Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка




НазваБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка
старонка1/6
Дата канвертавання30.10.2012
Памер0.87 Mb.
ТыпДокументы
  1   2   3   4   5   6
Міністэрства адукацыі Рэспублікі Беларусь


Установа адукацыі

«Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт

імя Максіма Танка»


У. А. Шылінец


ШЭРАГІ


      1. Электронны вучэбны дапаможнік


для студэнтаў завочнай формы навучання



      1. Мінск 2011




ЗМЕСТ


§ 1. Лікавы шэраг і яго сума. Уласцівасці збежных шэрагаў......... 3

§ 2. Дадатныя шэрагі ………………………...................................... 11

§ 3. Знакачаргавальныя шэрагі. Абсалютна і ўмоўна

збежныя шэрагі ………………………………………………. 20

§ 4. Функцыйны шэраг і абсяг яго збежнасці ………………….. .. 26

§ 5. Раўнамерная збежнасць функцыйных шэрагаў..................... 38

§ 6. Ступеневыя шэрагі.................................................................... 48

§7. Раскладанне функцый у ступеневыя шэрагі........................... 55

§ 8. Дастасаванні шэрагаў.......................................................... 63

Літаратура .................................................................................... 71


§ 1. Лікавы шэраг і яго сума. Уласцівасці збежных шэрагаў

Няхай дадзена лікавая паслядоўнасць

а1, а2, а3, аn, .

З элементаў гэтай паслядоўнасці фармальна складзём наступны выраз:

а1+а2+а3++аn+… . (1)

Дадзены выраз называецца лікавым шэрагам або проста шэрагам. Лікі а1, а2 … аn, … называюцца складнікамі шэрагу; n-ы складнік называецца таксама агульным складнікам шэрагу.

Шэраг (1) абазначаецца таксама наступным чынам:

. (1')

Вызначым паняцце сумы шэрагу. Спачатку разгледзім наступныя сумы:

S1=а1,

S2=а1+а2,

S3=а1+а2,+а3,

…………

Sn=а1+а2+а3++аn,

………….

Гэтыя сумы называюцца частковымі сумамі шэрагу (1). Яны ўтвараюць паслядоўнасць (Sn) частковых сум лікавага шэрагу (1).

Азначэнне 1. Калі паслядоўнасць частковых сум шэрагу збягаецца, то шэраг называецца збежным, а лік



называецца сумай дадзенага шэрагу. Пры гэтым запісваюць так:

Sn=а1+а2+а3+ … +аn+… або .

Такім чынам, сімвалам (1') абазначаецца як сам шэраг, так і
(у выпадку збежнасці) яго сума.

Калі паслядоўнасць частковых сум шэрагу разбягаецца, то шэраг называецца разбежным.

Адзначым, што разбежнасць шэрагу можа быць двух тыпаў:

  1. калі паслядоўнасць частковых сум (Sn) мае бясконцы ліміт;

  2. калі паслядоўнасць (Sn) не мае ні канечнага, ні бясконцага лімітаў.

Азначэнне 2. Шэраг

, (2)

атрыманы з шэрагу (1) адкідваннем першых яго n складнікаў, называецца астачай шэрагу (1) пасля n–га складніка.

Калі суму астачы збежнага шэрагу абазначыць праз Rn, то

Sn+Rn=S.

Маюць места наступныя тэарэмы.

Тэарэма 1. Калі шэраг

а1+а2+а3+ … +аn+ …

збягаецца і мае суму S, то шэраг

са1+са2+са3+ … +саn+ …

таксама збягаецца і мае суму с S (с –– рэчаісны лік).

Тэарэма 2. Множанне складнікаў разбежнага шэрагу на лік не парушае яго разбежнасці.

Тэарэма 3 (неабходная прымета збежнасці шэрагу). Калі шэраг (1) збягаецца, то яго агульны складнік імкнецца да нуля:

.

Адсюль вынікае, што калі агульны складнік шэрагу не імкнецца да нуля, то шэраг разбягаецца.

Калі ж , то пра збежнасць шэрагу яшчэ нічога нельга сказаць. Ёсць сэнс гэты шэраг даследаваць далей.

Прыкладам разбежнага шэрагу, які задавальняе неабходнай прымеце збежнасці, служыць так званы гарманічны шэраг



Тэарэма 4 (крытэрый Кашы). Шэраг (1) збягаецца тады і толькі тады, калі для любога дадатнага ліку знойдзецца такі нумар , што для любых натуральных лікаў p i n, , мае месца няроўнасць

.

Такім чынам,

збягаецца N:

N, N, ,.

Заўважым, што крытэрый Кашы можна выкарыстоўваць і для доказу разбежнасці некаторых лікавых шэрагаў.

Калі знойдуцца прынамсі адно значэнне і адзін натуральны лік р такія, што для любога нумара N знойдзецца n>N, але , то шэраг (1) будзе разбежным.

Прыклад 1. Дадзены формулы агульных складнікаў шэрагаў:

а) ; б) .

Напісаць чатыры першыя складнікі шэрагаў. Паводле азначэння,


; ; 0!!=

Рашэнне. а) Калі n=1, то а1=–1; калі n=2, то ; калі n=3, то ; калі , то .

Шэраг можна запісаць у выглядзе

.

б) Маем

.

Такім чынам, шэраг можна запісаць у выглядзе

.

Прыклад 2. Напісаць , калі

.

Рашэнне. , , , .

Прыклад 3. Напісаць магчымую (прасцейшую) формулу агульнага складніка наступных шэрагаў:

а) б) .

Рашэнне. а) Гэты шэраг з’яўляецца знакачаргавальным. Таму кожны яго складнік змяшчае множнік (–1)n–1. Заўважым, што назоўнік кожнага з дадзеных складнікаў шэрагу роўны квадрату нумару гэтага складніка, г.зн. n2. Такім чынам,

.

б) Заўважым, што лічнік кожнага з дадзеных складнікаў шэрагу роўны квадрату нумару гэтага складніка плюс адзінка, г. зн. . Назоўнікі ж утвараюць арыфметычную прагрэсію 3, 8, 13, 18, … з першым элементам х1=3 і рознасцю d=5. Значыць,

.


Прыклад 4. Знайсці суму бясконцай геаметрычнай прагрэсіі

.

(Тэрмінам «бясконцая геаметрычная прагрэсія» мы будзем называць як паслядоўнасць так і шэраг, складзены з яе элементаў.)

Рашэнне. Заўважым, што пры . Значыць, неабходная прымета збежнасці не выконваецца. Геаметрычная прагрэсія з’яўляецца ў гэтым выпадку разбежным шэрагам.

Няхай . Разгледзім паслядоўнасць частковых сум дадзенага шэрагу:

.

Лёгка пераканацца, што



Такім чынам, геаметрычная прогрэсія з’яўляецца ў гэтым выпадку збежным шэрагам, сума якога роўная

Высновы. У выпадку геаметрычная прагрэсія з’яўляецца разбежным шэрагам. У выпадку геаметрычная прагрэсія з’яўляецца збежным шэрагам, сума якога роўная

Прыклад 5. Даследаваць на збежнасць наступныя лікавыя шэрагі:

а)

б)

Рашэнне.

а) Агульны складнік шэрагу



Паколькі



то неабходная прымета збежнасці шэрагу не выконваецца, і значыць, гэты шэраг разбягаецца.

б)

таму дадзены шэраг разбягаецца.

Прыклад 6. Паказаць, што гарманічны шэраг разбягаецца.

Рашэнне. Для гарманічнага шэрагу маем







г. зн.



Дапусцім, што гарманічны шэраг збягаецца, тады паслядоўнасць (Sn) яго частковых сум мае канечны ліміт А:



а тады мае гэты ж ліміт і яе падпаслядоўнасць (S2n):



Здзейсніўшы лімітавы пераход у папярэдняй няроўнасці, атрымаем



што недарэчна.

Такім чынам, гарманічны шэраг разбягаецца.

Прыклад 7. Даказаць, што калі складнікі шэрагу можно запісаць у выглядзе

,

і існуе канечны ліміт

,

то шэраг збягаецца, а яго сума S роўная bb1.


Рашэнне. Маем



Паколькі , то атрымаем .

Прыклад 8. Знайсці суму шэрагу .

Рашэнне. 1 спосаб. Скарыстаем роўнасць



Абазначым , тады , прычым

Калі скарыстаць вынікі прыкладу 7, атрымаем:



2 спосаб. Калі кожны складнік дадзенага шэрагу запісаць у выглядзе рознасці то атрымаем наступны выраз для n–ай частковай сумы:



Усе складнікі, акрамя першага і апошняга, узаемна знішчыліся.

Зараз лёгка знаходзім суму дадзенага шэрагу



Прыклад 9. Знайсці суму шэрагу



Рашэнне. Непасрэдна знаходзім:



Лёгка заўважыць, што паслядоўнасць (Sn) збягаецца, г. зн. збягаецца, згодна з азначэннем, дадзены лікавы шэраг. Сума яго



Прыклад 10. Знайсці суму шэрагу



Рашэнне. Паколькі



то




Калі перайсці да ліміту пры , атрымаем:



Такім чынам,



Прыклад 11. Знайсці суму шэрагу



Рашэнне. Агульны складнік шэрагу можна запісаць у выглядзе



Такім чынам,





Перайшоўшы да ліміту, атрымаем



Прыклад 12. Скарыстаўшы крытэрый Кашы, даказаць збежнасць шэрагу



Рашэнне. Знойдзем такі натуральны лік N, што для ўсіх n?N і адвольнага натуральнага ліку р будзе выконвацца няроўнасць

(3)

Маем:



Тады з таго, што , вынікае існаванне нумара N, які залежыць ад ?, што для ўсіх n>N і для любога натуральнага р будзе выконвацца
няроўнасць (3).

Такім чынам, згодна з крытэрыям Кашы атрымаем, што дадзены шэраг збягаецца.

Прыклад 13. Скарыстаўшы крытэрый Кашы, даказаць разбежнасць шэрагу



Рашэнне. Маем:

(4)

Высветлім, ці існуюць лік ??0 і натуральны лік р такія, каб сума (4) была не менш ?. Лёгка здагадацца, што мяркуючы , а р=n+1, атрымаем



Таму, згодна з крытэрыям Кашы, шэраг разбягаецца.


  1   2   3   4   5   6

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconУстанова адукацыі "Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка" Факультэт псіхалогіі Графік вучэбнага працэсу на
Установа адукацыі “Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка”

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка зацвярджаю

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка зацвярджаю

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка зацвярджаю

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconГ. Я. Адамовіч Літаратурная класіка
Установа адукацыі “Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка”

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconСтаршыня прэзідыума
У пярвічную прафсаюзную арганізацыю студэнтаў Установы адукацыі “Беларускі дзяржаўны педагагічны ўніверсітэт імя Максіма Танка”

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка icon"Беларускі дзяржаўны педагагічны ўніверсітэт імя Максіма Танка"
Народнае мастацтва: праблемы даследавання І захавання фальклорна-этнаграфічнай спадчыны

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconІнстытут гісторыі нацыянальнай акадэміі навук беларусі
Апаніруючая арганізацыя – установа адукацыі “Беларускі дзяржаўны педагагічны ўніверсітэт імя Максіма Танка”

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconФывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъфывапролджэячсмитьбюйцукенгшщзхъ
Уа “Беларускі дзяржаўны педагагічны ўніверсітэт імя Максіма Танка”, выкладчык кафедры асноў спецыяльнай педагогікі І псіхалогіі факультэта...

Беларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка iconБеларускі дзяржаўны педагагічны універсітэт імя Максіма Танка зацвярджаю
Вучэбная праграма складзена на аснове тыпавой вучэбнай прагарамы па дысцыпліне “Методыка выкладання хіміі”, зацверджанай. 2011 г.,...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка