§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку




Назва§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
Дата канвертавання27.11.2012
Памер59.31 Kb.
ТыпДокументы



§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) і манатоннасці функцыі на прамежку


Тэарэма 1. Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя f(x), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Функцыя f(x) — сталая на адрэзку [a, b] тады і толькі тады, калі f '(x) = 0 x  (a, b).

Неабходнасць. Дадзена:

Даказаць:

Доказ з дапамогай азначэння гл. §1.

Дастатковасць. Дадзена:

Даказаць:

Разгледзім

Паколькі на адрэзку [x1, x2] функцыя f (x) здавальняе тэарэме Лагранжа, то існуе пункт с[x1, x2] такі, што . Па ўмове

f '(c) = 0  f(x2)  f(x1) = 0  f(x2) = f(x1)  f(x) = cconst.

Тэарэма.2. Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя f(x), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Для таго каб f(x) была неўбываючай (неўзрастаючай) на адрэзку [a, b], , каб

f '(x)  0 (f '(x) 0) x  (a, b).

Прымем без доказу.

Тэарэма 3. Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя f(x), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b).Для таго каб f(x) была ўзрастаючай (ўбываючай) на aдрэзку [a, b], , каб f '(x) > 0 (f '(x) < 0) x (a, b).


Доказ Т. 3 правядзем для выпадку, калі f '(x) > 0 x(a, b). Дакажам, што .

Паколькі на адрэзку [x1, x2] функцыя f(x) здавальняе тэарэме Лагранжа,





Аналагічна даказваецца тэарэма для ўмовы f '(x) < 0.

Заўвага 1. Тэарэма 3 не з’яўляецца неабходнай умовай узрастання (ўбывання) функцыі, паколькі строга манатонная функцыя ў асобных пунктах можа мець вытворную, роўную нулю.

Прыклад. узрастае на мностве R, але ў пункце х = 0 f '(0) = 0.

§ 12.Экстрэмумы функцыі

1. Лакальныя экстрэмумы


Азначэнне 1. Няхай функцыя f вызначана на інтэрвале (a, b). Пункт

x0 (a,b) называецца

функцыі f, калі наваколле U(x0, ) = (x0, x0 + )(a, b) такое, што выконваецца няроўнасць

Азначэнне 2. Няхай функцыя f вызначана на інтэрвале (a, b). Пункт

x0(a,b) называецца пунктам

функцыі f, калі існуе наваколле U(x0, ) (a, b) такое, што xU(x0, ) выконваецца няроўнасць

Пункты лакальнага max і min функцыі f называюцца пунктамі

, а значэнні функцыі ў гэтых пунктах – адпаведна лакальнымі max i min.

З
Рыс.7
рысунка 7 відаць, што – пункт строгага лакальнага max (min), а пункты інтэрвала – пункты лакальнага max; f(x1), f(x2), f(x3) – лакальныя экстрэмумы.



Тэарэма 1. ( ). Калі функцыя f дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b) i x0 (a, b) – пункт лакальнага

экстрэмуму функцыі f , то f '(x0) = 0.

Дадзена:


Даказаць:

З азначэнняў 1 і 2 вынікае, што , у якім функцыя будзе прымаць сваё найменшае (х0  п. лакальнага min) або найбольшае (х0п. лакальнага max) значэнне .

Заўвага 1. Роўнасць f '(x0) = 0 з’яўляецца неабходнай умовай існавання экстрэмуму, але не дастатковай.

Прыклад1. , але х = 0 не з’яўляецца пунктам экстрэмуму, паколькі f '(x) > 0 xR і таму не мае экстрэмумаў.

Заўвага 2. Калі f ў пункце х0, то х0 можа быць, а можа і не быць пунктам экстрэмуму.

Прыклад 2. Для функцыі – пункт min, але ў гэтым пункце вытворная не існуе.

Прыклад 3. Для функцыі у пункце х = 0 існуе бясконцая вытворная, такім чынам, яна не з’яўляецца дыферэнцавальнай,

функцыя ўзрастае на мностве R і таму не мае экстрэмумаў.

Прыклад 4. Для функцыі у пункце х = 0 існуе бясконцая вытворная:але пункт х = 0 – пункт лакальнага min.

Азначэнне 3. Пункты, у якіх вытворная функцыі роўна 0, называюцца пунктамі.

Азначэнне 4. Пункты, у якіх вытворная функцыі роўна 0 або ,або наогул не існуе, будзем называць .

Вынік. З заўвагі 2 і Т.1 неабходнай ўмовай экстрэмуму з’яўляецца


функцыі ў гэтым пункце.

Тэарэма 2 дастатковая ўмова экстрэмуму). Няхай функцыя f дыфе-

рэнцавальная на інтэрвале (a, b), за выключэннем, можа быць, пункта

x0  (a, b), непарыўная ў пункце x0. Калі , такое, што

1) x  (x0 ; x0) f '(x) > 0, а x  (x0; x0 + ) f '(x) < 0, то х0  пункт

функцыі f;

2) x  (x0 ; x0) f '(x) < 0, а x  (x0; x0 + ) f '(x) > 0, то х0  пункт

функцыі f.

Дакажам п.1. Паколькі x  (x0 ;x0) f '(x) > 0, то па Т.3 § 11 функцыя f узрастае на інтэрвале (x0 ; x0), г. зн. выконываецца няроўнасць f(x) < f(x0), а паколькі x  (x0; x0 + ) f '(x) < 0, то па Т.3 § 11 функцыя f убывае на інтэрвале (x0; x0 + ), г. зн. выконываецца няроўнасць f(x)<f(x0). Т.ч. для пункта х0

выконваецца няроўнасць f(x) < f(x0). х0  пункт лакальнага max. 

Аналагічна даказваецца п.2.

Заўвага 3. Тэарэму 2 можна сфармуляваць наступным чынам:

калі пры пераходзе праз пункт х0 злева направа вытворная мяняе знак з " + " на "", то х0  пункт лакальнага max, а калі з "" на " + ", х0  пункт лакальнага min.

Заўвага 4. Калі пры пераходзе праз пункт х0 знак вытворнай не мяняецца, то ў пункце х0 няма экстрэмуму.

Прыклад 5. Даследаваць на экстрэмум функцыю


D(f) = R.


У пункце х = 0 . Такім чынам, пункты х = 0,1 крытычныя пункты І роду. Гэтыя пункты разбіваюць D(f) на прамежкі манатоннасці функцыі. Азначым знакі вытворнай на кожным з прамежкаў. Пры пераходзе праз пункт х = 1 вытворная мяняе свой знак з " + " на "–", а праз пункт х = 1 – з "–" на " + " , праз пункт х = 0 – знак вытворнай не мяняецца. Т.ч., х = 1 – п. лакальнага max, x = 1  п. лакальнага min; fmin = f(1) = 2, fmax = f(1) = 2.

Тэарэма 3 (ІІ дастатковая ўмова экстрэмуму). Няхай функцыя f вызначана на (a, b), двойчы дыферэнцавальная ў пункце x0  (a, b) i f '(x0) = 0, тады:

1) калі f "(x0) > 0, то x0  пункт лакальнага min;

2) калі f "(x0)< 0, то x0  пункт лакальнага max.

Доказ для п.2. Няхай f "(x0) < 0. Па азначэнню:


На падставе тэарэмы аб захаванні знака функцыі, якая мае ліміт

(калі ), мае месца няроўнасць .

Калі x < x0, то , калі x > x0, то . Па Т.2 х0  пункт лакальнага max. 

Аналагічна даказваецца п.1 тэарэмы.

Прыклад 6. Даследаваць на экстрэмум функцыю .

Рашэнне:  стацыянарныя пункты.  пункт лакальнага max,

fmax = f(0) = 0;  пункты лакальнага min, fmin = f "(1) = f(1) = 1/4.

2. Абсалютны экстрэмум


Азначэнне 5. Няхай функцыя f вызначана на прамежку Х і прымае найбольшае і найменьшае значэнні на гэтым прамежку адпаведна ў пунктах х1 і х2 , тады пункт х1 называецца

на прамежку Х, а пункт x2

на прамежку Х, значэнні функцыі f у гэтых пунктах называюцца адпаведна абсалютнымі max i min функцыі f на прамежку Х або найбольшым і найменшым значэннямі функцыі f на прамежку Х.

Калі функцыя f непарыўная на [a, b], то адпаведна 2-й тэарэмы Вейерштраса яна мае абсалютны min i max на гэтым адрэзку, якія знаходзяцца па правілу Ферма.

Заўвага 4. Пры рашэнні задач узнікае сітуацыя, калі абсалютныя экстрэмумы функцыі f прыходзіцца шукаць на прамежку, які не з’яўляецца адрэзкам. У гэтай сітуацыі будзем карыстацца наступнай тэарэмай, якую прымем без доказу.

Тэарэма 4. Калі функцыя f непарыўная на прамежку Х і мае адзіны пункт экстрэмуму х0Х, тады, калі x0 пункт max (min) , то ў ім функцыя прымае найбольшае (найменшае) значэнне f(x0) на прамежку Х.

Дакажам для выпадку, калі x0 пункт max. Метадам ад супраціўнага.


х2 – п. лакальнага min, а гэта супярэчыць умове, што х0Х адзіны пункт экстрэмуму з Х.

Задача. Дадатны лік а прадставіць у выглядзе сумы 3-х дадатных складнікаў, два з якiх роўныя паміж сабою так, каб здабытак іх быў найбольшым.

Рашэнне. Абазначым адзін са складнікаў х, тады 2-гі складнік таксама будзе х, а 3-ці (а).Здабытак іх Р(x) = x2(a2x) функцыя, якая павінна прымаць найбольшае значэнне. Дзе? На абсягу вызначэння функцыі па сэнсу задачы:

D(Р) = {xx > 0, a2x > 0} = (0;a/2).

Знойдзем пункт, у якім функцыя Р(x) будзе прымаць найбольшае значэнне. Даследуем функцыю на экстрэмум:

Р'(x) = 2ax6x2, Р'(x) = 0  2x(a3x) = 0  x = 0 D(Р), x = a/3 D(Р). Скарыстаем 2-ю дастатковую умову экстрэмуму:

Р"(x) = 2a12x, P"(a/3) = 2a < 0. Па тэарэме 3 х = a/3 адзіны пункт лакальнага максімуму  па тэарэме 4 у гэтым пункце функцыя прымае сваё найбольшае значэнне. Калі два складнікі роўны а/3, то і трэці будзе роўны a/3.

Адказ. Здабытак будзе найбольшым, калі ўсе тры лікі роўны паміж сабою.

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
Тэарэмы16. 1–16 Няхай на адрэзку [a, b] азначана непарыўная функцыя f(X), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Менавіта тады

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
Няхай функцыі u(Х) І v(X )дыферэнцавальныя І непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon2  Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу: d() = ()’ = f(X)dx. 3 
Азначэнне Функцыя f называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xx f’(X) = f(X)

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconЗадача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае
Напрыклад, трыганаметрычныя функцыі sin X, cos X можна ўвесці як стасункі паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка І як сумы...

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
Азначэнне. Рашэннем здр (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку І задавальняе...

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f
Азначэнне Няхай функцыя вызначана на некаторым канечным ці бясконцым прамежкулікавай восі R, гэта значыць на інтэрвале, паўінтэрвале...

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconНяхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк
Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi,...

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconФункцыі некалькіх зменных
Разгледзім функцыі, якія вызначаны на мноствах n мернай еўклідавай прасторы Rn І значэннямі якіх з'яўляюцца сапраўдныя лікі. Будзем...

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка