Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў




НазваКурс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў
Дата канвертавання27.11.2012
Памер83.29 Kb.
ТыпДокументы


Дадатковыя матэрыялы

2 курс з/а

2007 – 2008 н. г.

Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў

Разгледзім мноства накіраваных адрэзкаў прасторы, якія будзем называць вектарамі. На мностве вызначаны аперацыі складання вектараў і множання вектара на лік. З гэтымі дзвюмя аперацыямі утварае 3-мерную вектарную прастору. На разглядалася таксама аперацыя скалярнага здабытку, якая кожным дзвум вектарам і ставіць у адпаведнасць дакладна вызначаны сапраўдны лік .

У далейшым нам спатрэбіцца яшчэ адна аперацыя над вектарамі , якая называецца вектарным здабыткам. Яна ставіць у адпаведнасць вектарам і з некаторы перпендыкулярны ім вектар . Каб даць вектару дакладнае азначэнне, разгледзім паняцці правага і левага базісаў вектарнай прасторы .



Няхай – некаторы базіс . Будзем лічыць, што базісныя вектары выходзяць з аднаго пункта . Пункт і вектары вызначаюць у прасторы некаторую плоскасць . Разгледзім паварот вектара у плоскасці вакол пункта да супадзення напрамка

з напрамкам . Зробім гэта найкарацейшым пуцем. Базіс называецца правым, калі з канца вектара такі паварот выглядае супраць гадзіннікавай стрэлкі. У іншым выпадку базіс называюць левым.

Легка зразумець, што дадзенае азначэнне не залежыць ад выбара пункта .

Прыклады.



Правы базіс Левы базіс Правы базіс

Практыкаванне 1. Пераканацца на прыведзеных прыкладах, што калі пераставіць месцамі два базісных вектара, або замяніць адзін базісны вектар на працілеглы, то правы базіс зробіцца левым, а левы – правым.

Азначэнне. Вектарным здабыткам вектара на вектар (, ) называецца вектар , які задавальняе наступным тром умовам:

  1. вектар артаганален вектарам і ;

  2. , дзе – вугал паміж і ;

  3. калі і некалінеярны, то вектары , , утвараюць правы базіс .

Заўвага. Калі і калінеярны, то ці , і таму або , або . У абодвух выпадках і таму . Адсюль вынікае, што .

Практыкаванне 2. Праверыць, што калі – правы ортаўнармаваны базіс , то

. (1)



Адзінкавы кубік

Разгледзім, напрыклад, .

.

Так як вектар артаганален і , то або , або . Калі б , то вектары утваралі бы правы базіс. Але, на самой справе, гэты базіс – левы. Такім чынам, .

Тэарэма 1. (геаметрычны сэнс даўжыні вектарнага здабытку)

Даўжыня вектарнага здабытку роўна плошчы паралелаграма, пабудаванага на вектарах і :

.

Доказ.



.

Асноўныя уласцівасці вектарнага здабытку.

1) ;

2) , , ;

3) , .

Практыкаванне 3. Даказаць самастойна уласцівасці 1) і 2). Уласцівасць 3) даецца без доказу.

Квадратную табліцу

,

складзеную з адвольных сапраўдных лікаў , будзем называць матрыцай -га парадку.

Калі

,

то сапраўдны лік



называецца дэтэрмінантам 2-га парадку матрыцы .

Калі

,

то сапраўдны лік



называецца дэтэрмінантам 3-га парадку матрыцы .

Такім чынам, вылічэнне дэтэрмінанта 3-га парадку зводзіцца да вылічэння трох дэтэрмінантаў 2-га парадку.

Прыклады.

1) .

2) 3(10–12)–2(4–9)+1(8–15)=–6+10–7=–3.

Тэарэма 2.

Няхай – правы ортаўнармаваны базіс . Калі у гэтым базісе , , то

. (2)

Заўвага. Формуле (2) можна надаць больш простую форму, калі скарыстаць правіла

вылічэння дэтэрмінанта 3-га парадку. Менавіта,

. (3)

Доказ тэарэмы 2.



Карыстаючыся уласцівасцямі 2) і 3) вектарнага здабытку, атрымаем 9 складнікаў. Але 3 з іх роўны , так як вектарны здабытак калінеярных вектараў есць . Таму



Скарыстаем уласцівасць 1) вектарнага здабытку.



Па умове – правы ортаўнармаваны базіс . Таму можна карыстацца формуламі (1).






Адзінкавы кубік

Задача 1. Знайсці плошчу .

Рашэнне. Згодна з тэарэмай 1 .

Разгледзім правы ортаўнармаваны базіс , звязаны з адзінкавым кубікам (гл. малюнак). Знойдзем каардынаты вектараў і у гэтым базісе.

Паколькі , то .

Аналагічна, і .

Ведая каардынаты вектароў і , можна знайсці каардынаты іх вектарнага здабытку па формуле (3).

.

Калі у ортаўнармаваным базісе , то . Таму

,

адкуль

.

Задача 2. Карыстаючыся вектарным здабыткам, знайсці плошчу , калі , , . Сістэма каардынат – дэкартава.

Задача 3. Няхай – адвольны тэтраэдр. Кожнай яго грані паставім у адпаведнасць вектар, які пачынаецца з пункта гэтай грані і ей артаганальны, накіраваны па-за тэтраэдр і мае даўжыню, роўную плошчы гэтай грані. Даказаць, што сума усіх чатырох такіх вектараў роўна нулю.

Рашэнне. Будзем карыстацца аперацыяй вектарнага здабытку.




Разгледзім базіс вектароў прасторы, звязаны з дадзеным тэтраэдрам (гл. мал.). Па умове задачы граням тэтраэдра адпавядаюць дакладна вазначаныя вектары:

, , , .

Кожны такі вектар можна выразіць праз з дапамогай вектарнага здабытку.

Разгледзім, напрыклад, вектар . Ен адпавядае грані , якая змяшчае базісныя вектары і . Таму вектарны здабытак артаганален гэтай грані. Паколькі вектары павінны утвараць правы базіс, то легка зразумець, што вектар накіраваны унутар тэтраэдра. Гэта значыць, што напрамак вектара супадае з напрамкам вектара –. Так як даўжыня супадае з плошчай грані , то з тэарэмы 1 вынікае, што

.

Аналагічна даказваецца (праверыць самастойна!), што

, .

Разгледзім, наканец, вектар .

,

так як .

У выніку

,

так як згодна з уласцівасцю 1) вектарнага здабытку

.

дац. Мілаванаў М.В.


Дадатковыя матэрыялы

2 курс з/а

2007 – 2008 н. г.

Тэма №2 Змешаны здабытак вектараў

Няхай – мноства накіраваных адрэзкаў прасторы, якія мы будзем называць вектарамі. На вызначаны аперацыі скалярнага і вектарнага здабытку вектароў – і . Гэтыя аперацыі даюць магчымасць увесці яшчэ адну аперацыю – змешаны здабытак трох вектараў.

Азначэнне. Змешаным здабыткам вектараў называецца лік , роўны скалярнаму здабытку вектара на вектарны здабытак вектараў і :

.

Тэарэма 1 (геаметрычны сэнс модуля змешанага здабытку).

Калі вектары не кампланарны, то модуль іх змешанага здабытку супадае з аб’емам паралелепіпеда, пабудаванага на вектарах .

Доказ.



,

дзе – вугал паміж вектарамі і .

Няхай – востры вугал (гл. мал.). Тады – вышыня паралелепіпеда, – плошча яго асновы і



есць аб’ем паралелепіпеда.

Выпадак тупога паспрабуйце разабраць самастойна.

Тэарэма 2 (крытэр кампланарнасці трох вектароў).

Вектары кампланарны тады і толькі тады, калі іх змешаны здабытак роўны нулю: =0.

Доказ.





Няхай кампланарны і размешчаны у плоскасці . Тады вектар артаганален плоскасці , а таму і вектару . Адсюль вынікае, што

.

Няхай =0 і дапусцім, што не кампланарны. Тады, згодна з тэарэмай 1, змешаны здабытак супадае з аб’емам паралелепіпеда, пабудаванага на гэтых вектарах. Але гэты аб’ем не можа быць нулявым. Атрыманая супярэчнасць даказвае, што вектары кампланарны.

Тэарэма 3. Калі у правым ортаўнармаваным базісе вектары маюць каардынаты

, , ,

то

.

Доказ.

Па азначэнню

.

Паколькі



,

то

.

Асноўныя уласцівасці змешанага здабытку.

  1. Калі у змешаным здабытку пераставіць два сумножніка, ен зменіць знак. Напрыклад,

.

  1. Калі адзін з сумножнікаў змешанага здабытку памножыць на лік, то гэты лік можна вынясці за знак змешанага здабытку. Напрыклад,

.

  1. Змешаны здабытак дыстрыбутыўны адносна кожнага сумножніка. Напрыклад,

.

Усе гэтыя уласцівасці вынікаюць з тэарэмы 3 і асноўных уласцівасцей дэтэрмінантаў, якія вывучаюцца у курсе алгебры.

Напрыклад, уласцівасць 1) вынікае з такой уласцівасці дэтэрмінантаў: калі у дэтэрмінанта пераставіць два радка, ен зменіць знак.

Задача 1. Знайсці аб’ем тэтраэдра з вяршынямі

, , , .

Сістэма каардынат – дэкартава.

Рашэнне.



Дабудуем дадзены тэтраэдр да паралелепіпеда (гл. мал.). Абазначым праз і іх аб’емы, а праз – агульную вышыню. Тады

, ,

адкуль вынікае, што

.

Няхай

, , .

Па тэарэме 1

.

Ведая каардынаты пунктаў , знойдзем каардынаты вектароў :

, , .

Па тэарэме 3

.

Таму , .

Усе гэта верна, калі каардынатны базіс – правы. Калі ен левы – адказ той жа. Чаму?

Адказ: .

Задача 2. Знайсці вышыню тэтраэдра з вяршынямі

, , , .

Адказ: 3.

Задача 3. Пункты з’яўляюцца пунктамі перасячэння медыян граней тэтраэдра . Знайсці адносіну аб’емаў тэтраэдраў і .

Рашэнне.



Няхай і – аб’емы тэтраэдраў і адпаведна. Тады (гл. мал.)

, .

.

.

.



Паколькі змешаны здабытак кампланарных вектараў роўны 0, то, карыстаючыся асноўнымі уласцівасцямі змешанага здабытку, атрымаем:

.

Гэта значыць, што

.

Адказ: 27.

дац. Мілаванаў М.В.


Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconПа дысцыпліне "Геаметрыя"
Азначэнне скалярнага здабытку вектараў. Уласцівасці скалярнага здабытку вектараў; доказ адной з ІХ. Вывад формулы для вылічэння скалярнага...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў icon1. Якія з наступных формулаў вызначаюць скалярны здабытак у прасторы : 1 ; 2, дзе; 3 ; 4 ; 2
Няхай І – ненулявыя вектары ў эуклідавай прасторы, – вугал паміж імі. Дакажыце, што: 1 вугал не змяняецца пры множанні гэтых вектараў...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў icon2. Знайсці ранг сістэмы вектараў. Вызначыць, ці з’яўляецца яна лінейна залежнай. Запісаць млнп сістэмы вектараў. 1,,; 2,,,; 3,,,,; 4,,,. Супольныя сістэмы лар
Вызначыць, ці з’яўляюцца сістэмы вектараў лінейна залежнымі. Для лінейна залежных сістэмаў запісаць нетрывіяльную лінейную камбінацыю...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconПытанні да экзамена па геаметрыі
Геаметрычныя вектары. Роўныя вектары. Складанне геаметрычных вектараў. Правіла трохвугольніка І паралелаграма. Асноўныя уласцівасці...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconАлгебра 2 курс, 3 семестр 2005/2006 Лектар: Барковіч А. А. Пытанні да заліку
Аперацыі над мноствамі: аб’яднанне, перасячэнне, рознасць, дапаўненне, дэкартавы здабытак

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconАлгебра 2 курс, 3 семестр 2005/2006 Лектар: Барковіч А. А. Пытанні да калоквіума №1
Аперацыі над мноствамі: аб’яднанне, перасячэнне, рознасць, дапаўненне, дэкартавы здабытак

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў icon-
Фильм-участник конкурсной программы Международного кинофестиваля в Сан-Себастьяне 2007, кинофестивалей в Торонто 2007 (специальный...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconБиблиографический указатель 2007 2008 гг
Одиннадцатый выпуск указателя включает печатные работы сотрудников Ростовского государственного университета путей сообщения 2007-...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconАддел адукацыі шчучынскага райвыканакама
Сш №1 г. Шчучына Хрыптовічу К. К. арганізаваць індывідуальнае навучанне на доме вучню 1 класа Хвайніцкаму Іл’е Віктаравічу на 2007/2008...

Курс з/а 2007 2008 н г. Тэма №1 Вектарны здабытак вектараў iconПубличный отчёт моу кожановская средняя общеобразовательная школа по итогам 2007-2008 учебного года. Основная цель деятельности школы в 2007-2008 учебном году
Основная цель деятельности школы в 2007-2008 учебном году достижение учебного результата каждым учеником на основе индивидуальных...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка