Задача аб вольных І вымушаных ваганнях




НазваЗадача аб вольных І вымушаных ваганнях
старонка3/3
Дата канвертавання02.11.2012
Памер279.74 Kb.
ТыпЗадача
1   2   3
§ 27. Увядзенне элементарных функцый з дапамогай дыферэнцыяльных раўнанняў


1. Асноўныя паняцці

Існуюць элементарныя функцыі, якія можна азначыць рознымі спосабамі. Напрыклад, трыганаметрычныя функцыі sin x, cos x можна ўвесці як стасункі паміж старанамі прамавугольнага трохвугольніка і як сумы адпаведных ступянёвых шэрагаў.

У гэтым параграфе мы разгледзім аналітычны падыход да азначэння элементарных функцый, які грунтуецца на выкарыстанні тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў. Сутнасць падыхода ў тым, што функцыю можна азначыць як рашэнне задачы Кашы для пэўнага дыферэнцыяльнага раўнання і аналітычна вывесці ўсе яе ўласцівасці.

Будзем выкарыстоўваць наступныя дапаможныя рэзультаты з тэорыі дыферэнцыяльнах раўнанняў.

Няхай зададзена ЛАДР n–га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі

(1)

дзе p1, p2, …, p n — канстанты,

y = y(x) — невядомая функцыя,

і пачатковыя ўмовы


y(x0) = y0,

y(x0) = y0, (2)

... ... ...

y(n–1)(x0) = y(n–1)0.

Мае месца

Тэарэма (Пікара для ЛАДР n–га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі).

Задача Кашы (1), (2) мае на прамежку (– , + ) адзінае n разоў дыферэнцавальнае рашэнне.


Вынік 1. Калі пачатковыя ўмовы (2) нулявыя (y0 = y0 = ... = y(n–1)0 = 0), тады рашэнне задачы (1), (2) трывіяльнае (нулявое).

Доказ. Трывіяльная (нулявая) функцыя рашэннем задачы (1), (2) з'яўляецца, а па тэарэме такое рашэнне адзінае.

Вынік 2. Рашэнне задачы Кашы (1), (2) мае непарыўныя вытворныя любога парадку.

Доказ. З (1) вынікае роўнасць

y(n) = – p1y(n–1) p2y(n–2) – … – pny .

Правая частка роўнасці мае вытворную, значыцца, мае вытворную і левая частка. Дыферэнцыруем роўнасць. Г.зн. існуе вытворная y(n +1). І гэтак далей.

2. Паказнікавая фукнцыя (экспанента)

Разгледзім задачу Кашы

y – y = 0, (3)

y(0) = 1.

Па тэарэме існуе адзінае рашэнне гэтай задачы. Абазначым яго праз e(x).

Пакажам, што гэтае рашэнне мае ўсе ўласцівасці функцыі ex (экспаненты).

1)

Сапраўды, з дыферэнцыяльнага раўнання маем роўнасць e(x) = e(x). Дыферэн­цаваннем з яе атрымліваем e(x) = e(x), ці e (x) = e(x) = e(x). Г.зн. e(x) = e(x) і г.д.


2)

Спачатку пакажам, што e(x)  0. Ад супраціўнага.

Няхай існуе пункт x1 такі, што e(x1) = 0. Тады разгледзім задачу Кашы

y – y = 0, y(x1) = 0.

Гэтая задача, згодна з вынікам 1, мае толькі трывіяльнае рашэнне y(x)  0. Але гэтая функцыя не можа быць рашэннем задачы (3), паколькі там ўмова y(0) = 1. Такім чынам, e(x)  0 для любога x.

Пакажам цяпер, што e(x) не можа быць меней за 0. Зноў ад супраціўнага.

Дапусцім, што існуе пункт x2 такі, што e(x2) < 0. Але ў пункце 0 маем e(0) = 1. Тады па тэарэме Бальцана-Кашы для непарыўнай функцыі e(x) паміж пунктамі x2 і 0 існуе пункт x3, дзе e(x3) = 0. А мы ўжо паказалі, што гэта немагчыма.


3)

З дыферэнцыяльнага раўнання для e(x) маем e(x) = e(x). Тады з няроўнасці

e(x) > 0 вынікае няроўнасць e(x) > 0. Гэтага дастаткова.

4)

Роўнасць называецца тэарэмай складання.

Для доказу ўводзім дапаможную функцыю v(x) = e(x + a) – e(x)e(a) і пакажам, што v(x)  0. Для гэтага пакажам, што v(x) з'яўляецца рашэннем задачы Кашы

y – y = 0, y(0) = 0. (4)

Знаходзім выраз для вытворнай

v(x) = e(x + a) – e(x)e(a).

Карыстаючыся дыферэнцыяльным раўнаннем для e(x), робім замену вытворных e(x + a), e(x) на функцыі e(x + a) і e(x). Атрымліваем

v(x) = e(x + a) – e(x)e(a) = v(x).

Г. зн. v(x) задавальняе раўнанню y – y = 0.

Знойдзем v(0):

v(0) = e(0 + a) – e(0)e(a) = e(a) – 1e(a) = 0.

Такім чынам, v(x) — рашэнне задачы (4) і па выніку 1 v(x)  0, г. зн.

v(x) = e(x + a) – e(x)e(a)  0  e(x + a)  e(x)e(a).


3. Трыганаметрычныя функцыі sinx і cosx

Разгледзім дзве задачы Кашы

y' + y = 0, (5)

y(0) = 0, y'(0) = 1; (6)

y' + y = 0, (5)

y(0) = 1, y'(0) = 0. (7)

Рашэнні задач існуюць па тэарэме.

Абазначым рашэнне задачы (5), (6) праз s(x), а рашэнне задачы (5), (7) праз c(x).

Пакажам, што s(x) мае ўсе ўласцівасці функцыі sin x, а функцыя c(x) — уласці­васці cos x.


1)

Паколькі па выніку 2 рашэнне задачы Кашы (5), (6) мае вытворныя любога парадку, раўнанне (5) для s(x) у выглядзе

s''(x) + s(x) = 0

дыферэнцыруем. Атрымліваем раўнанне

(s''(x))' +s'(x) = 0 ці (s'(x))'' + s'(x) = 0.

Г. зн., што функцыя u(x) = s'(x) з'яўляецца рашэннем раўнання (5), паколькі

u''(x) + u(x) = 0.

Для функцыі u(x) знойдзем пачатковыя умовы:

u(0) = s'(0) ={ другая з умоў (6) } = 1,

u'(0) = s''(0) ={ карыстаемся раўнаннем (5) } = – s(0) = { першая з умоў (6) } = 0.

Такім чынам, u(x) з'яўляецца рашэннем задачы (5), (7) і з адзінасці рашэння вынікае u(x) = c(x), ці s'(x) = c(x).

Аналагічна даказываецца роўнасць с'(x) = – s(x) (даказаць самастойна).

2)

Абсягі азначэння функцый s(x) і c(x) роўныя мноству сапраўдных лікаў R. Мноства R сіметрычнае адносна пункта 0.

Пакажам, што c(x) = c(– x) для любога xR (цотнасць функцыі c(x) ).

Будуем дапаможную функцыю

w(x)  c(x) – c(–x).

Пакажам, што яна з'яўляецца рашэннем задачы Кашы

y'' + y = 0, (5)

y(0) = 0, y'(0) = 0. (8)

Маем w''(x) = (c(x))'' – (c(–x))''.

Карыстаемся раўнаннем (5) у выглядзе y''(x) = – y(x) для c(x) і для c(–x). Такім чынам вызваляемся ад вытворных другога парадку:

w''(x) = – c(x) + c(– x).

Падстаўляем w(x) і w''(x) у (5):

w''(x) + w(x)  [– c(x) + c(– x)] + [c(x) – c(– x)] = 0.

Правяраем пачатковыя ўмовы

w(0)  c(0) – c(– 0) = 0,

w'(x)  (c(x))' – (c(– x))' = c'(x) + c'(– x) = – s(x) – s(– x),

w'(0) = – s(0) – s(– 0) = 0 – 0 = 0.

Такім чынам, w(x)  c(x) – c(– x) з'яўляецца рашэннем задачы Кашы (5), (8), г. зн. трывіяльнай функцыяй (w(x)  0). Адкуль маем c(x) = c(– x).

Роўнасць s(x) = – s(– x) даказаць самастойна.

3)

Будуем дапаможную функцыю

u(x) = s2(x) + c2(x).

Знойдзем яе вытворную

u'(x) = 2s(x)s'(x) + 2c(x)c'(x) = 2s(x)c(x) + 2c(x)(– s(x)) = 0.

Атрымалі, што u(x) = const на R.

Але u(0) = s2(0) + c2(0) = 0 + 1 = 1  u(x)  1 для любога xR.

4)


для любых x, aR.

Формулы вядомыя як тэарэмы складання.

Дакажам формулу для c(x + a).

Уводзім функцыю

v(x)  c(x + a) – c(x)c(a) + s(x)s(a).

Правяраем, ці задавальняе яна раўнанню (5).

Знаходзім вытворную другога парадку:

v'(x) = c'(x + a) – c'(x)c(a) + s'(x)s(a) = – s(x + a) + s(x)c(a) + c(x)s(a),

v''(x) = – s'(x + a) + s'(x)c(a) + c'(x)s(a) = – c(x + a) + c(x)c(a) – s(x)s(a).

Падстаўляем v(x) і v''(x) у (5). Маем

v''(x) + v(x) = 0.

А зараз пра пачатковы ўмовы:

v(0)  c(0 + a) – c(0)c(a) + s(0)s(a) = c(a) – 1·c(a) + 0·s(a) = 0.

v'(0) = – s(0 + a) + s(0)c(a) + c(0)s(a) = – s(a) + 0·c(a) + 1·s(a) = 0.

Функцыя

v(x)  c(x + a) – c(x)c(a) + s(x)s(a)

з'яўляецца рашэннем задачы Кашы (5), (8) і павінна быць нулявой. Адсюль і вынікае канчатковы рэзультат.

Доказ першай формулы зрабіць самастойна.

Аналагічна можна даказаць перыядычнасць і іншыя ўласцівасці.
1   2   3

Падобныя:

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача 1
Задача використовуючи дані, наведені в таблиці, визначити, до якої групи країн за класифікацією Світового банку належать зазначені...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях icon«консул» вновь собирает друзей… Клуб Вольных Путешественников
Россия, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 26/28, стр. 1, оф тел. (495) 748-72-43, (495) 722-43-75

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача 2 Орогидрафическая ( сложная)
Страна Х имеет сухопутную границу с несколькими государствами определите Х, основываясь на следующих сведениях о соседних странах...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconУ камфорце "Жыгулі" ураўнялі з "Фольквагенам"
Апроч таго, з-за адсутнасьці вольных сродкаў да 80% аўтапарку ужо даўно выкарысталі свой рэсурс І аўташколы ў любы момант могуць...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconПо Физике Механика от Аристотеля до Ньютона ученика 9-1 класса Украино-Американского Лицея
По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача сям’і разгледзець задаткі І здольнасці дзіцяці, а задача школы падтрымаць дзіця І развіць ІХ падрыхтаваць глебу для таго, каб гэтыя здольнасці былі рэалізаваны ў жыцці.
Фарміраванне даследчых кампетэнцый вучняў праз правядзенне ўрокаў – даследаванняў І навукова –даследчай дзейнасці

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconИздательское дело как вид бизнес-деятельности обладает огромным финансовым потенциалом. Умело воспользоваться этим потенциалом задача любой издающей
Задача издательства — выстоять в этой борьбе. И здесь мало предложить хороший, качественный продукт, важно помочь ему дойти до целевого...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача забить гол в ворота
Играют 2 команды по 4 полевых игрока и вратарь. Замены проводятся по ходу матча, и, в отличие от футбола, их число не ограничено....

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача о движении центра инерции решается точно
Получено выражение для энергии основного состояния системы в предельном случае, когда радиус трубки стремится к нулю. Численно задача...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка