Задача аб вольных І вымушаных ваганнях




НазваЗадача аб вольных І вымушаных ваганнях
старонка2/3
Дата канвертавання02.11.2012
Памер279.74 Kb.
ТыпЗадача
1   2   3
§ 24. Сістэмы дыферэнцыяльнах раўнанняў

1º. Асноўныя паняцці

Азначэнне. Сукупнасць дыферэнцыяльных раўнанняў выгляду


(1)


дзе y1, y2, …, yn — шукаемыя функцыі ад незалежнай зменнай x, называецца сістэмай n звычайных дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку.

Азначэнне. Рашэннем сістэмы (1) дыферэнцыяльных раўнанняў на адрэзку [ab] называецца любая сукупнасць n функцый

y1 = 1(x), y2 = 2(x), … , yn = n(x),

якія вызначаны і непарыўна дыферэнцавальны на адрэзку [ab] і для  x  [ab] абарачаюць сістэму (1) у набор тоеснасцяў.

Азначэнне. Працэс знаходжання рашэнняў сістэмы (1) называецца інтэграваннем сістэмы.


Азначэнне. Графік рашэння ў прасторы Rn+1 з пунктамі (x, y1, y2, …, yn) называецца інтэгральнай крывой.


Калі функцыі F1, F2, …, Fn дазваляюць вырашыць сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў адносна вытворных, атрымліваецца сістэма выгляду


(2)


Азначэнне. Сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў выгляду (2) называецца сістэмай ў нармальнай форме ці нармальнай сістэмай.

2º. Задача Кашы. Існаванне і адзінасць рашэння

Разгледзім нармальную сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў (2). Лічым, што правыя часткі сістэмы (2) зададзены ў нейкім абсягу D прасторы Rn+1.

Пачатковыя ўмовы для сістэмы (2) звычайна задаюцца ў выглядзе

(3)

дзе (x0, , , ..., ) — нейкі пункт абсягу D.


Азначэнне. Сукупнасць сістэмы (2) і пачатковых умоў (3) называецца задачай Кашы (2), (3) для нармальнай сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў.

Геаметрычна задача Кашы — гэта задача пошуку інтэгральнай крывой сістэмы (2), якая праходзіць у D праз пункт

А зараз сфармулюем аналаг тэарэмы Пікара для нармальнай сістэмы.

Тэарэма. Няхай зададзена задача Кашы (2), (3). Калі:

1) правыя часткі сістэмы (2) непарыўныя па ўсіх аргументах у нейкім абсягу D з пунктам (x0, , , ..., ) унутры;

2) правыя часткі сістэмы (2) маюць абмежаваныя вытворныя па аргументах y1, y2, ..., yn у абсягу D;

тады задача Кашы (2), (3) мае адзінае рашэнне, якое вызначана ў нейкім наваколлі пункта x0 і цалкам належыць абсягу D.

Без доказу.

3º. Агульнае і частковае рашэнні

Разгледзім нармальную сістэму дыферэнцыяльных раўнанняў (2). Лічым, што правыя часткі сістэмы задавальняюць ўмовам тэарэмы п. 2º у абсягу D.

Азначэнне. Агульным рашэннем сістэмы (2) у абсягу D называецца сукупнасць функцый


(4)


вызначаных у некаторым абсягу змянення зменных x, C1, C2, …, Cn і непарыўна дыферэнцывальных па x, калі

1) сістэма (4) вырашальна у абсягу D адносна адвольных канстантаў C1, C2, …, Cn:

(5)

2) сукупнасць (4) функцый з'яўляецца рашэннем сістэмы (2) для ўсіх значэнняў канстантаў C1, C2, …, Cn, якія могуць быць атрыманы з формулаў (5).

Азначэнне. Рашэнне сістэмы (2) называецца , калі кожны пункт адпаведнай інтэгральнай крывой з'яўляецца пунктам адзінасці.


Відавочна, што ўсялякае рашэнне сістэмы (2), якое атрымліваецца з агульнага рашэння (4) для канкрэтных значэнняў канстантаў C1, C2, …, Cn, з'яўляецца частковым.


§ 25. Сувязь паміж сістэмамі дыферэнцыяльных раўнанняў і дыферэнцы­яльнымі раўнаннямі n-га парадку.

1º. Прывядзенне нармальнай сістэмы да дыферэнцыяльнага раўнання n-га парадку

Лічым, што правыя часткі нармальнай сістэмы

(1)

дыферэнцавальны n разоў.

Прадыферэнцыруем першае раўнанне сістэмы n – 1 разоў у сілу сістэмы. Гэта азначае, калі пад час пераўтварэнняў у выразах атрымліваюцца вытворныя y1, y2, …, yn, замест іх падстаўляем правыя часткі з сістэмы (1):







... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...



Разам з першым раўнаннем сістэмы (1) атрымалі новую сістэму

(2)

Бярэм першыя n – 1 раўнанні сістэмы (2):

(3)

і вырашаем сістэму (3) адносна y2, ..., yn. Яны будуць залежаць ад x, y1, y1, …, :

(4)

Выразы для y2, ..., yn з (4) падстаўляем у апошняе раўнанне сістэмы (2) і атрымліваем шукаемае раўнанне n-га парадку адносна y1:

.

Прыклад 1.


Дыферэнцыруем першае раўнанне ў сілу сістэмы і атрымліваем


Адкуль адразу вынікае раўнанне другога парадку адносна y1


2º. Прывядзенне дыферэнцыяльнага раўнання n-га парадку да нармальнай сістэмы

Няхай маем дыферэнцыяльнае раўнанне n-га парадку

. (5)

Абазначым


Тады

yn = y(n)

і з дапамогай абазначэнняў і раўнання (5) атрымліваем сістэму




Прыклад 2.

.

Абазначаем


Запісваем сістэму


§ 26. Лінейныя сістэмы дыферэнцыяльных раўнанняў

1º. Паняцце лінейнай сістэмы

Азначэнне. Нармальная сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў называецца лінейнай, калі правыя часткі сістэмы з'яўляюцца функцыямі, лінейнымі адносна y1, y2, ..., yn:


(1)


Будзем лічыць, што ўсе каэфіцыенты aij(x) і fi(x) з'яўляюцца непарыўнымі функцыямі на нейкім адрэзку [a, b]. У гэтым выпадку ўмовы тэарэмы існавання і адзінасці рашэння выконваюцца.


Азначэнне. Калі ўсе функцыі fi(x)  0 на адрэзку [a, b], лінейная сістэма (1) называецца аднароднай (ЛАС). У адваротным выпадку сістэма называецца неаднароднай (ЛНС).


2º. Фундаментальная сістэма рашэнняў

Як у выпадку ЛАДР n-га парадку, агульнае рашэнне ЛАС можа быць пабудавана з дапамогай частковых рашэнняў ЛАС, калі яны складаюць лінейна незалежную на адрэзку [a, b] сістэму.

Рашэннем сістэмы n дыферэнцыяльных раўнанняў з'яўляецца функцыянальны вектар y1(x), y2(x), ..., yn(x), які задавальняе сістэме.


Азначэнне. Сістэма функцыянальных вектараў

(2)

называецца лінейна незалежнай на адрэзку [a, b], калі не існуе такіх адначасова роўных нулю лікаў 1, 2, ..., n, пры якіх на [a, b] выконваюцца n роўнасцяў

(3)


Азначэнне. Сукупнасць n лінейна незалежных на адрэзку [a, b] рашэнняў ЛАС называецца


Аналагічна выпадку ЛАДР n–га парадку мае месца


Тэарэма 1. Для таго, каб сістэма рашэнняў ЛАС

(4)

была лінейна незалежнай на адрэзку [a, b], неабходна і дастаткова, каб дэтермінант

W(x) = (5)

не абарочваўся ў нуль у якім-небудзь пункце адрэзку [a, b].

Без доказу.


Азначэнне. Дэтермінант W(x) (5) называецца

для функцыянальных вектараў (2).


Мае месца

Тэарэма 2. Калі фундаментальная сістэма (4) рашэнняў ЛАС вядома, агульнае рашэнне ЛАС можа быць пабудавана па формуле

(6)

дзе C1, C2, …, Cn — адвольныя канстанты.

Без доказу.


3º. Інтэграванне ЛАС з пастаяннымі каэфіцыентамі. Паняцце аб метадзе Эйлера

Разгледзім ЛАС выгляду


(7)


дзе aij — сапраўдныя лікі.

Знайсці агульнае рашэнне ЛАС можна некалькімі метадамі. Калі сістэма мае зручны выгляд, можна скарыстаць метад непасрэднага інтэгравання, ці метад паслядоўнага выключэння.

Азнаёмімся з метадам Эйлера знаходжання фундаментальнай сістэмы рашэнняў сістэмы (7), якім можна карыстацца ў любым выпадку.

Рашэнне сістэмы (1) будзем шукаць у выглядзе

(8)

дзе , 1, 2, ..., n — невядомыя лікі.

Падстаўляем (8) у (7), скарачаем на і атрымліваем наступную сістэму алгебраічных раўнанняў для знаходжання лікаў 1, 2, ..., n

(9)

Сістэма (9) мае нетрывіяльная рашэнне толькі ў выпадку, калі

= 0. (10)

Азначэнне. Раўнанне, якое задаецца формулай (10), называецца характарыстычным раўнаннем (ХР), а яго карані — характарыстычнымі лікамі ЛАС (7).

Разгледзім тры выпадкі:

а) усе карані ХР сапраўдныя і розныя;

б) усе карані ХР розныя, але магчымы камплексныя;

в) сярод каранёў ХР сустракаюцца кратныя.


4º. Метад Эйлера. Выпадак розных сапраўдных каранёў ХР

Калі карані ХР 1, 2, ..., n з'яўляюцца сапраўднымі і рознымі, падстаўляем іх па чарзе ў сістэму (9) і знаходзім адпаведныя рашэнні 1, 2, ..., n.

Кораню 1 будзе адпавядаць рашэнне сістэмы 11, 12, ..., 1n,

кораню 2 будзе адпавядаць рашэнне сістэмы 21, 22, ..., 2n, і г.д.,

кораню n будзе адпавядаць рашэнне сістэмы n1, n2, ..., nn.

Адпаведна будуюцца частковыя рашэнні


Агульнае рашэнне будуецца па тэарэме 2.


Прыклад 1.


Рашэнне сістэмы шукаем у выглядзе .

Характарыстычнае раўнанне мае выгляд


Карані 1 = 2, 2 = 3.

Будуем сістэму для знаходжання 1, 2 па 1 = 2:


Сістэма зводзіцца да аднаго раўнання . Адзін з лікаў можна абіраць адвольна. Лічым 1 = 1, 2 = 1, адпаведнае рашэнне ЛАС


Для кораня 2 = 3 . Лічым 1 = 1, 2 = 2, адпаведнае рашэнне ЛАС


Агульнае рашэнне




5º. Метад Эйлера. Выпадак розных каранёў ХР, сярод якіх ёсць камплексныя

Пакажам, як знайсці сапраўдныя рашэнні ЛАС (7), якія адпавядаюць камплексным караням ХР кратнасці 1.

Няхай ХР мае камплексны корань 1 = a + ib. Тады абавязкова ХР мае і камплексны спалучаны корань 2a – ib. Знойдзем пару рашэнняў сістэмы (7), якая адпавядае гэтай пары каранёў ХР.

Карыстаемся формай (8) рашэння.

Камплексны корань 1 = a + ib падстаўляем у сістэму (9) і знаходзім адпаведныя лікі 1, 2, ..., n, магчыма камплексныя.

Будуем камплекснае частковае рашэнне сістэмы (7), якое адпавядае кораню 1,

. (11)

Можна даказаць, што сапраўдная і ўяўная часткі камплекснага рашэння (11), з'яўляюцца лінейна незалежнымі рашэннямі зыходнай сістэмы (7).


Прыклад 2.


Будуем ХР


Карані 1 = i, 2 = –i.

Будуем камплекснае рашэнне для кораня 1 = i

.

Будуем сістэму для знаходжання 1, 2 па 1 = i


Маем . Лічым 1 = 1, 2 = i, адпаведнае рашэнне ЛАС


Знойдзем сапраўдную і ўяўную часткі рашэння


Агульнае рашэнне




6º. Метад Эйлера. Выпадак, калі сярод каранёў ХР сустракаюцца кратныя


У выпадку, калі сярод каранёў ХР ЛАС сустракаюцца кратныя, карыстаюцца наступным рэзультатам.

Тэарэма 3. Калі корань ХР ЛАС з пастаяннымі каэфіцыентамі мае корань кратнасці k, яму адпавядае рашэнне сістэмы (7) выгляду

(11)

дзе — мнагасклады ступені не вышэй k – 1, якія маюць у сукупнасці k адвольных каэфіцыентаў.

Без доказу.


Калі — сапраўдны корань, то з (11) атрымліваюцца k лінейна незалежных рашэнняў ЛАС (7).

Калі — камплексны корань, то і рашэнні (11) камплексныя. Трэба вылучаць сапраўдную і ўяўную часткі камплексных рашэнняў і знайсці 2k рашэнняў, якія адпавядаюць камплекснаму караню і спалучанаму караню.


Прыклад 3.


Будуем ХР

Карані ХР 1 = 1, 2,3 = –2.

Для кораня 1 = 1 з сістэмы (9) атрымліваем .

Лічым 1 = 1, 2 = 1, 3 = 1, адпаведнае рашэнне

.

Для кораня = –2 кратнасці k = 2 рашэнне шукаем у выглядзе


Падстаўляем у зыходнае раўнанне і атрымліваем

A = C = E = 0, F = – BD.

Таму маем рашэнне выгляду

.

Каб атрымаць два лінейна незалежныя рашэнні, спачатку бярэм B = 1, D = 0, а потым B = 0, D = 1:

,

.

Агульнае рашэнне




1   2   3

Падобныя:

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача 1
Задача використовуючи дані, наведені в таблиці, визначити, до якої групи країн за класифікацією Світового банку належать зазначені...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях icon«консул» вновь собирает друзей… Клуб Вольных Путешественников
Россия, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 26/28, стр. 1, оф тел. (495) 748-72-43, (495) 722-43-75

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача 2 Орогидрафическая ( сложная)
Страна Х имеет сухопутную границу с несколькими государствами определите Х, основываясь на следующих сведениях о соседних странах...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconУ камфорце "Жыгулі" ураўнялі з "Фольквагенам"
Апроч таго, з-за адсутнасьці вольных сродкаў да 80% аўтапарку ужо даўно выкарысталі свой рэсурс І аўташколы ў любы момант могуць...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconПо Физике Механика от Аристотеля до Ньютона ученика 9-1 класса Украино-Американского Лицея
По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача сям’і разгледзець задаткі І здольнасці дзіцяці, а задача школы падтрымаць дзіця І развіць ІХ падрыхтаваць глебу для таго, каб гэтыя здольнасці былі рэалізаваны ў жыцці.
Фарміраванне даследчых кампетэнцый вучняў праз правядзенне ўрокаў – даследаванняў І навукова –даследчай дзейнасці

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconИздательское дело как вид бизнес-деятельности обладает огромным финансовым потенциалом. Умело воспользоваться этим потенциалом задача любой издающей
Задача издательства — выстоять в этой борьбе. И здесь мало предложить хороший, качественный продукт, важно помочь ему дойти до целевого...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача забить гол в ворота
Играют 2 команды по 4 полевых игрока и вратарь. Замены проводятся по ходу матча, и, в отличие от футбола, их число не ограничено....

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача о движении центра инерции решается точно
Получено выражение для энергии основного состояния системы в предельном случае, когда радиус трубки стремится к нулю. Численно задача...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка