Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні




НазваЗадача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні
Дата канвертавання27.11.2012
Памер188.91 Kb.
ТыпЗадача


Рашэнне задач на пабудову

метадам павароту

Змест

  1. Уводзіны 3

  2. Метад павароту ў задачах на пабудову цыркулем і лінейкай

  3. Заключэнне 20

  4. Літаратура 21

Уводзіны

Рашэннем задачы на пабудову называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім патрабаваннем ўмовы задачы.

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні.

Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудавання, аксіём лінейкі і цыркуля, а таксама прасцейшых і асноўных задач на пабудову.

Пабудова шуканай фігуры павінна быць выканана праз канечнае мноства прасцейшых і асноўных пабудаванняў.

Працэс рашэння задачы на пабудову дзеліцца на чатыры этапы: аналіз, пабудаванне шукаемай фігуры, доказ і даследаванне.

Аналіз – гэта пошук спосабу рашэння задачы.

На этапе пабудавання фігуры, пералічваюцца ўсе прасцейшыя і асноўныя пабудаванні, праводзіцца пабудова шукаемых фігур цыркулем і лінейкай.

Пры даследаванні высвятляюцца два пытанні:

  1. Калі задача мае рашэнне, а ў якіх выпадках не мае.

  2. Колькі розных рашэнняў мае задача пры кожным магчымым выбары данных.

Для гэтага праводзіцца даследаванне па самаму ходу пабудаванняў. Паўстае пытанне: якія рашэнні лічыць рознымі. Гэта залежыць ад тыпу задачы.

Пры даследаванні адзначаецца таксама прыватныя выпадкі, у якіх прымяняюцца іншыя спосабы пабудаванняў адрозныя ад агульнага.

Адным з метадаў геаметрычных пераўтварэнняў з’яўляецца метад павароту. Ён выкарыстоўваецца ў рашэнні задач на пабудаванне цыркулем і лінейкай, калі ў выніку павароту адносна некаторага пункта на вядомы вугал элементы шукаемай фігуры пераходзяць у элементы той жа фігуры.

§1 Паварот – геаметрычнае пераўтварэнне.

  1. Пры павароце плоскасці вакол цэнтра О на вугал α кожнаму пункту А плоскасці адпавядае пункт А’, у які пераўтворыцца А. Паварот ёсць пераўтварэнне плоскасці. Пры гэтым пункту А адпавядае адзіны пункт А’.

  2. Няхай А і В – два несупадаючыя пункты плоскасці. Пры павароце іх на , вакол цэнтра О, яны пяройдуць у розныя пункты А’ і В’ (рыс.1).

рыс.1 рыс.2

3)Возьмем адвольны пункт А плоскасці. Павярнуўшы яго на вакол цэнтра О, мы атрымаем новы пункт А’ (рыс.2).

Каб вярнуць пункт А’ у пачатковае становішча, дастаткова павярнуць яго вакол таго ж цэнтра на вугал – α.

З гэтага вынікае, што плоскасць альбо яе частка пераўтвараецца шляхам павароту на вугал α, а затым атрыманые пункты яшчэ раз павярнуць вакол таго ж цэнтра на вугал – α, то ўсе пункты зоймуць пачатковае становішча.

Такім чынам, паварот на вугал α мае адваротнае пераўтварэнне – паварот вакол таго ж цэнтра на вугал – α.

§2 Уласцівасці павароту.

Паварот на вугал α пераўтварае любую фігуру ў роўную ёй. У прыватнасці:

  1. Адрэзак АВ пераходзіць ў роўны яму адрэзак А’В’, прамая a – у прамую a’.

  2. Вугал АВС пераходзіць у роўны яму вугал А’В’С’.

  3. Акружнасць С пераходзіць у роўную ёй акружнасць С’.

Акружнасці, цэнтры якіх супадаюць з цэнтрам павароту, застаюцца нерухомымі пры павароце плоскасці. Пераўтварэнне павароту пераводзіць паралельныя паміж сабою прамыя ў паралельныя, перпендыкулярныя паміж сабою – у перпендыкулярныя.

  1. Пабудаваць роўнастаронні трохвугольнік так, каб адна вяршыня належала дадзенай акружнасці, другая дадзенай прамой, а трэцяя вяршыня супадала з дадзеным пунктам А.

Аналіз:


Няхай ∆ABC – шукаемы. Заўважаем, што калі акружнасць ω(О,R) павярнуць на вугал α = -60˚ адносна пункта А, то пункт перасячэння атрыманай акружнасці з прамой з’яўляецца вяршыняй трохвугольніка. Трэцяя вяршыня атрымоўваецца паваротам пункта на вугал α = 60˚.

Пабудаванне:

  1. ω’(O’,R) =(ω(О,R));

  2. {C,C1}=ω’(O’,R)∩k, Ck, C1k;

  3. B= (C), B1= (C1), B ω(О,R);, B1 ω(О,R);

  4. ∆ABC (∆AB1C1) – шукаемы.

рыс.1


Доказ:

Пункт B атрымоўваецца ў выніку павароту пункта C на вугал роўны 60˚ і АС=СВ С = В ∆ABC – роўнастаронні.


Даследаванне:

Задача можа мець:

  • 1 рашэнне, калі k ∩ ω(O’,R);




  • 2 рашэнні, калі k ∩ ω(O’,R) у двух пунктах (рыс.1);

  • няма ніводнага рашэння, калі прамая k з акружнасцю ω(O’,R) не перасякаецца.



  1. Дадзены дзве акружнасці і прамая k. Пабудаваць роўнастаронні трохвугольнік так, каб дзве яго вяршыні належалі дадзеным акружнасцям, а вышыня, праведзеная праз трэцюю вяршыню, належала прамой k.

Аналіз:



Няхай ∆ABC – шукаемы. Заўважаем, што пункты А і B сіметрычныя адносна прамой k, якая змяшчае вышыню трохвугольніка, праведзеную праз трэцюю вяршыню. Пункт B=ω(O2,R2)∩ω(O1’,R1), дзе ω’(O1’,R1) = R(ω(О1,R1)). Пункт С=ω(B,AB)∩k.

Пабудаванне:

  1. O1H  k (H  k);

  2. O1’= R (O1);

  3. ω’(O1’;R1);

  4. B1= ω’(O1’;R1) ∩ ω2(O2’;R2);

  5. Н’ (ВН’ k, H’ k)

  6. A= R (B) (A  ω1(O1;R1));

  7. C= ω3(B;AB) ∩ k;

  8. ∆ABC – шукаемы.



рыс.2

Доказ:

Па пабудаванню пункты А і В сіметрычныя адносна прамой k (AB k, AH’=BH’) AB = BC = AC ∆ABC – роўнастаронні.

Даследаванне:

Задача можа мець:

  • 2 рашэнні, калі акружнасці ω’(O1’;R1) і ω2(O2’;R2) перасякаюцца ў адным пункце;



  • 4 рашэнні, калі акружнасці ω’(O1’;R1) і ω2(O2’;R2) перасякаюцца ў дзвух пунктах (рыс.2);

  • няма рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1’;R1) і ω2(O2’;R2) не перасякаюцца;





  • ∞ рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1’;R1) і ω2(O2’;R2) супадаюць.




  1. Пабудаваць раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік так, каб вяршыні вострых вуглоў належалі двум дадзеным акружнасцям, а вяршыня прамога вугла супадала з дадзеным пунктам.

Аналіз:

Няхай ∆ABC –шукаемы. Заўважаем , што пункт B=(С): калі ω1(O1;R1) павярнуць на 90˚ адносна пункта A, то ω(O1’;R1) ∩ ω2(O2;R2) ў пункце B.



Пабудаванне:

  1. O1’=(О1);

  2. ω(O1’;R1);

  3. B = ω(O1’;R1) ∩ ω2(O2;R2);

  4. C = (В);

  5. ABC –шукаемы.



рыс.3

Доказ:

Па пабудаванню: C = CAB = 90˚, AC = CB ∆ABC – раўнабедраны, прамавугольны трохвугольнік.


Даследаванне:

Задача можа мець:

  • 1 рашэнне, калі акружнасці ω (O1’;R1) і ω2(O2;R2) перасякаюцца ў адным пункце;




  • 2 рашэнні, калі акружнасці ω (O1;R1) і ω2(O2;R2) перасякаюцца ў двух пунктах (рыс.3);

  • няма рашэнняў, калі акружнасці ω (O1’;R1) і ω2(O2;R2) не перасякаюцца;







  • ∞ рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1’;R1) і ω2(O2’;R2) супадаюць.

  1. Пабудаваць акружнасць з цэнтрам у дадзеным пункце O так, каб адна з яе дуг, канцы якой ляжаць на двух дадзеных акружнасцях ω1(O1;R1) і ω2(O2;R2), была бачна з пункта O пад дадзеным вуглом.

Аналіз:



ω (O;OB) –шукаемая. Заўважаем, што пункт А атрымоўваецца з пункта В, пры яго павароце на дадзены адносна пункта О. А ω1(O1;R1), а В  ω2(O2;R2) калі павярнуць акружнасць на дадзены вугал , то атрыманая акружнасць ω’(O1;R1) ∩ ω2(O2;R2) у пункце В.

Пабудаванне:

  1. O1’= R(O1);

  2. ω’(O1’, R1);

  3. B = ω’(O1;R1) ∩ ω2(O2;R2);

  4. A= R(B);

  5. AB – шукаемая дуга,

ω(O;OB) – шукаемая

акружнасць.


рыс.4

Доказ:


Па пабудаванню A= OA = OB, AOB = α. Атрымалі, што AB бачна з пункта О пад вуглом α, А  ω1(О1;R1), В  ω2(O2;R2) ω (O;OB) –шукаемая.

Даследаванне:

Задача можа мець:

  • 1 рашэнне, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2;R2) перасякаюцца ў адным пункце;




  • 2 рашэнні, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2;R2) перасякаюцца ў двух пунктах (рыс.4);

  • няма рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2;R2) не перасякаюцца;





  • ∞ рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2’;R2) супадаюць.

  1. Пабудаваць квадрат, калі дадзены яго цэнтр і 2 пункты, ляжачыя на прамых, якія ўтрымліваюць дзве паралельныя стараны квадрата.

Аналіз:



KLMN - шукаемы. Заўважым, што калі пункт А павярнуць на 180˚ адносна пункта О, то атрыманы пункт А1 будзе належыць b. Аналагічна В1 будзе належыць a. Калі павярнуць прамую a на 90˚ адносна пункта О, то атрымаем прамую, якая утрымлівае старану LK. Аналагічна MN b’.

Пабудаванне:

  1. A1= R(А);

  2. A1B;

  3. B1= R(В);

  4. B1A;

  5. OC AB1, C  AB1 і будуем шукаемы квадрат;

  6. KLMN – шукаемы.

рыс.5

Доказ:

Па пабудаванню атрымоўваем. Што L=M=N=K і LM, MN, NK, KL роўнааддаленыя ад пункта O.

Даследаванне:

Магчыма толькі адно рашэнне.

  1. Дадзены дзве акружнасці ω1(O1;R1) і ω2(O2;R2) і пункт А. Пабудаваць пункты X і Y так, каб X ω1(O1;R1), Y  ω2(O2;R2), а пункт А сярэдзіна адрэзка X Y.

Аналіз:




Заўважым, што пункт Y = ω’(O’1;R1) ∩ ω2(O2;R2), дзе ω’(O’1;R1) атрымоўваецца паваротам ω1(O1;R1) на 180˚ адносна пункта А.

Пабудаванне:

  1. ω’(O’1;R1) = R( ω’(O1;R1));

  2. Y = ω’(O’1;R1) ∩ ω2(O2;R2);

  3. X =(Y).

рыс.6

Доказ:

Пункт Y ω2(O2;R2) па пабудаванню.

Пункт X  ω’(O1;R1), так як ω’(O1;R1) = R( ω1(O1;R1)) кожны пункт ω’(O1;R1), пры павароце на 180˚ адносна пунтка А будзе пераходзіць у адпаведны пункт ω1(O1;R1)). XA = AY, так як X =(Y).

Даследванне:

Задача можа мець:

  • 1 рашэнне, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2;R2) перасякаюцца ў адным пункце;





  • 2 рашэнні, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2;R2) перасякаюцца у дзвух пунктах (рыс.6);

  • няма рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2;R2) не перасякаюцца;





  • ∞ рашэнняў, калі акружнасці ω’(O1;R1) і ω2(O2’;R2) супадаюць.

  1. Розныя прамыя k1, k2 і k3 паралельныя паміж сабой, а прамая k не паралельна ім. Пабудаваць роўнастаронні трохвугольнік так, каб яго вяршыні ляжалі на прамых k1, k2 і k3, а цэнтр на прамой k.

Аналіз:


Для таго каб пабудаваць роўнастаронні трохвугольнік, цэнтр якога ляжыць на прамой k , неабходна пабудаваць адвольна роўнастаронні трохвугольнік з вяршынямі на прамых k1, k2 і k3 і перанесці яго так, каб О’  k.

Няхай ∆ABC – шукаемы. А = R(k3) ∩ k2. С = R(A).

Пабудаванне:


  1. A k1;

  2. k3’= R(k3);

  3. B = k3’ ∩ k2;

  4. C = R(B);

  5. ∆A’B’C’ – шукаемы.



Доказ:

З пабудавання ∆ABC : C = R(B) АС = СВ, САВ = 60˚ ∆ABC – раўнастаронні. О’ – атрымоўваецца з О паралельным пераносам. ∆A’B’C’ атрымоўваецца пры паралельным пераносе ∆ABC на ОО’ ∆A’B’C’- шукаемы.


Даследаванне:

Магчыма толькі адно рашэнне.


  1. У дадзеную акружнасць упісаць квадрат так, каб прамая, якая ўтрымлівае адну з яго старон, прахадзіла праз дадзены пункт.


Аналіз:



У дадзеную акружнасць ω(O,R) упісаць адвольны квадрат, а ў яго ўпісаць акружнасць з цэнтрам ў пункце О. Правядзём датычную (k) з пункта А да ўпісанай акружнасці. А  k пункты В1 і С1 = ω(O,R) ∩ k.

Пабудаванне:

  1. адвольны квадрат упісаць у ω(O,R) (пункт В ω(O,R), В = BO ∩ ω(O,R), k BD, O  k, C, K = ω(O,R) ∩ k BCDK);

  2. OH (OH CD, H CD);

  3. ω1(O,OH);

  4. AO;

  5. ω2(O1,O1A) (O1 OA, OO1 = O1A);

  6. E1 = ω1(O,OH) ∩ ω2(O1,O1A) (E2 = ω1(O,OH) ∩ ω2(O1,O1A));

  7. C1B1 = ω(O,R) ∩ E1A;

  8. B1K1 = R(C1B1) (K1  ω(O,R)), C1D1 = R(D1B1) (C1 ω(O,R));

  9. B1C1D1K1 – шукаемы.


рыс.7

Доказ:

Шукаемы квадрат атрымоўваецца з адвольнага, упісаннага ў дадзеную акружнасць квадрата, паваротам яго вакол пункта О. (Усе квадраты ўпісанныя ў адну акружнасць роўныя паміж сабой). Па пабудаванню прамая, якая ўтрымлівае старану квадрата, праходзіць праз пункт А.

Даследванне:

Задача можа мець:

  • 1 рашэнне, калі пункт А  ω(O;R) ці А  ω(O;OH);




  • 2 рашэнні, калі да акружнасці ω(O;R) з пункта А можна правесці дзве датычныя (рыс.7);

  • няма рашэнняў, калі А знаходзіцца унутры акружнасці ω(O;OH) і ёй не належыць.




Заключэнне

Метад павароту – адзін з метадаў геаметрычных пераўтварэнняў.

Ён выкарыстоўваецца ў рашэнні задач на пабудаванне цыркулем і лінейкай, калі ў выніку павароту адносна некаторага пункта на вядомы вугал элементы шукаемай фігуры пераходзяць у элементы той жа фігуры.


Літаратура

  1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия Ч.I –M.: Просвещение, 1986.

  2. Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия П. –М.: Просвещение, 1975.

  3. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия Ч.II –М.: Просвещение, 1976.

  4. Сборник задач по геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. Ч.II. –М.: Просвещение, 1975.

  5. Сборник задач по геометрии под редакцией Базылева В.Т. –М.: Просвещение, 1980.

  6. Андреев П.П., Шувалова З.З. Геометрия – Москва: Наука, 1967.


Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconЗадача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні
Рашэннем задачы на пабудову называецца такая фігура, якая задавальняе ўсім патрабаванням умовы задачы

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconЗадача на пабудаванне лічыцца рэшанай, калі знойдзены усе яе рашэнні
Калі а І в дадзеныя пункты, то мноства пунктаў М, для кожннага з якіх|AM|/|MB|=λ≠1 ёсць акружнасць апалонія (3 в да н э.)

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconЗадача Знак
Я хачу, каб вы на сваю далонь паклалі ўсё дрэннае, што з вамі здарылася, усе непрыемныя думкі, павярнуліся да акенца І дзьмухнулі...

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconПра што пісалі ў лістах, тэлефанавалі, паведамлялі праз смс слухачы Свабоды на мінулым тыдні
Шыла зь меха. Калі Лукашэнка ішоў да ўлады, дык абяцаў дапамагаць бедным І нямоглым – пэнсіянэрам, інвалідам Мы ж за яго галасавалі...

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconАнкета-заяўка
Калі ласка, адкажыце на ўсе пытанні анкеты. Калі Ваш тэкс не змяшчаецца ў пазначаным вакенцы, пры неабходнасці дадавайце радкі

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні icon27 красавіка 1945 года прадстаўнікі 50 краінаў сьвету сабраліся ў Сан-Францыска на Канфэрэнцыю Аб’яднаных Нацый па стварэньні новай міжнароднай арганізацыі, каб
Сан-Францыска на Канфэрэнцыю Аб’яднаных Нацый па стварэньні новай міжнароднай арганізацыі, каб распрацаваць Статут аан. Папярэднікам...

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconНекалі адзін часта згадваемы тут пэрсанаж сказаў, што "народ хворы". Чым практычна згубіў сваю палітычную кар'еру. А калі задумацца, то толькі ў нас слова
Як з гэтым змагацца? Ня ведаю. Калі да апошняга часу ў праціўніках былі толькі бабулі, то цяпер гэта ўжо цалкам эканамічна дастатковая...

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconКурсавая праца
Журналіст вядзе аповяд, ужываючы займеннік я І дзеясловы бачу, чую, знаходжуся. І гэтым усё сказана. Указанне часу, калі адбылася...

Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні iconНа форумах парталу tut by ідзе дыскусія вакол выказваньня Гары Каспарава пасьля "Маршу нязгодных", калі ён параўнаў "дэмакратыю" ў Расеі з тым, што маецца ў
Дохтар Курапатаў: «Ну ўсё, капцы цяпер габрэйскаму шахматысту. Мурыны такога параўнаньня яму ніколі не даруюць». skeptik: “Усё-ткі...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка