Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры




НазваВучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры
старонка1/5
Дата канвертавання01.12.2012
Памер0.62 Mb.
ТыпДокументы
  1   2   3   4   5





Прадмова


Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы і пры падрыхтоўцы лабараторных і практычных заняткаў па тэме "Ліміт паслядоўнасці. Ліміт функцыі".

Дапаможнік складаецца з шасці частак. Кожная частка прысвечана пэўнай тэме і ўтрымлівае ў сціслым выглядзе тэорыю, прыклады падрабязнага рашэння задач, пытанні для самакантролю, практыкаванні для самастойнай працы з адказамі. Напрыканцы кожнай часткі дапаможніка прапануецца спіс літаратуры па тэме.

Выданне можа выкарыстоўвацца студэнтамі-завочнікамі і выкладчыкамі пры правядзенні лабараторных і практычных заняткаў.

ТЭМА 1. ЛІКАВАЯ ПАСЛЯДОЎНАСЦЬ І ЯЕ ЎЛАСЦІВАСЦІ.

ЛІМІТ ЛІКАВАЙ ПАСЛЯДОЎНАСЦІ


Асноўныя азначэнні і тэарэмы

Азначэнне 1. Паслядоўнасць (хn) называецца абмежаванай зверху (знізу), калі існуе такі лік ? (m), што хn?? (хn?m) ?n?N.

Азначэнне 2. Паслядоўнасць (хn) называецца абмежаванай, калі яна абмежаваная і зверху, і знізу, гэта значыць, калі ? ?*>0? ?хn?? ?*, ?n?N.

Сімвалічна пішуць: (хn) абмежаваная ? (? ?*>0) (?n?N) ??хn?? ?*?.

Азначэнне 3. Калі паслядоўнасць не з'яўляецца абмежаванай, то яна называецца неабмежаванай.

Азначэнне 4. Лік а называецца лімітам лікавай паслядоўнасці (хn), калі для любога сапраўднага ?>0 існуе такі нумар N залежны ад ?, што для ўсіх нумароў n>?(?) выконваецца няроўнасць ?хn – а?< ?.

Сімвалічна пішуць:

? (??>0) (? N=N(?)?N) (?n?N) ?n>N(?) ? ?хn – a?< ?*?.

Азначэнне 5. Калі паслядоўнасць (хn) мае канечны ліміт, то яна называецца збежнай, калі яна не з'яўляецца збежнай, то называецца разбежнай.

Тэарэма 1. Збежная паслядоўнасць мае толькі адзін ліміт.

Тэарэма 2. Збежная паслядоўнасць з'яўляецца абмежаванай.


Пытанні для самакантролю

1. Што называецца лікавай паслядоўнасцю? Якімі спосабамі яна можа быць зададзена?

2. Дайце геаметрычную інтэрпрэтацыю азначэння ліміта лікавай паслядоўнасці.

3. Сфармулюйце на мове "? – n" сцвярджэнне:

а) "лік а з'яўляецца лімітам паслядоўнасці (хn)";

б) "паслядоўнасць (хn) не мае ліміта".

4. Ці эквівалентна азначэнне ліміта лікавай паслядоўнасці такому азначэнню: ", калі ??>0 ? k>0, k?R такі, что ?n>k ?хn – а?
5. Пакажыце на прыкладзе, што нумар N, які фігуруе ў азначэнні ліміта лікавай паслядоўнасці, залежыць, наогул кажучы, ад ?.

6. Няхай паслядоўнасць (хn) і лік а здавальняюць умове:

"? N такі, што ??>0 і ?n>N ? ?хn – а?
Ці ўсякая збежная да а паслядоўнасць здавальняе такой умове? Якая геаметрычная інтэрпрэтацыя такой умовы?

7. Няхай .

а) Ці могуць усе члены паслядоўнасці быць дадатнымі (адмоўнымі), калі а=0?

б) Ці можа паслядоўнасць мець бясконца многа адмоўных членаў (роўных нулю), калі а>0; a?0?

в) Дакажыце, што (хn) – абмежаваная.

8. Няхай у некаторым наваколлі пункту а змяшчаецца бясконца многа членаў паслядоўнасці (хn). Ці вынікае з гэтай умовы, што:

а) ;

б) ніякі пункт па-за гэтай акругай не з'яўляецца лімітам паслядоўнасці (хn);

в) (хn) – абмежаваная?

9. Няхай у любым наваколлі пункту а змяшчаецца бясконца многа членаў паслядоўнасці (хn). Ці вынікае адсюль, што:

а) ; б) (хn) – абмежаваная?

10. Няхай паслядоўнасць (хn) з'яўляецца абмежаванай (неабмежаванай). Ці вынікае з гэтай умовы, што яна збягаецца (разбягаецца)?


Прыклады рашэння задач

1. Даказаць пры дапамозе азначэння ліміта лікавай паслядоўнасці, што:

а) . Пачынаючы з якога нумара n велічыня ;

б) .

Рашэнне

а) Возьмем адвольны ?>0. Трэба даказаць, што існуе такі нумар N(?), што для ўсіх нумароў n>N(?) будзе выконвацца няроўнасць .

Зауважым, што ? ? ? ? . (1)

Разгледзім нумар N(?). Гэты нумар і будзе шукаемы, паколькі ?n>N(?) атрымаем . Значыць

(??>0) (? N(?) (N(?))) .

Гэта значыць .

Паколькі N(?), то пры ?=0,01 будзем мець, што N(?) ? N(?)=399. Значыць, ужо пачынаючы з n=400, велічыня .


б) Возьмем адвольны ?>0. Трэба адшукаць нумар N(?) такі, што ?n>N(?) выконваецца .

Разгледзім няроўнасць

? ?

? при ? n>3. (2)

Заўважым, што (3)

Разгледзім сістэму няроўнасцей

. (4)

Нумар N(?)= будзе шукаемы, паколькі ?n>N(?) ? n> . Атрымалі:

(??>0) (? N(?) (N(?)=)).

Гэта значыць, што .

2. Даказаць, што .

Рашэнне

I спосаб

азначае, што ? ?0>0 такі, што ?? ? n>? ? ?xn–a???0 . Значыць ? ? ?0>0 такі, што ?? ? n>? ? .

Разгледзім выраз

(5)

Разгледзім . Тады на падставе (5) можам сцвярджаць, што пры ?n.

II спосаб

Дапусцім процілеглае. Няхай . Тады (??>0) (? N(?))

.

Няхай . Тады n<–4, што супярэчыць таму, што n??.
Тады .

3. Даказаць, што паслядоўнасць (xn), дзе , абмежаваная.

Рашэнне

Трэба даказаць, што існуе такі лік ?>0, што ?n выконваецца ??хn ???. Маем

?n. Адсюль вынікае, ? ?=2 такі, што для ?n выконваецца ??xn ??? 2. Значыць дадзеная паслядоўнасць абмежаваная.


Практыкаванні для самастойнай працы

1. Напішыце 5 першых членаў кожнай з наступных паслядоўнасцей (xn), для якіх:

а) ; б) ; в) ;

г) x1=1, xn=xn-1+2, пры n>1;

д)

2. Для кожнага ?>0 вызначыце нумар N(?) такі, што для ?n>N(?) ?
?xn – a?
а) , а=0;

б) , а= –1;

в) , а=1.

3. Няхай , n??. Знайдзіце лік N(?)?? такі, што для ?n>N(?) выконваецца ??xn – 1??
а) ?=0,01; б) ?=0,001.

4. Дакажыце, што:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

5. Дакажыце, што:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

6. Няхай . Выявіць на каардынатнай прамой першыя восем членаў паслядоўнасці (xn). Рашыць няроўнасць ??xn – 2??< ?, калі ?=0,01; 0,00001.
Ці правільна, што для ??>0 можна знайсці такі натуральны N(?), што для ўсіх n>N(?) выконваецца ??xn – 2?
7. Пры якіх n справядлівая няроўнасць ??xn–а?<0,2, дзе а=0, а паслядоўнасць (xn) мае выгляд .

Знайдзіце такі натуральны N(?), што для ўсіх n>N(?) выконваецца няроўнасць ??xn – 0?<0,2. Для адвольнага ?>0 указаць такі натуральны лік N(?), каб няроўнасць ??xn – а?N(?).

8. Няхай . Прывесці прыклад наваколля пункта x=–1, у якое пападуць:

а) усе члены паслядоўнасці (xn);

б) усе члены паслядоўнасці (xn) з нумарамі, большымі за 10.

Ці вынікае з такіх прыкладаў, што ?

Ці верна, што ў 0,1-наваколле пункта x= –1 :

а) пападзе бясконца многа членаў паслядоўнасці (xn);

б) пападуць усе члены паслядоўнасці (xn), пачынаючы з некаторага нумара?

9. Ці з'яўляюцца абмежаванымі паслядоўнасці:

а) , n=1, 2,…;

б) xn=2n, n=1, 2,…;

в) xn=ln n, n=1, 2,…;

г) xn=sin n, n=1, 2,…;

д) (xn): 1; 0; 2; 0; 3; 0; 4; 0; … ;

е) , n=1, 2,… ?

10. Няхай . Дакажыце, што .

11. Прывядзіце прыклад абмежаваных паслядоўнасцей (xn) і (yn), кожная з якіх мае ліміт і:

а) сума іх мае ліміт;

б) рознасць іх мае ліміт;

в) здабытак іх мае ліміт.

Літаратура

1. Бохан К. А., Егорова И.А., Лащенов К. В. Курс математического анализа. М., 1971. Т. I. Гл. 3. § 1.

2. Ильин В. А., Позняк Э.Г.. Основы математического анализа. М., 1982. Ч I. Гл. 3. § 1, п. 1 – 2.

3. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Бл. Х. Математический анализ. М., 1978. Гл. 3. § 1.

4. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. М., 1970. Т. 1. Гл. 1. § 3,
п. 3.1.

5. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М., 1948. Т. 1. Гл. 1. § 1, п. 22 – 23.


ТЭМА 2. БЯСКОНЦА МАЛЫЯ І БЯСКОНЦА ВЯЛІКІЯ ПАСЛЯДОЎНАСЦІ.

ВЫЛІЧЭННЕ ЛІМІТАЎ ЛІКАВЫХ ПАСЛЯДОЎНАСЦЕЙ


Асноўныя азначэнні і тэарэмы

Азначэнне 1. Паслядоўнасць (хn) называецца бясконца малой паслядоўнасцю, калі .

Азначэнне 2. Паслядоўнасць (хn) называецца бясконца вялікай паслядоўнасцю, калі (??>0) (? N(?)??) (?n?N) [n>N(?) ? ??xn ??>?], гэта значыць .

Тэарэма 1. Няхай (хn) – лікавая паслядоўнасць і хn?0 ?n.

Калі (хn) – бясконца малая паслядоўнасць , то – бясконца вялікая паслядоўнасць.

Калі (хn) – бясконца вялікая паслядоўнасць, то – бясконца малая паслядоўнасць.

Тэарэма 2. Сума, рознасць дзвух бясконца малых паслядоўнасцей з'яўляецца бясконца малай паслядоўнасцю.

Тэарэма 3. Здабытак бясконца малай паслядоўнасці на абмежаваную з'яўляецца бясконца малай паслядоўнасцю .

Тэарэма 4. Калі паслядоўнасці (хn) і (yn) – збежныя, то іх сума, рознасць, здабытак, дзель таксама збежныя паслядоўнасці, прычым

,

,

.

Калі (хn) – збежная паслядоўнасць, с?R, то паслядоўнасць (схn) таксама збежная, прычым .

Тэарэма 5. Калі паслядоўнасць (хn) – збежная і пачынаючы з некаторага нумара хn ? b (хn ? b), то ().

Тэарэма 6. Няхай (хn), (yn), (zn) – лікавыя паслядоўнасці, для якіх з некаторага нумара выконваецца няроўнасць хn ? yn ? zn.

Калі паслядоўнасці (хn) і (zn) маюць ліміт а, то паслядоўнасць (yn) таксама мае ліміт, раўны а .


Пытанні для самакантролю

1. Дайце азначэнне сумы, здабытку, дзелі дзвух паслядоўнасцей.

2. Сфармулюйце азначэнне бясконца малой паслядоўнасці на мове "?–n".

3. Няхай бясконцая колькасць членаў паслядоўнасці знаходзіцца:

а) у любым наваколлі нуля;

б) за межамі любога наваколля нуля.

Ці вынікае з умовы а) ( б)), што паслядоўнасць з'яўляецца:

1) бясконца малой;

2) бясконца вялікай;

3) абмежаванай;

4) неабмежаванай?

Ці вынікае з умовы а) ( б)), што паслядоўнасць не з'яўляецца:

1) бясконца малой;

2) бясконца вялікай?

4. Ці з'яўляецца бясконца малая паслядоўнасць абмежаванай?

5. Ці з'яўляецца бясконца вялікая паслядоўнасць неабмежаванай; збежнай?

6. Ці з'яўляецца любая неабмежаваная паслядоўнасць бясконца вялікай?

7. Няхай паслядоўнасць (хn + yn) – збягаецца. Ці вынікае з гэтага, што (хn) і (yn) збягаюцца?

8. Няхай . Дакажыце, што хn можна прадставіць у выглядзе хn=а+?n , дзе (?n) – бясконца малая паслядоўнасць.

9. Няхай і ?n хn >b. Ці вынікае адсюль, што:

а) a>b;

б) a?b?

10. а) Вядома, што (хn) – збежная, а (yn) – разбежная лікавыя паслядоўнасці. Ці можа паслядоўнасць (хn? yn) быць збежнай; разбежнай?

б) Вядома, што (хn), (yn) – разбежныя. Ці могуць паслядоўнасці (хn+ yn), (хn? yn) быць збежнымі; разбежнымі?

11. Дакажыце тэарэму аб ліміце сумы, здабытку дзвух збежных паслядоўнасцей.

12. Дакажыце тэарэму аб сувязі бясконца малой і бясконца вялікай паслядоўнасцей.

13. Дакажыце тэарэму аб здабытку бясконца малой паслядоўнасці на абмежаваную.

14. Дакажыце тэарэму аб ліміце прамежкавай паслядоўнасці.

  1   2   3   4   5

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconШэрагі Вучэбна-метадычны дапаможнік
Прапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПрапанаваны вучэбна-метадычны дапаможнiк прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навуковых устаноў для арганiзацыi самастойнай працы
У дапаможнiку ў сцiслым выглядзе размешчаны неабходныя тэарэтычныя звесткi I пытаннi для самакантроля, вельмi падрабязна праведзены...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconДапаможнік прызначаны для студэнтаў завочнага аддзялення матэматычнага факультэта спецыяльнасці 1-02 05 03 "Матэматыка". Яно напісана ў адпаведнасці з
Матэматыка”. Яно напісана ў адпаведнасці з дзейнічаючай тыпавой праграмай курса “Элементарная матэматыка з практыкумам па рашэнню...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconГісторыя знешняй палітыкі Беларусі Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасцях
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПравапіс літар е, ё, я
Беларуская мова. Практычны дапаможнік” падрыхтаваны ў адпаведнасці з патрабаваннямі “Праграмы па беларускай мове для медыцынскіх...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconЗнешняя палітыка Рэспублікі Беларусь Тыпавая вучэбная праграма для вышэйшых навучальных устаноў па спецыяльнасці
Старшыня Вучэбна-метадычнага аб’яднання вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь па гуманітарнай адукацыі

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconМ I н I стэрства аховы здароўя рэспубл I к I беларусь
Зацвердзiць Iнструкцыю аб прадстаўленнi акадэмiчных адпачынкаў студэнтам вышэйшых навучальных устаноў, навучэнцам сярэднiх спецыяльных...

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconС. Б. Пазняк, А. Г. Смалей Лабараторная дыягностыка бактэрыяльных І мікозных інфекцый сельскагаспадарчай І хатняй жывёлы (вучэбна-метадычны дапаможнік) Гродна 2009
Вучэбна-метадычны дапаможнік/ М.І. Таранда [і інш.]. – Гродна: уа «гдау», 2009. – 236 с

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconПалажэнне аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучаль ных устаноў) Рэспублікі Беларусь глава I агульныя палажэнні
Аб атэстацыі педагагічных работнікаў сістэмы адукацыі (акрамя вышэйшых навучальных устаноў) Рэспублікі Беларусь

Вучэбна-метадычны дапаможнік прызначаны студэнтам матэматычных факультэтаў педагагічных вышэйшых навучальных устаноў для арганізацыі самастойнай працы І пры iconЗмест ад аўтараў Уводзіны Раздзел I. Савецкі Саюз І краіны свету напярэдадні І ў пачатку Другой сусветнай вайны
Вучэбны дапаможнік для студэнтаў вышэйшых навучальных устаноў Рэспублікі Беларусь

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка