Поўныя метрычныя прасторы




НазваПоўныя метрычныя прасторы
старонка1/6
Дата канвертавання11.11.2012
Памер341.19 Kb.
ТыпДокументы
  1   2   3   4   5   6
Тэарэма 5.2 (Бальцана-Вайерштраса ў метрычнай прасторы Rm). З усякай абмежаванай паслядоўнасці прасторы Rm можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Частковы выпадак гэтай тэарэмы для прасторы R1 быў даказаны на першым курсе.

Тэарэма 5.3. Для таго, каб паслядоўнасць (xn) пунктаў метрычнай прасторы С[a,b] з чэбышоўскай метрыкай збягалася да элементу х гэтай прасторы , неабходна і дастаткова, каб функцыянальная паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягалася да х на [a,b].

Дакажам з дапамогай крытэрыя раўнамернай збежнасці.

Вядома, што функцыянальная паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі х тады і толькі тады, калі



З улікам азначэння метрыкі ў прасторы С[a,b] мы маем роўнасць

(гл. Азначэнне 4.4) па метрыцы у метрычнай прасторы С[a,b].

Прыклад 5.2. xn(t) = tn t;nN. Вядома, што на ;/2 функцыянальная паслядоўнасць xn(t) = tn раўнамерна збягаецца да лімітавай функцыі x (t) = 0. Такім чынам t; паслядоўнасць (xn) збягаецца да х = 0 у метрычнай прасторы С[0;1/2].

Тэарэма 5.4. Калі а – лімітавы пункт мноства Е метрычнай прасторы

(X, ), то існуе паслядоўнасць (xn), члены якой належаць Е і няроўныя а, якая збягаецца да а у гэтай метрычнай прасторы.

Доказ аналагічны доказу для прасторы R.


§6. Поўныя метрычныя прасторы


Азначэнне 6.1. Паслядоўнасць (xn) метрычнай прасторы (Х, ) называецца фундаментальнай, калі 0 N()Nn,m > N (xm,xn).

Прыкладам фундаментальнай паслядоўнасці з'яўляецца любая збежная паслядоўнасць пунктаў метрычнай прасторы.

У прасторы R любая фундаментальная паслядоўнасць збежная. Але для адвольнай м.пр. не ўсякая фундаментальная паслядоўнасць метрычнай прасторы (Х, ) збягаецца ў гэтай прасторы.

Напрыклад, у метрычнай прасторы Х = (Q; =х у) паслядоўнасць

xn = (1 + 1/n)n e, калі n , але е X I).

Азначэнне 6.2. Метрычная прастора называецца поўнай метрычнай прасторай, калі любая фундаментальная паслядоўнасць пунктаў гэтай прасторы збягаецца ў ёй.

Прыклад 6.1. Метрычная прастора R – поўная метрычная прастора, паколькі любая яе фундаментальная паслядоўнасць збягаецца да ліку, які належыць прасторы R. Гэта выцякае з крытэрыя Кашы.

Прыклад 6.2. Дакажам, што прастора Rm - поўная метрычная прастора.

Няхай паслядоўнасць (xn= x1(n), x2(n),…, xm(n)) (6.1) – адвольная фундаментальная паслядоўнасць прасторы Rm. Пакажам, што паслядоўнасць збежная і яе ліміт належыць прасторы Rm.

Па азначэнню фундаментальнай паслядоўнасці і азначэнню метрыкі ў прасторы Rm

0 N()N p,n >N (xp,xn)

Адпаведна доказу тэарэмы 5.1  xk(p) xk(p) . Такім чынам, была даказана фундаментальнасць лікавых паслядоўнасцей (x1(n)), (x2(n)),…, (xm(n)), а адсюль і іх збежнасць (па крытэрыю Кашы).

Няхай

Разгледзім пункт а = (а1, а2, …, аm). Паколькі а1, а2, …, аm R, то

а Rm. Па тэарэме аб пакаардынатнай збежнасці паслядоўнасці ў прасторы Rm атрымалі, што ў метрычнай прасторы Rm паслядоўнасць (xn) збягаецца да аRm . Гэта значыць, што прастора Rm поўная метрычная прастора.  Прыклад 6.3. Дакажам, што метрычная прастора С[a,b] з'яўляецца поўнай.

Няхай (xn) – адвольная фундаментальная паслядоўнасць у метрычнай прасторы С[a,b] , члены яе непарыўныя на [a,b] функцыі.

Дакажам, што паслядоўнасць (xn) збягаецца ў метрычнай прасторы С[a,b]. Спачатку дакажам, што яна збягаецца да лімітавай функцыі х на адрэзку [a,b].

Па азначэнню фундаментальнай паслядоўнасці

0NN m,n > N (xm,xn)

 xm (t) xn(t)< n>N t[a,b] (6.2)

Гэта значыць, што t[a,b] (фіксуем t) фундаментальнай з’яўляецца лікавая функцыянальная паслядоўнасць (xn (t)). Таму яна мае ліміт, які абазначым праз для кожнага фіксаванага t[a,b].

Пакажам, што лімітавая функцыя x(t) непарыўная на [a,b]. Для гэтага ў няроўнасці (6.2) перойдзем да ліміту пры m. Атрымаем

x (t) xn(t) n>N t[a,b].

Такім чынам, мы даказалі, што

0NN m,n > N x (t) xn(t) t[a,b].

А гэта значыць, што паслядоўнасць (xn) раўнамерна збягаецца да функцыі х на [a,b]. Паколькі ўсе члены паслядоўнасці (xn) непарыўныя на [a,b] функцыі, то лімітавая функцыя таксама непарыўная на гэтым адрэзку, гэта значыць з’яўляецца элементам метрычнай прасторы С[a,b]. Па тэарэме 5.2 у гэтай прасторы паслядоўнасць (xn) збягаецца да х. Гэта значыць, што прастора С[a,b] поўная метрычная прастора. 
  1   2   3   4   5   6

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Поўныя метрычныя прасторы iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Поўныя метрычныя прасторы iconАзначэнні І прыклады метрычных прастораў
Метрычныя прасторы” І шэсць варыянтаў кантрольных работ па тэматыцы раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае...

Поўныя метрычныя прасторы iconМетрычныя прасторы азначэнні І прыклады метрычных прастораў
У ім змешчаны тэарэтычны выклад дзвух раздзелаў матэматычнага аналізу “Метрычныя прасторы” І “Дыферэнцыяльнае І інтэгральнае злічэнне...

Поўныя метрычныя прасторы iconДадатак Кантрольная работа па раздзелах Метрычныя прасторы
Назавіце мноства лімітавых, ізаляваных, унутраных, межавых пунктаў І пунктаў дотыку мноства м у метрычнай прасторы (R,), дзе r –...

Поўныя метрычныя прасторы iconПытанні да калёквіума па тапалогіі
Адкрытыя мноствы ў метрычнай прасторы. Натуральная тапалогія метрычнай прасторы

Поўныя метрычныя прасторы iconПытанні да экзамена па геаметрыі
...

Поўныя метрычныя прасторы icon1. Якія з наступных формулаў вызначаюць скалярны здабытак у прасторы : 1 ; 2, дзе; 3 ; 4 ; 2
Няхай І – ненулявыя вектары ў эуклідавай прасторы, – вугал паміж імі. Дакажыце, што: 1 вугал не змяняецца пры множанні гэтых вектараў...

Поўныя метрычныя прасторы iconIндывiдуальныя заданнi па тэме «Функцыi некалькiх зменных» для самастойнай работы студэнтау
Знайсцi усi частковыя вытворныя I поуныя дыферэнцыялы першага I другога парадкау ад функцыi

Поўныя метрычныя прасторы iconХто І чаму ўжывае замаўляе рэкляму ў пераважна расейскамоўнай інфармацыйнай прасторы Беларусі?
Хто І чаму ўжывае замаўляе рэкляму ў пераважна расейскамоўнай інфармацыйнай прасторы Беларусі? Тэму дасьледуе Севярын Квяткоўскі

Поўныя метрычныя прасторы iconДзе пуставалі палёў прасторы

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка