Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта




НазваДыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта
старонка1/3
Дата канвертавання02.11.2012
Памер300.08 Kb.
ТыпДокументы
  1   2   3





ДЫФЕРЭНЦЫЯЛЬНЫЯ РАЎНАННІ

Канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта

§ 1. Уводзіны

1
º. Месца дысцыпліны ў матэматыцы.


Філасофія

У сваю чаргу класічная вышэйшая матэматыка уключае розныя раздзелы вышэйшая матэматыкі. Частка з гэтых раздзелаў істотна абапіраецца на асновы вышэйшай матэматыкі:

– дыферэнцыяльныя раўнанні (ураўненні),

– тэорыя функцый сапраўднай зменнай;

– тэорыя функцый камплекснай зменнай;

– вылічальная матэматыка;

– тэорыя імавернасцей;

– матэматычная статыстыка;

– матэматычная логіка;

– тэорыя лікаў;

– функцыянальны аналіз;

– тапалогія;

– метады матэматычнай фізікі;

– дыферэнцыяльныя раўнанні ў частковых вытворных;

– інтэгральныя раўнанні;

– варыяцыйнае злічэнне;

– шэрагі Фур'е;

– абагульненыя функцыі і г.д.

Кніга Смирнова В.И. "Курс высшей математики" (в 5-ти томах) змяшчае большую частку з гэтых раздзелаў.


2º. Сістэма вывучэння дысцыплін у вышэйшых навучальных установах.


а) Адукацыйны стандарт па спецыяльнасці "Матэматыка. Інфарматыка" устанаўлівае колькасць гадзін, якія адводзяцца на вывучэнне.

б) Базавы вучэбны план фіксуе семестры вывучэння, колькасць і тып кантрольных мерапрыемстваў (залікі і экзамены).

в) Тыповая (базавая) вучэбная праграма фіксуе змест, які трэба вывучаць.

Гэтыя документы зацвярджаюцца Міністэрствам адукацыі. Только базавая вучэбная праграма зацвярджаецца ў ВНУ (калі няма тыповай праграмы).

г) На падставе тыповай (базавай) вучэбнай праграмы на кафедры распрацоўваецца рабочая вучэбная праграма па дысцыпліне, якая ўстаноўлівае паслядоўнасць вывучэння і віды прамежкавага кантролю.


3º. Асноўныя паняцці.

Азначэнне. Звычайным дыферэнцыяльным раўнаннем (ЗДР) называецца раўнанне, якое звязвае на нейкім прамежку незалежную зменную, шукаемую функцыю і яе вытворныя.


Часцей за ўсё абазначаюць: незалежную зменную x, шукаемую (невядомаую) функцыю — y(x), яе вытворныя y(x), y(x), …, y(n)(x), або , ці . Але магчымы і іншыя абазначэнні, напрыклад, незалежная зменная t, а шукаемая функцыя x(t).

Прамежак, на якім разглядаецца раўнанне, абазначым праз І. У прыватнасці,

І = [a, b] ці І = [a, +].

Самая агульная форма запісу ЗДР:

F(x, y(x), y(x), …, y(n)(x)) = 0, x І, (1)

дзе F – вядомая функцыя (n+2) зменных

Адзначым, што прамежак часта не задаецца яўна. У гэтых выпадках лічыцца, што раўнанне зададзена на тым прамежку, на якім яно мае сэнс.

Заўвага. Раўнанне для вызначэння функцыі адносяць да дыферэн­цы­яль­ных, калі ў ім удзельнічаюць дыферэнцыялы ці вытворныя шуканай функцыі. Ка­лі шуканая функцыя залежыць ад аднаго аргумента, тады дыферэнцыяльнае раў­нанне называюць звычайным дыферэнцыяльным раўненнем і абазначаюць ЗДР.

Азначэнне. Парадкам ЗДР называецца найвышэйшы парадак вытворнай невядомай функцыі, якая ўваходзіць у раўнанне.

Вызначым парадкі наступных раўнанняў:

1) y(1+2x) – y + xy = 0;

2) + 18 cos x = 0;

3) xy + 3 = (x + 2) y – 8 y;

4) x' + 12t – 16 = sin x.

Заўвагі: 1) Тэрмін "дыферэнцыяльныя раўнанні" выў прапанаваны Г.Лейбніцам у 1676 г. Першыя даследаванні ЗДР былі праведзены ў канцы 17 ст. у сувязі з вывучэннем праблем механікі і некаторых геаметрычных задач.

2) Ці існуюць незвычайныя дыферэнцыяльныя раўнанні? Звычайнае дыферэнцыяльнае раўнанне носіць такую назву таму, што выкарыстоўваюцца звычайныя вытворныя функцыі. Калі у раўнанне з вытворнымі ўваходзяць функцыі некалькіх зменных, то вытворныя называюцца частковымі і раўнанні называюцца раўнаннямі ў частковых вытворных.

Азначэнне. Рашэннем ЗДР называецца функцыя, якая на адпаведным прамежку задавальняе гэтаму раўнанню.

Між іншым гэта азначае, што для раўнання (1) на прамежку І функцыя-рашэнне y(x) павінна мець вытворныя да парадку n уключна, і для ўсіх x І значэнні функцый y(x), y(x), …, y(n)(x) павінны ўваходзіць у абсяг азначэння функцыі

w = F(u1, u2, …, un+2).

Прыклад. Паказаць, што функцыя y = cos x з'яўляецца рашэннем дыферэнцыяльнага раўнання y + y = 0 на мностве сапраўдных лікаў.

Рашэнне. cos x, y = –sin x, y = –cos x.

y + y = 0  –cos x + cos x = 0. Так.

Азначэнне. Працэс знаходжання рашэння ЗДР называецца інтэграваннем дыферэнцыяльнага раўнання.

Назва вынікае з таго, што найпрасцейшыя раўнанні тыпу y = x2 вырашаюцца непасрэдна інтэграваннем.

У сувязі з гэтым таксама рашэнне ЗДР часта называюць інтэгралам ЗДР.

Азначэнне. Графік рашэння ЗДР называецца інтэгральнай крывой.

Асноўнай задачай тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў з'яўляецца знаходжанне ўсіх рашэнняў дыферэнцыяльнага раўнання і вывучэнне ўласцівасцяў гэтых рашэнняў.

Вогуле метадаў інтэгравання ЗДР вельмі многа. Пералічым асноўныя з іх:

аналітычныя дакладныя метады — знаходжанне формулы для шукаемай функцыі (гэта задача тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў);

  аналітычныя прыблізныя метады — знаходжанне прыблізных аналітычных выразаў для рашэнняў ЗДР (калі рашэння падаць як ліміт паслядоўнасці функцый ці як суму бясконцага функцыянальнага шэрага).

лікавыя (прыблізныя) метады — вылічэнне значэнняў шукаемай функцыі (гэта задача вылічальнай матэматыкі);

графічныя (прыблізныя) метады — пабудова інтэгральных крывых і вывучэнне іх уласцівасцяў без дакладнага рашэння (якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў);

Мы будзем разглядаць аналітычныя дакладныя метады.

Азначэнне. Калі задачу інтэгравання ЗДР удаецца звесці да вылічэння канечнага ліку інтэгралаў і вытворных ад вядомых функцый, а таксама ад алгебраічных выразаў з гэтымі функцыямі, то гавораць, што ЗДР інтэгруецца ў квадратурах.

Прыклад. ЗДР

y = x2 + y2

не інтэгруецца ў квадратурах.


4º. Літаратура.

1. Матвеев Н.М. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие для студентов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1988.

2. Петровский И.Г. Лекции по теории дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1970.

3. Еругин Н.П., Штокало М.З и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. — Киев: Высшая школа, 1974.

4. Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. — Минск: Наука и техника, 1979 и позднее.

5. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления (для ВТУЗов). В 2-х т. — Т. 2. — М.: Наука, 1976.

6. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М: Наука, 1980.

7. Богданов Ю.С., Мазаник С.А., Сыроид Ю.Б. Курс дифференциальных уравнений. — Минск: Университетское, 1996.

8. Самойленко А.М. и др. Дифференциальные уравнения: Примеры и задачи. — М.: Высшая школа, 1989.

9. Гаврин В.П., Кабак Г.И. Элементы теории дифференциальных уравнений: Мет. разработки. — Минск: МГПИ, 1981

10. Шалік Э.У. Дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку: Мет. рэкамендацыі. — Мн.: БДПУ, 1998.

11. Пятроўская І.Г., Хурсевіч Г.Я. Дыферэнцыяльныя раўнанні: Вучэбны дапаможнік. — Мн.: БГПУ, 2001.

12. Бярозкіна Н.С., Мінюк С.А. Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўраўненні: Вуч. дапаможнік. У 2т. – Гродна: ГрГУ, 2000.


§ 2. Задачы, якія прыводзяцца да дыферэнцыяльных раўнанняў

1º. Закон натуральнага росту (естественного роста).

Задача. Знайсці залежнасць колькасці рэчыва ад часу, калі скорасць росту колькасці рэчыва прапарцыянальная наяўнай колькасці рэчыва.

Рашэнне. Абазначым колькасць рэчыва праз y, а час — праз t.

Трэба знайсці закон, гэта значыцца знайсці выгляд функцыі y(t), якая задавальняе умовам задачы.

Запішам умову задачы ў выглядзе роўнасці (пры гэтым скорасць росту — гэта вытворная y(t)):

y(t) = a y(t).

Тут a — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Гэта па азначэнні ЗДР.


2º. Падзенне цела на зямлю.

Задача. З некаторай вышыні на зямлю кінута цела масай m. Знайсці закон, па якому будзе змяняцца скорасць падзення цела ў залежнасці ад часу, калі на цела акрамя сілы цяжа́ру ўздзейнічае сіла супраціўлення паветра, якая прапарцыянальная скорасці.

Рашэнне. Абазначым час праз t, скорасць — праз v(t). Закон — гэта функцыя v(t).

Выкарыстаем другі закон Н'ютана ma = F, дзе a — паскарэнне, а F — вонкавая сіла. У нашым выпадку

a = v(t), F = FцяжFсупр.

Fцяж = mg, Fсупр.= kv(t), дзе k — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Тады

F = mgkv,

mv(t) = mgkv. | .

Атрымліваем v(t) + v = mg.

Гэта ЗДР. Раўнанне апісвае рух некаторых тыпаў парашутаў.














Заўвага. Шматлікія прыклады складання ЗДР па ўмовах прыкладных задач разабраны ў кнізе

Пономарев К.К. "Составление дифференциальных уравнений". Минск, Вышэйшая школа, 1973.


§ 3. Паняцце аб рашэннях і інтэгралах ЗДР

1º. Тыпы рашэнняў

У гэтым параграфе разглядаюцца азначэнні, якія можна назваць інтуітыўнымі, паколькі дакладныя азначэнні патрабуюць дадатковай тэорыі і будуць разгледжаны далей.

Дыферэнцыяльныя раўнанні адрозніваюцца ад многіх іншых тыпах раўнанняў колькасцю рашэнняў. Калі ЗДР мае рашэнне, то яно не адзінае і існуе бясконцае мноства іншых рашэнняў.

Напрыклад, раўнанне

y + y = 0

мае рашэнне cos x.

Але функцыі = 2cos x, = 5cos x і нават sin x — таксама рашэнні.

Таму ўводзіцца паняцце агульнага рашэння ЗДР.

Азначэнне. Агульным рашэннем ЗДР n-га парадку называецца функцыя выгляду


(х – незалежная зменная, C1, C2, ... , Cn – адвольныя канстанты), з якой пры канкрэтных значэннях адвольных канстантаў C1, C2, ... , Cn могуць быць атрыманы ўсе ці амаль усе рашэнні ЗДР.

Колькасць адвольных канстантаў у агульным рашэнні роўная парадку дыферэнцыяльнага раўнання.

Для ЗДР другога парадку агульнае рашэнне звычайна мае выгляд

y = (x, C1, C2).

Напрыклад, для раўнання

y + y = 0 (–, +)

агульнае рашэнне мае выгляд

y = C1sin x + C2cos x. (1)

Для ЗДР першага парадку агульнае рашэнне мае выгляд y = (x, C).

Азначэнне. Рашэнне ЗДР, якое атрымліваецца з агульнага рашэння пры канкрэтных значэннях адвольных канстантаў, называецца частковым.

Зараз зразумела, чаму для раўнання y + y = 0

усе функцыі cos x, = 2cos x, = 5cos x, sin x з'яўляюцца рашэннямі. Яны з'яўляюцца частковымі рашэннямі, што вынікае з формулы (1).


2º. Паняцце агульнага і частковага інтэграла

Знайсці агульнае рашэнне ў яўным выглядзе ўдаецца не заўсёды.

Азначэнне. Агульным інтэгралам ЗДР n-га парадку называецца судачыненне выгляду


якое няяўна задае агульнае рашэнне ЗДР

y = (x, C1, C2, ... , Cn).

Азначэнне. Частковым інтэгралам ЗДР n-га парадку называецца выраз для агульнага інтэграла з канкрэтнымі значэннямі адвольных канстантаў.

Напрыклад, для агульнага інтэграла

y4 + 3y sin x + С = 0

судачыненне

y4 + 3y sin x + 4 = 0

будзе частковым інтэгралам.


§ 4. ЗДР першага парадку

1º. Формы запісу

Самая агульная форма запісу ЗДР першага парадку


(1)


Частковым выпадкам раўнання (1) з'яўляецца раўнанне


(2)


Азначэнне. Раўнанне выгляду (2) называецца ЗДР, вырашаным адносна вытворнай.

Функцыя f(x, y) у правай частцы раўнання (2) з'яўляецца функцыяй дзвюх зменных і зададзена у некаторым абсягу D плоскасці XOY. Таму лічыцца,што ЗДР (2) зададзена ў абсягу D.

Калі ў наваколлі пунктаў (х,у) функцыя f(х,у) ператвараецца ў бясконцасць, то нараўне з раўнаннем (2) разглядаюць раўнанне выгляду


(2’)


Акрамя таго раўнанне (2’) мэтазгодна разглядаць, калі вырашыць яго лягчэй чым (2), у гэтым выпадку незалежнай зменнай лічаць у, а рашэннямі з’яўляюцца функцыі х(у).

Азначэнне. Раўнанне выгляду


(3)

называецца ЗДР першага парадку ў дыферэнцыяльнай форме (у дыферэнцыялах).

Лема 1. Формы запісу ЗДР (2) і (3) з'яўляюцца эквівалентнымі.

Доказ. Пераўтворым раўнанне выгляду (3).


Зараз наадварот (2)(3):


dy = f(x, y)dx,

f(x, y)dx dy = 0 (3)

дзе M(x, y) = f(x, y), N(x, y) = –1.


Азначэнне. Раўнанне выгляду


(4)


называецца ЗДР першага парадку ў сіметрычнай форме.

Самастойна паказаць эквівалентнасць формаў запісу (3) і (4).


Заўвага. Розныя формы запісу ЗДР першага парадку патрэбныя для розных метадаў інтэгравання.


2º. Рашэнні і інтэгралы

Рашэнне ЗДР першага парадку — гэта функцыя, якая задавальняе раўнанню (1).

Агульнае рашэнне ЗДР першага парадку мае выгляд

y = (x, C) (5).

Формулу (5) можна разглядаць як выраз для функцыі зменнай x з параметрам С, ці як выраз для функцыі дзвюх зменных.

Звычайна лічыцца, што адвольная канстанта С мае некаторы абсяг змянення.

Азначэнне. Рашэнне ЗДР (2), якое атрымліваецца з агульнага рашэння (5) пры канкрэтным значэнні адвольнай канстанты С, называецца рашэннем.

Азначэнне. Агульным інтэгралам ЗДР першага парадку называецца судачыненне выгляду , якое няяўна вызначае агульнае рашэнне.

Заўвага. Рашэнне ЗДР можа быць знойдзена як функцыя ў параметрычнай форме

x = (t),

y = (t) (t — параметр)

Аналагічна агульны інтэграл можна адшукваць у параметрычнай форме

x = (t, С),

y = (t, С).


3º. Геаметрычная інтэрпрэтацыя

Геаметрычна частковаму рашэнню ЗДР на каардынатнай плоскасці XOY адпавядае інтэгральная крывая, а агульнаму рашэнню — сямества крывых.

Разгледзім інтэгральныя крывыя на прыкладзе.


Метадам непасрэднага інтэгравання атрымліваем

y
= x2 + С

Агульнае рашэнне задае на плоскасці сямейства парабал (рыс. 3).

Р
ыс.3.


4º. Сувязь паміж ЗДР і агульным рашэннем.

Інтэграванне ЗДР азначае знаходжанне агульнага рашэння раўнання. Але па агульнаму рашэнню можна знайсці адпаведнае ЗДР.


Прыклад. Дадзена агульнае рашэнне

y2 x2Cy = 0.

Знойдзем адпаведнае ЗДР.

Прадыферэнцыруем агульнае рашэнне па x і пазбавімся ад адвольнай канстанты:

(6)


З агульнага рашэння выражаем C = і падстаўляем у (6):

2 yy – 2 xy(y2x2)/y = 0,

адкуль маем

y(y2x2) – 2 xy = 0.


  1   2   3

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconБеларуская мова. Прафесійная лексіка канспект лекцый для студэнтаў 1-га курса вочнай І завочнай форм навучання ўсіх спецыяльнасцей Магілёў 2006
У сціслай І даступнай форме выкладзены асноўныя пытанні вучэбнага курса па прафесійнай лексіцы беларускай мовы. Асаблівая ўвага скіравана...

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconЗмест практычных заняткаў ў зімовую сесію па дысцыпліне "Беларуская мова" для студэнтаў V курса педагагічнага факультэта завочнай формы атрымання адукацыі спецыяльнасці
Беларуская мова” для студэнтаў V курса педагагічнага факультэта завочнай формы атрымання адукацыі спецыяльнасці

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconЗмест практычных заняткаў ў зімовую сесію па дысцыпліне "Беларуская мова" для студэнтаў V курса факультэта бесперапыннай адукацыі завочнай формы навучання спецыяльнасці
Беларуская мова” для студэнтаў V курса факультэта бесперапыннай адукацыі завочнай формы навучання спецыяльнасці

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconПытанні да экзамену
Дыферэнцыяльныя раўнанні ў поўных дыферэнцыялах. Прыкмета раўнанні ў поўных дыферэнцыялах

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconЭкзаменацыйныя пытанні па курсу «Краязнаўства І этналогія Беларусі» для студэнтаў 1 курса гістарычнага факультэта
Уклад выкладчыкаў І студэнтаў уа «Гомельскі дзяржаўны універсітэт імя Ф. Скарыны» у вывучэнне гісторыі І культуры Гомельшчыны

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconДапаможнік прызначаны для студэнтаў завочнага аддзялення матэматычнага факультэта спецыяльнасці 1-02 05 03 "Матэматыка". Яно напісана ў адпаведнасці з
Матэматыка”. Яно напісана ў адпаведнасці з дзейнічаючай тыпавой праграмай курса “Элементарная матэматыка з практыкумам па рашэнню...

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconПытані для экзамена па геаметрь І ў з І мовую c э ci ю 2008 г для студэнтаў I курса, гр. 101-105
Паняцце аб раунанні (няроунасці) фігуры. Перасячэнне I аб'яднанне фігур I ix сістэма I сукупнасць раунанняу або няроунасцей. Дзве...

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта icon§ Агульныя паняцці. Прыклады
Дадзены вучэбны дапаможнік змяшчае тэарэтычны выклад звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў для студэнтаў матэматычнага І фізіка-матэматычнага...

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconПытанні да экзамена па дысцыпліне "Сусветная І айчынная дзіцячая літаратура" для студэнтаў 4 курса факультэта завочнай адукацыі спецыяльнасці
...

Дыферэнцыяльныя раўнанні канспект лекцый для студэнтаў ІІІ курса матэматычнага факультэта iconПытанні да калоквіюму па курсу "Алгебра І тэорыя лікаў" для студэнтаў I курса факультэта Матэматыкі І інфарматыкі. Спецыяльнасць: "Матэматыка"
Пытанні да калоквіюму па курсу “Алгебра І тэорыя лікаў” для студэнтаў I курса факультэта Матэматыкі І інфарматыкі. Спецыяльнасць:...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка