§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку




Назва§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
старонка1/3
Дата канвертавання05.11.2012
Памер167.68 Kb.
ТыпДокументы
  1   2   3

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) і манатоннасці функцыі на прамежку


Тэарэмы16.1–16.3. Няхай на адрэзку [a, b] азначана непарыўная функцыя f(x), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Менавіта тады:

16.1. Для таго каб f(x) была нязменнай на адрэзку [a, b], неабходна і дастаткова, каб f '(x) = 0 x  (a, b).

16.2. Для таго каб f(x) была неўбываючай (неўзрастаючай) на адрэзку

[a, b], неабходна і дастаткова, каб f '(x)  0 (f '(x) 0) x  (a, b).

16.3. Для таго каб f(x) была ўзрастаючай (ўбываючай) на aдрэзку [a, b], дастаткова, каб f '(x) > 0 (f '(x) < 0) x (a, b).

T.16.1.  Неабходнасцi. f(x) = c = constf '(x) = 0x (a, b).

Дастатковасцi. Дакажам, што f(x) = c, г. зн. f(x1) = f(x2) x1, x2 [a, b].

Паколькі на адрэзку [x1, x2] функцыя f(x) здавальняе тэарэме Лагранжа, то існуе пункт с[x1, x2] такі, што f(x2)  f(x1) = f '(c)(x2 x1), f '(c) = 0 (па ўмове)  f(x2)  f(x1) = 0  f(x2) = f(x1). 

Тэарэму 16.2 прымем без доказу.

т.16.3 для ўмовы f '(x) > 0 x(a, b). Дакажам, што x1,x2(a, b)(x2 > x1) f(x2) > f(x1).

Паколькі на адрэзку [x1, x2] функцыя f(x) здавальняе тэарэме Лагранжа, то існуе пункт с[x1, x2] такі, што f(x2)  f(x1) = f '(c)(x2 x1) > 0  f(x2)  f(x1) > 0  f(x2) > f(x1). 

Аналагічна даказваецца тэарэма для ўмовы f '(x) < 0.

Заўвага 16.1. Тэарэма 16.3 не з’яўляецца неабходнай умовай узрастання (ўбывання) функцыі, паколькі строга манатонная функцыя ў асобных пунктах можа мець вытворную, роўную нулю.

Напрыклад, f(x) = x3 узрастае на мностве R, хаця ў пункце х = 0 f '(0) = 0.

§ 17.Экстрэмумы функцыі

17.1. Лакальныя экстрэмумы


Азначэнне 17.1. Няхай функцыя f азначана на інтэрвале (a, b). Пункт

x0 (a,b) называецца пунктам лакальнага мінімуму (min) (максімуму  max)) функцыі f, калі існуе наваколле U(x0, ) = (x0, x0 + )(a, b) такое, што xU(x0, ) выконваецца няроўнасць f(x) f(x0) (f(x) f(x0)).

Азначэнне 17.2. Няхай функцыя f азначана на інтэрвале (a, b). Пункт

x0(a,b) называецца пунктам строгага лакальнага мінімуму (максімуму) функцыі f, калі існуе наваколле U(x0, ) (a, b) такое, што xU(x0, ) выконваецца няроўнасць f(x) > f(x0) (f(x) < f(x0)).

Пункты лакальнага max і min функцыі f называюцца пунктамі лакальнага экстрэмуму, а значэнні функцыі ў гэтых пунктах – адпаведна лакальнымі max i min.

З рысунка 7 відаць, што x1 (x2) – пункт строгага лакальнага max (min), а пункты інтэрвала (c,b) – пункты лакальнага max; f(x1), f(x2), f(x3) – лакальныя экстрэмумы.

Тэарэма 17.1 (неабходная ўмова экстрэмуму). Калі функцыя f дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b) i x0 (a, b) – пункт лакальнага

Рыс.7 экстрэмуму функцыі f , то f '(x0) = 0.

З азначэнняў 17.1 і 17.2 вынікае, што існуе такое наваколле пункта х0, у якім функцыя будзе прымаць сваё найменшае (х0  п. лакальнага min) або найбольшае (х0  п. лакальнага max) значэнне, а па тэарэме Ферма f '(x0) = 0. 

Заўвага 17.1. Роўнасць f '(x0) = 0 з’яўляецца неабходнай умовай існавання экстрэмуму, але не дастатковай.

Прыклад 17.1. f(x) = x3, f '(x) = 3x2 = 0  x = 0, але х = 0 не з’яўляецца пунктам экстрэмуму, паколькі f '(x) > 0 xR і таму не мае экстрэмумаў.

Заўвага 17.2. Калі f недыферэнцавальная ў пункце х0, то х0 можа быць, а можа і не быць пунктам экстрэмуму.

Прыклад 17.2. Для функцыі f(x) = x пункт х = 0 – пункт min, але ў гэтым пункце вытворная не існуе.

Прыклад 17.3. Для функцыі у пункце х = 0 існуе бясконцая выт-ворная, такім чынам, яна не з’яўляецца дыферэнцавальнай, функцыя ўзрастае на мностве R і таму не мае экстрэмумаў.

Прыклад 17.4. Для функцыі f(x) = у пункце х = 0 існуе бясконцая вытворная:але пункт х = 0 – пункт лакальнага min.

Азначэнне 17.3. Пункты, у якіх вытворная функцыі роўна 0, называюцца стацыянарнымі пунктамі.

Азначэнне 17.4. Пункты, у якіх вытворная функцыі роўна 0 або ,або наогул не існуе, будзем называць крытычнымі пунктамі І роду – гэта пункты падазроныя на экстрэмум.

Выснова з т.17.1 і заўвагі 17.2: неабходнай ўмовай экстрэмуму з’яўляец-ца або роўнасць вытворнай функцыі 0 у пункце х0, або недыферэнцавальнасць функцыі ў гэтым пункце.

Тэарэма 17.2 (І дастатковая ўмова экстрэмуму). Няхай функцыя f дыфе-

рэнцавальная на інтэрвале (a, b), за вылічэннем, можа быць, пункта x0  (a, b), непарыўная ў пункце x0. Калі існуе наваколле пункта х0U(x0,) (a,b), такое, што

1) x  (x0 ; x0) f '(x) > 0, а x  (x0; x0 + ) f '(x) < 0, то х0  пункт лакальнага max функцыі f;

2) x  (x0 ; x0) f '(x) < 0, а x  (x0; x0 + ) f '(x) > 0, то х0  пункт лакальнага min функцыі f.

П.1. Паколькі x  (x0 ;x0) f '(x) > 0, то па тэарэме 10.3 функцыя f узрастае на інтэрвале (x0 ; x0), г. зн. няроўнасці x < x0 адпавядае няроўнасць f(x) < f(x0), а паколькі x  (x0; x0 + ) f '(x) < 0, то па тэарэме 10.3 функцыя f убывае на інтэрвале (x0; x0 + ), г. зн. няроўнасці x > x0 адпавядае няроўнасць f(x) < f(x0). У рэшце для пункта х0U(x0, ) выконваецца няроўнасць f(x) < f(x0). А па азначэнню 2.11 х0  пункт лакальнага max. 

Аналагічна даказваецца п.2.

Заўвага 17.1. Тэарэму 17.2 можна сфармуляваць наступным чынам:

калі пры пераходзе праз пункт х0 злева направа вытворная мяняе знак з " + " на "", то х0  пункт лакальнага max, а калі з "" на " + ", х0  пункт лакальнага min.

Заўвага 17.2. Калі пры пераходзе праз пункт х0 знак вытворнай не мяняетется, то ў пункце х0 няма экстрэмуму.

Прыклад 17.5. Даследаваць на экстрэмум функцыю

f(x) = x  3

D(f) = R.

.

Канечная вытворная ў пункце х = 0 не існуе. f '(0) = . Такім чынам, пункты х = 0,1 крытычныя пункты І роду. Гэтыя пункты разбіваюць D(f) на прамежкі манатоннасці функцыі. Азначым знакі вытворнай на кожным з прамежкаў. Пры пераходзе праз пункт х = 1 вытворная мяняе свой знак з " + " на "–", а праз пункт х = 1 – з "–" на " + " , праз пункт х = 0 – знак вытворнай нязменны. Такім чынам, х = 1 – п. лакальнага max, x = 1  п. лакальнага min; fmin = f(1) = 2, fmax = f(1) = 2.

Тэарэма 17.3 (2-гая дастатковая ўмова экстрэмуму). Няхай функцыя f азначана на (a, b), двойчы дыферэнцавальная ў пункце x0  (a, b) i f '(x0) = 0, тады:

1) калі f "(x0) < 0, то x0  пункт лакальнага max;

2) калі f "(x0) > 0, то x0  пункт лакальнага min.

П.1. Няхай f "(x0) < 0. Па азначэнню:

.

На падставе тэарэмы аб захаванні знака функцыі, якая мае ліміт

(Калі), мае месца няроўнасць .

Калі x < x0, то f '(x) > 0, калі x > x0, то f '(x) < 0. Па тэарэме 17.1 х0  пункт лакальнага max. 

Аналагічна даказваецца п.2 тэарэмы 17.3.

Прыклад 17.6. Даследаваць на экстрэмум функцыю

f(x) = 1/4 x4  1/2 x2.

Рашэнне: f '(x) = x3 x2 = 0  x = 0, x =  стацыянарныя пункты.

f "(x) = 3x2  1. f "(0) = 1 < 0  x = 0  пункт лакальнага max,

fmax = f(0) = 0; f "(1) = f "(1) = 2 > 0  x = 1  пункты лакальнага min,

fmin = f "(1) = f(1) = 1/4.

17.2. Абсалютны экстрэмум


Азначэнне 17.3. Няхай функцыя f вызначана на прамежку Х і прымае найбольшае і найменьшае значэнні на гэтым прамежку адпаведна ў пунктах х1 і х2 , тады пункт х1 называецца пунктам абсалютнага максімуму функцыі f на прамежку Х, а пункт x2 пунктам абсалютнага мінімуму функцыі на прамежку Х, значэнні функцыі f у гэтых пунктах называюцца адпаведна абсалютнымі max i min функцыі f на прамежку Х або найбольшым і найменшым значэннямі функцыі f на прамежку Х.

Калі функцыя f непарыўная на [a, b], то адпаведна 2-й тэарэмы Вейерштраса яна мае абсалютны min i max на гэтым адрэзку, якія знаходзяцца па правілу Ферма.

Заўвага 17.3. Пры рашэнні задач узнікае сітуацыя, калі абсалютныя экстрэмумы функцыі f прыходзіцца шукаць на прамежку, які не з’яўляецца адрэзкам. У гэтай сітуацыі будзем карыстацца наступнай тэарэмай, якую прымем без доказу.

Тэарэма 17.4. Калі функцыя f непарыўная на прамежку Х і мае адзіны пункт экстрэмуму х0Х, тады, калі x0 пункт max (min) , то ў ім функцыя прымае найбольшае (найменшае) значэнне f(x0) на прамежку Х.

Доказ.


Задача 17.7 . Дадатны лік а прадставіць у выглядзе сумы 3-х дадатных складнікаў , два з якiх роўныя паміж сабою так, каб здабытак іх быў найбольшым.

Рашэнне. Абазначым адзін са складнікаў х, тады 2-гі складнік таксама будзе х, 3-ці а. Здабытак іх S(x) = x2(a2x) функцыя, якая прымае найбольшае значэнне. Дзе? На абсягу вызначэння функцыі па сэнсу задачы:

D(S) = {xx > 0, a2x > 0} = (0;a/2).

Знойдзем пункт, у якім функцыя S(x) будзе прымаць найбольшае значэнне. Даследуем функцыю на экстрэмум:

S'(x) = 2ax6x2, S'(x) = 0  2x(a3x) = 0  x = 0D(S), x = a/3D(S). Скарыстаем 2-ю дастатковую умову экстрэмуму: S "(x) = 2a12x, S "(a/3) = 2a < 0. Па тэарэме 17.3 х = a/3 адзіны пункт лакальнага максімуму  па тэарэме 17.4 у гэтым пункце функцыя прымае сваё найбольшае значэнне. Калі два складнікі роўны а/3, то і трэці будзе роўны a/3.

Адказ. Здабытак будзе найбольшым, калі ўсе тры лікі роўны паміж сабою.
  1   2   3

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon§ 11. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку
Тэарэма Няхай на адрэзку [a, b] вызначана непарыўная функцыя f(X), дыферэнцавальная на інтэрвале (a, b). Функцыя f(X) — сталая на...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon«Нявызначаны інтэграл» (группы 201 І 202) Табліца асноўных нявызначаных інтэгралаў
Няхай функцыі u(Х) І v(X )дыферэнцавальныя І непарыўныя на прамежку Х, тады на гэтым прамежку мае месца роўнасць

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon2  Дыферэнцыял ад інтэграла роўны падынтэгральнаму выразу: d() = ()’ = f(X)dx. 3 
Азначэнне Функцыя f называецца першаіснай функцыі f на прамежку Х, калі xx f’(X) = f(X)

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconЗадача Кашы (1), (2) мае на прамежку (- , + ) адзінае
Напрыклад, трыганаметрычныя функцыі sin X, cos X можна ўвесці як стасункі паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка І як сумы...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon§ 15. Дыферэнцыяльныя раўнанні n–га парадку
Азначэнне. Рашэннем здр (2) на прамежку І называецца функцыя, якая непарыўна дыферэнцавальная n разоў на гэтым прамежку І задавальняе...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку icon), якая вызначана на гэтым жа прамежку, называецца першаіснай функцыяй (або першаіснай) функцыі f
Азначэнне Няхай функцыя вызначана на некаторым канечным ці бясконцым прамежкулікавай восі R, гэта значыць на інтэрвале, паўінтэрвале...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconНяхай функцыя з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Тады пры адвольным пастаянным, функцыя таксама з’яўляецца першаiснай для функцыi на прамежку. Кожная першаiсная на прамежку, з’я ў ляецца функцыей выгляду, дзе некаторы пастаянны лiк
Асноўнай задачай дыферэнцыяльнага злiчэння з’яўляецца задача знаходжання вытворнай дадзенай функцыi. Многiя задачы фiзiкi, механiкi,...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconФункцыі некалькіх зменных
Разгледзім функцыі, якія вызначаны на мноствах n мернай еўклідавай прасторы Rn І значэннямі якіх з'яўляюцца сапраўдныя лікі. Будзем...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

§ 16. Умовы нязменнасці (пастаянства) І манатоннасці функцыі на прамежку iconТрыганаметрычныя функцы. Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
Функцыя y = sin X непарыўная на D(f) = R, E(f) = [1,1],перыяд т = 2n, дзе nZ. Адваротная адпаведнасць функцыі sin не з’яўляецца...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка