Г. П. Потапов д т. н., профессор




НазваГ. П. Потапов д т. н., профессор
Дата канвертавання25.11.2012
Памер172.91 Kb.
ТыпДокументы
Междисциплинарные аспекты в области прогноза

Г.П. Потапов д.т.н., профессор

НИИТТ КГТУ им. А.Н. Туполева, Нижнекамск

До 60-х годов двадцатого века учеными предполагалось, что есть два класса процессов прогноза. Первые описываются динамическими системами, где будущее однозначно определяется прошлым и предсказуемо. Великий Лаплас, имея в виду такие системы, полагал, что, располагая достаточно мощными компьютерами, мы сможем заглянуть как угодно далеко в будущее и как угодно далеко в прошлое.

Ко второму классу относятся процессы, где будущее не зависит от прошлого, то есть в прогнозировании выпадает случайная величина, никак не связанная с тем, что выпадало раньше.

В 70-е годы было понято, что существует третий, очень важный класс процессов, которые формально описываются динамическими системами, но их поведение может быть предсказано только на небольшой промежуток времени, а дальше исследователи будут вынуждены иметь дело со статистикой. Малые причины имели большие последствия. Математики называют это свойство чувствительностью к начальным данным.

Данные социологических опросов и имеющиеся во многих регионах России информационные возможности позволяют проводить подробный мониторинг общества – это десятки и сотни показателей. С помощью компьютерных сетей такой мониторинг можно осуществлять с интервалом в дни или часы. Но что делать с этой огромной и важной информацией? Ведь лицо, принимающее решения, способно удержать в поле зрения только несколько факторов и несколько количественных показателей. Как выбрать нужные показатели и принять разумные и взвешенные решения?

Мысль о принципиальной ограниченности нашей способности предсказывать даже в мире, который идеально описывается классической механикой, была высказана лауреатом Нобелевской премии Р. Фейнманом. Для существования горизонта прогноза не нужно, добавлять в уравнения, описывающие нашу реальность, какие-то случайные члены. Лоренц предложил простейшую модель конвекции воздуха (она играет важную роль в динамике атмосферы). Эта модель описывается внешне очень простыми уравнениями [2]. Компьютерный анализ системы Лоренца привел к принципиальному результату: динамический хаос, то есть непериодическое движение в детерминированных системах, где будущее однозначно определяется прошлым, имеет конечный горизонт прогноза.

С точки зрения математики, любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в фазовом пространстве. Важнейшая характеристика этого пространства – его размерность, то есть число величин, которые необходимо задать для определения состояния системы. Сегодня нелинейная динамика развеяла иллюзию глобальной предсказуемости: мы не можем предсказать, начиная с какого-то горизонта прогноза, поведение многих достаточно простых систем. Ляпуновские показатели таковы и горизонт прогноза таков, что этого предсказания на несколько десятилетий вперед сделать невозможно.

Однако нелинейная динамика позволяет увидеть не только принципиальные трудности, но и новые замечательные возможности описания системны. Нелинейная динамика позволяет устанавливать, сколько переменных необходимо для их описания, сколько переменных нужно для прогнозирования, она помогает выяснить, каким должен быть их мониторинг, чтобы выделить из нее самое главное. Прогнозирование перестало быть наукой, оно становится технологией.

Прогноз, с экономической точки зрения, обходится в десятки, а иногда и в сотни раз дешевле, чем ликвидация последствий уже происшедших бед. Однако масштаб этих работ в стране, на наш взгляд, пока не соответствует их значению. Здесь нужен широкий междисциплинарный подход. Многие вещи здесь должны быть пересмотрены и переоценены. В управлении риском основное и наиболее важное связано не только с описанием, со статистикой, с пониманием механизмов, но и с тем, что в ряде случаев, как будет показано ниже, можно определить предвестники рисков.

Для социальных систем компьютерные технологии могут служить своеобразным барометром: они "сворачивают" имеющуюся информацию в несколько показателей, которые помогают принять решение. Кроме того, представляется возможным «учить» прогнозировать соответствующие компьютерные системы, заранее не зная уравнений, необходимых для прогнозирования развития системы. В основу этих подходов легли методы, апробированные при прогнозе землетрясений [3], биохимической очистки воды в аэротенках с помощью микроорганизмов [4].

В частности, микроорганизмы вступают в жестокую борьбу за выживание уже более двух миллиардов лет, ибо их пропитание в форме спонтанно возникающих органических веществ было очень скудным. Именно подобные организмы «додумались» до того, чтобы использовать первичную энергию солнечного излучения, был «изобретен» фотосинтез, затем возникли растения и гетеротрофии [10]. Оболочка Земли обрела кислородный характер, что стало смертельным фактором для нерастительных живых существ. Эти живые существа самоорганизуясь приспособились к «загрязнению» окружающей их среды.

Для описания многих важных объектов у нас нет соответствующих уравнений, а если они и есть, то определение коэффициентов и настройка модели сами по себе представляют исключительно сложную задачу. Для того чтобы "научить" соответствующие компьютерные системы, нужно иметь длинные ряды достоверных и достаточно точные данных, характеризующих различные стороны изучаемого объекта. Пока этого практически нигде нет [5].

Для управления системой, созданной человеком, безусловно, необходима достоверная информация о состоянии внешней среды и элементов самой системы, о выполнении элементами своих функций. Однако совсем не просто получить информацию о состоянии такого важнейшего элемента в системе, как человек, созданного самой природой, по ее законам саморазвития. В таких системах управление должно быть обусловлено учетом социальных и психологических факторов, анализа и моделирования, происходящих в ней процессов в условиях дефицита информации и времени. Подобная наука управления нуждается в совершенствовании принципов, структур, методов и техники управления, поскольку серьезные ошибки в управлении СЭС могут нанести непоправимый ущерб на любом иерархическом уровне подобных микро и макросистем, вплоть до банкротства предприятий и глобальных финансовых кризисов.

Структура и стабильность находятся внутри самой видимой беспорядочности и нелинейных процессах. Научные достижения показывают нам новые пути понимания окружающей среды и могут подразумевать инновации по решению политических дилемм. Сейчас осуществляется революция, которая может изменить стратегическое мышление. Настоящая революция происходит в науке, и ее влияние может изменить эталоны стратегического мышления. Наше внимание пока еще заострено на краткосрочной международной реорганизации. Стратегическое мышление прошедших столетий не предоставляет достаточно пространства для инноваций. Стратегическое мышление покоится на научных парадигмах, которые обращаются к математике, языку наук. Однако один математический принцип из всех является для нас самым важным – это теорема неполноты Гёделя: «Любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения». В нашем мире есть неопределенный набор проблем, которые не имеют формально логических ответов. Есть проблемы, которые невозможно решить в каких-то определенных рамках.

Однако еще В.И. Вернадский отмечал, что грядущая наука способна к самоорганизации и будет выстраиваться не по дисциплинам, а по проблемам. Сегодня происходит взрывообразное умножение животрепещущих проблем, которые даже не могут быть корректно поставлены в рамках какой-либо единственной научной специальности. Поэтому необходимо демонстрировать методы комплексного обсуждения вопросов, взаимно дополняя ракурсы различных дисциплин. Крупные научно-технологические проекты национального масштаба, как правило, междисциплинарные.

Синергетика пытается синтезировать предыдущие подходы на базе современной культуры моделирования, обогащая их прорывными открытиями последней трети ХХ века, прежде всего в области универсальных динамических теорий (теорий катастроф, динамического хаоса, самоорганизации), а так же в области компьютерного эксперимента и математического моделирования.

Способность к семантическим вычислениям реализуется в геометрии и топологии, которые характеризуются качеством и количеством в их связи с общим понятием энергетического поля. Присутствие поля исключает истинный вакуум, содержит информацию посредством ее волновой динамики и повсеместной имманентной синхронизации от макрореальности до квантового поля по Гейзенбергу. Такой подход к анализу и синтезу эволюционных систем добавляет качество в математические уравнения и любой другой вычислительный инструмент, позволяет преодолеть вышеуказанную проблему трансвычислений и невычислимости классического или квантового происхождения. Представляется возможным описывать социально-экономические системы (СЭС) как биосистемы в пространстве-времени и теориях квантового поля вплоть до предлагаемых автором свойств макроскопических квантовых объектов. Возможен управляемый синтез СЭС согласно долгосрочным планам [6].

Особое внимание ученых обращено на информационно-энтропийный метод оценки информации, поскольку по определению энтропия как величина пропорциональная логарифму вероятности состояния системы является параметром, позволяющим качественно и количественно оценивать информацию.

Помимо количественной оценки информации в СЭС важны такие ее свойства, как истинность, своевременность, ценность, полнота и т.д. Поэтому важно дать определение информации с помощью указания на связь этого понятия с категориями отражения и активности. Трактовать информацию как имманентный атрибут материи, необходимый момент ее самодвижения и саморазвития. Это особенно важно применительно к высшим формам живой материи – биологической и социальной. С единых методологических позиций может быть рассмотрена деятельность индивидуального и общественного сознания, экономическая, политическая, интеллектуальная деятельность различных субъектов СЭС. Информационные ресурсы являются неистощимыми и обладают другими методами воспроизведения и обновления, чем материальные и энергетические ресурсы. Информационные аспекты в СЭС составляют особый предмет междисциплинарной науки – синергетики. Не случайно в последние 15 лет многие известные философы в научных изысканиях отмечают общую методологию – синергетический подход [11].

В качестве примера проявления самоорганизации СЭС можно показать возможности использования естественных законов квантового развития таких систем [6], когда длина волны определяется как пространственно-временная эволюция некоторого состояния. Используя основные свойства волны, можно следить не за частицами среды, в которой распространяется волна, а за параметрами, которые описывают состояние среды. Понятия длины и амплитуды волны могут соответствовать некоторому характерному параметру системы, который может быть принят в качестве обобщённого параметра изучаемой системы, и подтверждает важное свойство синергетики – междисциплинарное образование.

Еще Н. Бор отмечал, что открытие Планка служит основой для упорядочения значений не только в атомных явлениях, но привело к полному преобразованию принципов описания явлений природы. Идеи, положенные в основу квантовой механики по Бору могут быть использованы при исследовании биологических и социальных процессов и даже процессов деятельности головного мозга.

Здесь речь идет о соотношении между психическими закономерностями, проблемой причинности физических явлений, не выявленной дополнительности. Предположения Н. Бора полностью соответствуют психофизиологическому закону Вебера-Фехнера, характеризующему уровень интенсивности ощущений и который используется при нормировании воздействия опасных и вредных факторов на человека.

Однако, всякое состояние любой системы – это вещь в себе до тех пор, пока мы не найдем способ его наблюдения. Вернер Карл Гейзенберг отбросил идеализацию классической физики – понятие «состояние физической системы, независимое от наблюдения» и тем самым предвосхитил одно из следствий принципа дополнительности: «состояние» и «наблюдение» – дополнительные понятия. Сами по себе понятия «волна» и «частица», «состояние» и «наблюдение системы» суть некие идеализации, не имеющие отношения к квантовому миру, но необходимые для его понимания, поскольку включают в себя дополнительные понятия, несовместимые в рамках обычной логики.

В СЭС свои размерности и величины параметров: параметр действия (аналог постоянной Планка), энергия, частота, импульс действия, обобщенная координата и др. К сожалению, в синергетике шкала размерности измерений нелинейности, когерентности, открытости ещё не сформирована. И здесь синергетикой обусловлен поиск инварианта, связывающего допустимые границы нелинейности-когерентности-открытости.

Анализ физического смысла постоянной Планка приводит многих учёных к выводу: квант действия, адиабатическая постоянная, мера, определяющая периодичность колебательных или волновых процессов, – могут быть введены и при изучении явлений природы и социальных явлений, не имеющих прямого отношения к тем явлениям, для которых определяющее значение имеет постоянная Планка. Здесь тормозом является лишь принятая в физике постоянная величина и размерность постоянной Планка h.

В нашей модели, параметром порядка процесса самоорганизации СЭС является ее активность (АС) как особый вид ресурса (информационно-энтропийный параметр). Этот параметр принимается за «социально-экономический потенциал» СЭС, подобный температуре в физической системе. Тогда энергию такой системы представим в виде произведения энтропии на социально-экономический потенциал СЭС, где величина энтропии СЭС определяется выражением [4]:

. (1)

Параметр энтропии-информации s(t) отличается от ее физического значения по Больцману, как видом выражения, так и зависимостью от времени ряда экономических параметров СЭС. Здесь: x6 – темп роста производства продукции; x5 – объем продукции; x4 – затраты, обусловленные величиной АС; x0 – выручка от реализации товарной продукции x5; x7 – динамическая величина АС; x7 – начальное значение АС; τ – период цикла прогноза развития СЭС; t – текущее время; k – коэффициент, учитывающий размерность энтропии.

Волновую функцию квазисвободной СЭС с определенным импульсом p, энергией E и параметром действия h представим по Шредингеру:

, (2)

где h – параметр действия в виде величины как результат деления базовой энергии СЭС на частоту ее колебания в виде вероятности использования информационного потенциала; А – нормированная амплитуда, квадрат которой определяет вероятность состояния СЭС в заданном интервале изменения обобщенной координаты x; p – импульс предприятия; E – кинетическая энергия развития предприятия;.

Частота f колебаний системы в нашем случае (в отличие от частоты в формуле Планка E = hf) определяется выражением:

. (3)

Формализовать понятие информации и информационного процесса, описать превращения информации в процессах различной природы обусловлено имманентной активностью материи, ее способностью к вероятному саморазвитию. Детерминизм – это синоним самой возможности существования систем и процессов, а также соответственно их описания. С помощью понятия обобщенных координат и импульса, их произведения как параметра действия можно характеризовать квантование энергии для любых неадиабатических процессов.

В статистической физике важную роль играет каноническое распределение Гиббса, обусловливающего распределение вероятностей различных возможных состояний некоторой квазизамкнутой подсистемы, в которой ее собственная энергия в среднем велика по сравнению с энергией взаимодействия с остальными частями замкнутой системы, называемыми термостатом.

Таким образом, мы допускаем, что квантовая механика в СЭС – это математическая схема или система дифференциальных уравнений, позволяющая вычислять измеримые характеристики социально-экономических явлений. Разумеется, в СЭС существуют естественные пределы, где математические процедуры имеют смысл, за границами которых надо учитывать переход количества в качество.

В качестве примера рассмотрим динамику изменения основных экономических параметров некоторого нефтехимического предприятия. В начале прогнозируемого периода развития примем обозначения: x0 – выручка от реализации товарной продукции, млрд. руб./год; x1 – средняя цена товарной продукции на рынке, тыс. руб./т.; x2 – величина спроса продукции на рынке, млн.т./год; x3 – темп роста спроса продукции на рынке, млн.т./год2; x4 – затраты на производство товарной продукции, млрд. руб./год (х4 = х7∙х5); x5 – объем производства товарной продукции, млн.т./год; x6 – темп роста выпуска товарной продукции, млн.т./год2; x7 – АС, тыс. руб./т.; x8 – себестоимость продукции, тыс. руб./т.; x9 – волновая функция; x10 – импульс предприятия, ; x11 – обобщенная «координата»; x11= x4∙τ, руб.; x12 – кинетическая энергия развития предприятия, ; x13 – прибыль, млрд.руб./год; x14 – частота колебаний системы, 1/год; x15 –энтропия, ; x16 – динамический коэффициент кванта действия СЭС (в отличии от постоянной Планка), x16 = x12/x14, .

Обозначим значения искомых параметров в виде x0x16 вместо указанных выше их начальных величин: x0 – x16. Размерности квантовых параметров СЭС обусловлены их определением: импульс , энергия СЭС равна . В качестве социально-экономического потенциала СЭС (аналога температуры в физической системе) принято значение параметра порядка АС, имеющего размерность себестоимости. В таком случае размерность энтропии СЭС определится, как и принято, из отношения энергии к параметру порядка (социально-экономическому потенциалу развития).

Ниже показаны результаты расчета экономических параметров для случая, когда динамический коэффициент кванта действия меняется за время прогноза (рис. 1), то есть фактически еще не является постоянной величиной за время прогноза, и когда квант действия является постоянной величиной во времени, (рис. 2). Здесь x13 – прибыль предприятия, млрд. руб./год; L = x7 – x7 – использование ресурса активности системы в виде положительной величины,





Рис.1 может служить примером ситуации, когда система не обладает еще свойствами дуализма, ее состояние изменяется не по закону физической квантовой механики. Система находится в стадии зарождения квантового состояния, когда квант действия лишь вырождается в константу. Однако в таких случаях величина квантового действия соизмерима с обычными масштабами СЭС и имеет свою размерность. После четырех лет динамика изменения основных экономических параметров показывает особенность (сингулярность) данного предприятия – проявление момента обострения, что необходимо учитывать руководству предприятия в процессе прогнозирования ожидаемых параметров.





На рис. 3 показана динамика изменения ресурса активности системы L, динамического коэффициента кванта действия x16 и частоты колебаний системы ω для значений прогноза 5, 10, 15 и более лет. Видно, что для заданных начальных условий развития СЭС при больших временах прогноза коэффициент кванта действия x16 может скачкообразно принять постоянную величину. СЭС переходит в новое иерархическое состояние, после которого система может развиваться с новыми начальными условиями и новым временем прогноза. Можно сказать, что для каждой системы есть свой горизонт прогноза.

Это происходит, когда частота колебаний уменьшается до нулевого значения из-за равенства величин и в формуле (3). При этом динамика изменения величины L на рис. 3 адекватна ее изменению в условиях h = const, рис. 2.

На рис. 4 показана динамика изменения параметров, приведенных на рис. 3, но для других начальных условий расчета. Видно, что скачка коэффициента кванта действия x16 может и не быть даже за период прогноза более 50 лет.



Анализируя системы такого рода, нелинейная динамика помогает устанавливать количество переменных для прогнозирования и выяснять каким должен быть мониторинг. Такой системный синтез позволяет из массы переменных извлечь то необходимое, что нужно для принятия требуемого решения.

Здесь уместно привести слова Л.И. Мандельштама: «Было бы бесплодным педантизмом стараться «точно» определить, какими именно процессами занимается теория колебаний. Важно не это. Важно выделить руководящие идеи, основные общие закономерности. В теории колебаний эти закономерности очень специфичны, очень своеобразны, и их нужно не просто «знать», а они должны войти в плоть и кровь».

В условиях h(t) происходит постоянное «возбуждение» СЭС до той поры, когда реализуются условия образования «стационарной» рублевой «орбиты» x11. Картина этого явления похожа на поведение СЭС как солитона–волны, возникающей в условиях нелинейной динамической системы (рис. 5).

Обычная линейная волна имеет форму правильной синусоиды рис.5(а). Нелинейная волна Кортевега-де Фриза выглядит как последовательность далеко разнесённых горбиков, разделённых слабо выраженной впадиной (б). При очень большой длине волны от неё остаётся только один горб –„уединённая“ волна, или солитон (в) в виде горбика [8]. Линейные волны подчиняются принципу суперпозиции. При наложении нескольких линейных волн форма результирующей волны определяется простым сложением исходных волн.



При обычных условиях это справедливо для звуковых, световых и радиоволн, а также для волн, которые рассматриваются в квантовой теории. Однако для волн в жидкости это не верно, поскольку уравнения гидродинамики нелинейные.

Свойство линейности акустических и электромагнитных волн соблюдается при обычных условиях, под которыми подразумеваются, прежде всего, небольшие амплитуды волн. Если же амплитуда резко увеличивается, волны теряют линейность и тогда возникают новые явления: в акустике известны ударные волны, которые распространяются со сверхзвуковой скоростью, нелинейные световые волны получают с помощью мощных импульсных лазеров. Прохождение таких волн через различные среды может менять свойства самих сред. Гидродинамика же проявляет нелинейность уже в самых простых явлениях, и развивалась она в полной изоляции от „линейной“ физики. Кроме того, чтобы в среде смогла родиться „уединённая“ волна, условия нелинейности недостаточно.

Несинусоидальную волну любой формы по теореме Фурье можно представить совокупностью простых синусоидальных составляющих с различными частотами  амплитудами и начальными фазами. Эти составляющие распространяются с различными фазовыми скоростями. Быстрее всех будет двигаться вершина горбика волны. В некоторый следующий момент его передний фронт станет круче, что приведёт к „опрокидыванию“ волны при её распространении. Солитон возникает на стыке нелинейности и дисперсии (зависимости скорости фазовой волны от частоты), которые компенсируют друг друга, в результате чего обеспечивается устойчивость солитоновой волны («Наука и жизнь» № 8, 1992 г.). При определённой форме и скорости горбика волны может наступить полное восстановление первоначальной формы, образуется солитон.

Невольно хочется провести аналогию квантовых переходов в физическом микромире и временном процессе перехода макросистем в новое состояние уединенной волны-частицы, – солитона. Постоянная Планка h очевидно тоже появилась во времени, в процессе образования атомного микромира [9, 6]. Прав Л. Больцман, давая самое короткое определение понятию наука: «Наука – это поиск аналогий».

Ранее нами было уже показано, что особое значение имеют центральные параметры порядка в биологических и общественных системах. Причем важно учитывать выводы Вернера Эбелинга: «Чтобы найти решения, причем простые и эффективные, необходимо проводить междисциплинарную исследовательскую работу. Нужно, чтобы у нас хватило смелости проводить эксперименты с новыми механизмами регулирования, и даже безуспешные попытки не должны опрометчиво прекращаться. Никогда нельзя забывать о том, речь здесь идет не о частных интересах, а выживании человека и сохранении окружающей среды на Земле» [10, 11]. Хочется лишь заметить, что ограничивать самоорганизацию биосистем невозможно. Самоорганизация сама нас «учит», предупреждает, показывает наши «огрехи» и возможности их избежать.

Предлагаемая динамическая математическая модель прогноза отображает проявление самоорганизации СЭС, что представляет практический интерес для анализа многих факторных зависимостей параметров СЭС. Это способствует повышению качества прогноза и выявлению альтернатив путей развития.

С помощью предлагаемой синергетической модели и современных программных продуктов можно анализировать различные сценарии развития СЭС, разрабатывать не только краткосрочные, но и более длительные прогнозы развития СЭС, оценивать их эффективность с учетом специфики, уменьшать социально-экономические риски, неизбежные в реальных условиях рыночной экономики.


Литература

  1. Стивен Манн Теория хаоса и стратегическое мышление / spkurdyumov.narod.ru›mann.htm.

  1. Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journ. of the Atmospheric Science. 1963. V. 20. P. 130-141.

  2. Владимиров B.A., Воробьев ЮЛ., Малинецкий Г.Г. и др. Управление риском. Риск, устойчивое развитие, синергетика. М.: Наука, 2000.

  3. Потапов Г.П. Информационно-синергетические аспекты развития социально-экономических систем: монография / Г.П. Потапов. - Нижнекамск: Изд-во НФ КГТУ им. А.Н. Туполева, 2009. – 122 с.

  4. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. Введение в нелинейную динамику. М.: Эдиториал УРСС, 2000.

  5. G.P. Potapov Immanent properties of socio-economic system as a wave // PROBLEMS OF NONLINEAR ANALYSIS IN ENGINEERING SISTEMS, international Journal, Kazan: KSTU of A.N. Tupolev name (KAI) – National Research University, No. 1(35), vol. 17, 2011.

7. Потапов Г.П. Имманентные свойства социально-экономической системы как волны. Актуальные проблемы гуманитарных и естественных наук №5. М: 2010, (ч. 1).

8. Филипов А.Т. Многоликий солитон. – М.: Наука, 1990, 288 с.

  1. Князева Е.Н. Курдюмов С.П. Эволюция вселенной с точки зрения синергетики / http://www.spkurdyumov.narod.ru

10. Вернер Эбелинг Самоорганизация – глобальные стратегии оформления будущего / http://www.spkurdyumov.narod.ru

11. Князева Е.Н. Сложные системы и нелинейная динамика в природе и обществе / http://www.spkurdyumov.narod.ru


Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconПотапов Л. П. Этнический состав и происхождение алтайцев. Историко-этнографический очерк. / Отв ред. А. П. Окладников
Потапов Л. П. Этнический состав и происхождение алтайцев. Историко-этнографический очерк. / Отв ред. А. П. Окладников. – Л.: Наука,...

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconВ. В. Литвинчук В. М. Баранов локомотивы (О. К)
Профессор кафедры «Тепловозы и тепловые двигатели» Дальневосточного государственного университета путей сообщения, профессор Дмитренко...

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconПрезидент мгту им. Н. Э. Баумана, профессор, д т. н., чл корр. Ран
Нобелевский лауреат, академик ран, декан факультета спбгпу, д ф м н., профессор

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconОписание Примечания Цена подготовительный этап
Всего средств в наличии 6’308$. При этом не сдали деньги Ушаков Константин, Агарков Олег и Потапов Вячеслав

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconМатематика
Алгебра и начала анализа. 10 класс: Учебник для общеобра­зовательных учреждений/ [ С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников,...

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconМетодические рекомендации Основы анестезиологии
Составители: профессор Цирятьева С. Б., профессор Кечеруков А. И., доцент Горбачев В. Н., доцент Алиев Ф. Ш., к м н. Чернов И. А.,...

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconФормирование двигательной готовности специалистов железнодорожного транспорта в условиях профессионально ориентированной системы физического воспитания
Самсонов Виктор Серафимович, доктор педагогических наук, профессор фгбоу впо «Бурятский государственный университет», профессор кафедры...

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconВ. А. Барабанщиков, доктор психологических наук, профессор (Институт психологии рао)
Л. Б. Филонов, доктор психологических наук, профессор (Московский государственный социальный университет)

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconУчебное пособие для студентов, Харьков: Издательство "Константа"
Рецензенты: докт философ, наук, профессор Попова И. М.(Одесский госуниверситет). докт социолог, наук, профессор Бакиров В. С. (Харьковский...

Г. П. Потапов д т. н., профессор iconПолитика великих держав в афганистане и пуштунские племена (1919 ­ ­-
В. И. Шеремет (ив ран) доктор исторических наук, профессор В. Н. Пластун (Новосибирский государственный университет) доктор исторических...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка