а) ; (Адказ: 3)

б) ; (Адказ: –2)

в) ; (Адказ: 0)

г) ; (Адказ: ?)

д) ; (Адказ:)

е) ; (Адказ: )

ж) ; (Адказ: )

з) ; (Адказ: 0)

и) ; (Адказ: 0)

к) ; (Адказ: 0)

л) ; (Адказ: 0)

м) ; (Адказ: 0)

н) ; (Адказ: )

о) ; (Адказ: 1)

п) ; (Адказ: ?)

р) ; (Адказ: ?)

с) ; (Адказ: )

т) ; (Адказ: )

у) ; (Адказ: –7)

ф) ; (Адказ: 1)

х) ; (Адказ: 0)

ц) ; (Адказ: )

ч) ; (Адказ: е–1)

ш) . (Адказ: 0)

4. Няхай . Ці могуць у гэтай паслядоўнасці:

а) быць члены, большыя за 1010;

б) усе члены быць адмоўнымі;

в) усе члены быць большыя за 10-10?

5. Даказаць, што:

а) ;

б) ;

в) .

6. Пабудаваць графік функцыі:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .


Літаратура

1. Бохан К. А., Егорова И.А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. М., 1971. Т. 1. Гл. 3. § 2 – 5.

2. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., 1982. Ч. 1. Гл. 3. § 1, п. 3 – 4; §2, п. 1 – 3.

3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М., 1978. Гл. 3. § 1.

4. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. М., 1970. Т. 1. Гл. 1. § 3,
п. 3.4, 3.5.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1948. Т. 1. Гл. 1. § 1, п. 24, 27; § 2, п. 28 – 32.


ТЭМА 3. ЗБЕЖНАСЦЬ МАНАТОННАЙ ПАСЛЯДОЎНАСЦІ


Асноўныя азначэнні і тэарэмы

Азначэнне 1. Паслядоўнасць (хn) называецца:

нарастальнай, калі ?n?N хnn+1 ;

спадальнай, калі ?n?N хnn+1 ;

неспадальнай, калі ?n?N хnn+1 ;

ненарастальнай, калі ?n?N хnn+1 .

Азначэнне 2. Паслядоўнасць называецца строга манатоннай, калі яна з'яўляецца ці нарастальнай, ці спадальнай.

Паслядоўнасць называецца манатоннай, калі яна з'яўляецца ці ненарастальнай, ці неспадальнай.

Тэарэма 1. Калі неспадальная паслядоўнасць (хn) неабмежаваная зверху, то .

Калі ненарастальная паслядоўнасць (хn) неабмежаваная знізу, то .

Тэарэма 2. Калі неспадальная паслядоўнасць абмежаваная зверху, то яна мае канечны ліміт.

Калі ненарастальная паслядоўнасць неабмежаваная знізу, то яна мае канечны ліміт.


Пытанні для самакантролю

1. Сфармулюйце:

а) азначэнне манатоннай і строга манатоннай паслядоўнасці;

б) прымету збежнасці манатоннай паслядоўнасці.

2. Дакажыце тэарэмы 1 і 2.

3. Ці з'яўляецца абмежаванасць паслядоўнасці неабходнай і дастатковай умовай збежнасці:

а) манатоннай паслядоўнасці;

б) адвольнай паслядоўнасці?


Прыклады рашэння задач

1. Даказаць, што паслядоўнасць (хn), дзе збягаецца, і знайсці яе ліміт.

Рашэнне

Дакажам, па-першае, што паслядоўнасць манатонная. Сапраўды, . Пагэтаму .
Адсюль вынікае, што ?n?N хn+1n. Гэта значыць, паслядоўнасць хn спадае.

Не цяжка заўважыць, што хn>0 ?n?N. Значыць, дадзеная паслядоўнасць спадае і абмежаваная знізу. Па тэарэме 2 яна мае канечны ліміт.

Вылічым яго. Паколькі , то

. Значыць, .


2. Даказаць, што паслядоўнасць

збягаецца. Знайсці яе ліміт.

Рашэнне

Відавочна, што дадзеная паслядоўнасць нарастальная. Дакажам, што яна абмежаваная зверху.

Заўважым, што . Метадам матэматычнай індукцыі дакажам, што xn<2 ?n?N. Сапраўды, . Дапусцім, што выконваецца няроўнасць . Дакажам, што xk+1<2:

.

Тады , згодна метаду матэматычнай індукціі, xn<2 ?n?N.

Атрымалі, што паслядоўнасць нарастальная і абмежаваная зверху. Пагэтаму, яна мае канечны ліміт. Няхай

. (1)

Тады .

У апошняй роўнасці перайдзем да ліміту.

.

Значыць, .


Практыкаванні для самастойнай працы

1. Даказаць, што паслядоўнасць (xn) збягаецца. Няхай:

а) ;

б) ;

в)

(выкарыстаць няроўнасць ).

2. Даказаць, што паслядоўнасць

… a>0 збягаецца. Знайсці яе ліміт.

3. Даказаць, што існуе ліміт паслядоўнасці (xn), дзе .


Літаратура

1. Бохан К. А., Егорова И.А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. М., 1971. Т. 1. Гл. 3. § 6.

2. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. М., 1982. Ч. 1. Гл. 3. § 3.

3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М., 1978. Гл. 3. § 2, п. 1 – 4.

4. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. М., 1970. Т. 1. Гл. 1. § 3,
п. 3.2.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1948. Т. 1. Гл. 1. § 3, п. 34 – 35.


ТЭМА 4. КАНЕЧНЫ ЛІМІТ ФУНКЦЫІ Ў КАНЕЧНЫМ ПУНКЦЕ


Асноўныя азначэнні і тэарэмы

Азначэнне 1 (азначэнне ліміту функцыі паводле Кашы ці на мове ?–?).

Лік А?R называецца лімітам функцыі f(x) у пункце х0?R (ці калі х?х0), калі выконваюцца дзве умовы:

1) х0 — лімітавы пункт Df;

2) для любога дадатнага ліку ? знойдзецца адпаведны яму дадатны лік ? такі, што для ўсіх значэнняў аргумента х, якія задавальняюць умове
00?
Калі А з'яуляецца лімітам функцыі f(x) у пункце х0, то пішуць: ці f(x)?А, пры ўмове, што х?х0.

Гэта азначэнне можна запісаць наступным чынам:

1. х0 — лімітавы пункт Df;



Азначэнне 1' (азначэнне ліміту функцыі паводле Гэйне).

Лік А?R называецца лімітам функцыі f(x) у пункце х0?R (ці калі х?х0), калі выконваюцца дзве ўмовы:

1) х0 — лімітавы пункт Df;

2) для любой паслядоўнасці значэнняў аргумента (хn), якая збягаецца да х0 і складаецца з хn, якія адрозніваюцца ад х0, адпаведная паслядоўнасць значэнняў функцый (f(хn)) збягаецца да ліку А.

1   2   3   4   5

Падобныя:

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПрапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы
У дапаможнiку ў сцiслым выглядзе размешчаны неабходныя тэарэтычныя звесткi I пытаннi для самакантроля, вельмi падрабязна праведзены...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconДапаможнік прызначаны для студэнтаў завочнага аддзялення матэматычнага факультэта спецыяльнасці 1-02 05 03 "Матэматыка". Яно напісана ў адпаведнасці з
Матэматыка”. Яно напісана ў адпаведнасці з дзейнічаючай тыпавой праграмай курса “Элементарная матэматыка з практыкумам па рашэнню...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconГісторыя знешняй палітыкі Беларусі Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасцях
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПравапіс літар е, ё, я
Беларуская мова. Практычны дапаможнік” падрыхтаваны ў адпаведнасці з патрабаваннямі “Праграмы па беларускай мове для медыцынскіх...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconЗнешняя палітыка Рэспублікі Беларусь Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасці
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconМ I н I стэрства аховы здароўя рэспубл I к I беларусь
Зацвердзiць Iнструкцыю аб прадстаўленнi акадэмiчных адпачынкаў студэнтам вышэйшых навучальных устаноў, навучэнцам сярэднiх спецыяльных...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconС. Б. Пазняк, А. Г. Смалей Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных І мікозных інфекцый сельскагаспадарчай І хатняй жывёлы (вучэбна-метадычны дапаможнік) Гродна 2009
Вучэбна-метадычны дапаможнік/ М.І. Таранда [і інш.]. – Гродна: уа «гдау», 2009. – 236 с

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПалажэнне аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучаль ных устаноў) Рэспублікі Беларусь глава I агульныя палажэнні
Аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучальных устаноў) Рэспублікі Беларусь

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconЗмест ад аўтараў Уводзіны Раздзел I. Савецкі Саюз І краіны свету напярэдадні І ў пачатку Другой сусветнай вайны
Вучэбны дапаможнік для студэнтаў вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка