Задача аб вольных І вымушаных ваганнях




НазваЗадача аб вольных І вымушаных ваганнях
старонка1/3
Дата канвертавання02.11.2012
Памер279.74 Kb.
ТыпЗадача
  1   2   3




§ 22. Прыкладанні дыферэнцыяльнах раўнанняў у фізіцы. Вольныя ваганні

1º. Задача аб вольных і вымушаных ваганнях

Няхай цела масы m падвешана на спружыні, верхні канец якой нерухома замацаваны.

У стане раўнавагі вага цела ўраўна­важваецца пругкай сілай спружыны.

Па закону Гука гэтая сіла прапарцыянальна даўжыні s адрэзка, на які расцягнута спружына.

Тады маем роўнасць

(1)


дзе C — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Праз цела вертыкальна ўніз правядзём вось Oy, і стану раўнавагі нададзім значэнне y = 0.

Вывядзем цела са стану раўнавагі, для чаго адвядзем цела ўніз на значэнне

y = y0.

Цела пачне рухацца. Адхіленне ад стану раўнавагі ў момант часу t абазначым праз y(t). Рух цела апісваецца функцыяй y = y(t).

Саставім раўнанне для знаходжання гэтай функцыі.

У кожны момант часу на цела ўздзей­нічаюць наступныя сілы:

1) сіла цяжа́ру F1 = mg, якая цягне ўніз;

2) пругкая сіла спружыны, якая цягне ўверх:

F2 = – C(s + y);

3) сіла супраціўнення асяроддзя, якая прапарцыянальна скорасці руху і накіравана супраць напрамку скорасці:

F3 = – ky,

дзе k — каэфіцыент прапарцыянальнасці.

Такім чынам, на цела ўздзейнічае сіла

F = F1 + F2 + F3 = mgC(s + y) – ky = | карыстаемся (1) | =


Згодна з другім законам Ньютана


адкуль

my = – Cyky, (2)

Калі на цела акрамя трох сіл уздзейнічае яшчэ вонкавая сіла Fв(t), тады раўнанне (2) мае выгляд

my = – Cyky + Fв(t),

і атрымліваем раўнанне

my + ky + Cy = Fв(t). (3)

Заўвага. Сіла Fв(t) можа не ўздзейніць непасрэдна на цела. Напрыклад, калі верхні канец спружыны рухаецца ў вертыкальным напрамку па закону y = (t), тады і ўзнікае вонкавая сіла на цела.

Раўнанне (3) пераўтвараем

my + ky + Cy = Fв(t) |


Для зручнасці апісання каранёў абазначым = 2p, = 2. Тады атрымліваем раўнанне

(4)


Азначэнне. ЗДР (4) называецца дыферэнцыяльнам раўнаннем вымушаных ваганняў у асяродзі с супраціўленнем.


Азначэнне. Калі супраціўлення асяродзя няма (p = 0), раўнанне (4) мае выгляд


(5)


і называецца раўнаннем вымушаных ваганняў у асяродзі без супраціўлення.


Азначэнне. Калі вонкавая сіла адсутнічае, раўнанне (4) мае выгляд

y + 2py + 2y =0 (6)

і называецца дыферэнцыяльным раўнаннем вольных ваганняў у асяродзі з супраціўленнем.


Азначэнне. Калі вонкавая сіла адсутнічае і супраціўлення асяродзя няма (p = 0), раўнанне (4) мае выгляд

y + 2y =0 (7)

і называецца дыферэнцыяльнам раўнаннем вольных ваганняў у асяродзі без супраціўлення.


2º. Вольныя ваганні у асяродзі без супраціўлення

Разгледзім раўнанне

y + 2y =0 (7)

Гэта ЛАДР 2-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі. Каб знайсці рашэнне, трэба саставіць ХР


адкуль

1,2 =  i.

Агульнае рашэнне раўнання (7) мае выгляд

y(t) = C1cos1t + C2sin1t.

Рашэнне пераўтвараем наступным чынам.

Спачатку ўводзім велічыню


C1cos1t + C2sin1t = A = 

Існуе лік (вугал) такі, што = sin, = cos.

Гэта бачна нават з геаметрычных разважанняў. Таму


 = A(sin cos1t + cos sin1t) = Asin(1t + ).


Такім чынам, маем агульнае рашэнне выгляду

(8)

Велічыню A называюць амплітудай вагання, велічыню 1частатой, а велічыню пачатковай фазай.

Рух цела з'яўляецца перыядычным (перыяд ). Графік руху — сінусоіда. Ваганні называюцца вольнымі гарманічнымі.


3º. Вольныя ваганні у асяродзі з супраціўленнем

Разглядаем раўнанне

y + 2py + 2y =0. (6)

Будуем ХР

(9)

адкуль


Уласцівасці каранёў залежаць ад суадносін паміж велічынямі p і .

Разгледзім тры выпадкі:

1) p < ,

2) p > ,

3) p = .


1) p < .

Няроўнасць азначае, што сіла супраціўлення асяродзя нязначная ў параўнанні з сілай спружыны.

Абазначым , тады карані ХР (9) маюць выгляд

1,2 = – pi1.

Агульнае рашэнне выглядае так

y(t) = ept(C1cos1t + C2sin1t).

Рашэнне раўнання вольных ваганняў мае выгляд

y(t) = Aeptsin(1t + ). (10)

Пад час t   y(t)  0.

Такія ваганні называюцца затухаючымі.

2) p > .

Супраціўненне асяродзя вельмі значнае ў параўнанні з сілай спружыны.

Рашэнні ХР (9) маюць выгляд


Калі , тады

1,2 = – ph,

а раўнанне вольных ваганняў мае рашэнне выгляду

(11)

Калі t   y(t)  0 і ваганняў практычна няма. Рух называецца аперыядычным.





3) p = .

Супраціўленне асяродзя параўнальна з сілай спружыны.

Карані ХР роўныя паміж сабой


Рашэнне дыферэнцыяльнага раўнання мае выгляд

y(t) = C1ept + C2tept. (12)

Г
рафічны відарыс аналагічны паряэднему, але магчымы адзін рух праз гарызантальную вось.


§ 23. Прыкладанні дыферэнцыяльнах раўнанняў у фізіцы. Вымушаныя ваганні

1º. Вымушаныя ваганні ў асяродзі без супраціўлення

Разгледзім раўнанне

y + 2y = Fв(t) (1)

Няхай вонкавая сіла з'яўляецца сінусаідальнай


Абазначым = H і атрымліваем раўнанне

(2)

Гэта ЛНДР 2-га парадку з пастаяннымі каэфіцыентамі і спецыяльнай правай часткай. Яго агульнае рашэнне складаецца з агульнага рашэння адпаведнага аднароднага раўнання і частковага рашэння неаднароднага (зыходнага):

y(t) = yа(t) + ỹ(t).

Знойдзем рашэнне адпаведнага аднароднага раўнання. Аднароднае раўнанне мае выгляд

y + 2y = 0.

У § 22 мы ўжо разглядалі гэтае раўнанне. Яго ХР

2 + 2 = 0, (3)

з коранямі

1,2 =  i.

Агульнае рашэнне аднароднага раўнання

yа(t) = Asin(t + ).

Будзем зараз шукаць частковае рашэнне неаднароднага раўнання.

Правая частка раўнання (2) мае спецыяльны выгляд

f(t) = Hsinqt = He0tsinqt,

і вызначае камплексны лік

Выгляд частковага рашэння ỹ(t) будзе залежаць ад таго, ці супадае лік iq з коранем ХР (3) (1,2 =  i).

Іншымі словамі, ці супадае асабістая частата сістэмы з частатой q вонкавай сілы.

Разгледзім выпадак, калі частоты не супадаюць (q).

Тады частковае рашэнне раўнання (2) шукаем у выглядзе


Знаходзім вытворныя

ỹ(t) = – Mqsinqt + Nqcosqt,

ỹ(t) = – Mq2cosqtNq2sinqt

і падстаўляем у (2)


Разглядаем каэфіцыенты,

каля cosqt : – Mq2 + 2M = 0, M(2q2) = 0, M = 0;

каля sinqt : – Nq2 + 2N = H, N(2q2) = H, .

Агульнае рашэнне раўнання (2) мае выгляд

y(t) = Asin(t + ) + sinqt.

Рух складаецца з двух ваганняў з рознымі частотамі.

Калі q, амплітуда двугога вагання нарастае. Гэтага трэба пазбягаць у механічных сістэмах і вырарыстоўваць у радыёпрымальніках пры настройцы частаты.


2º. З'ява рэзанансу

Будзем лічыць, што q = — асабістая частата сістэмы супадае з частатой q вонкавай сілы.

Тады раўнанне (11) мае выгляд

(4)

і лік iq з'яўляецца коранем ХР (3).

Частковае рашэнне раўнання (4) шукаем у выглядзе


Ізноў знаходзім вытворныя

ỹ(t) = Mcosqt + NsinqttMqsinqt + tNqcosqt,

ỹ(t) = –Mqsinqt + NqcosqtMqsinqt + NqcosqttMq2cosqttNq2sinqt =

= – 2Mqsinqt + 2NqcosqttMq2cosqttNq2sinqt.

Падстаўляем у (4)


Разглядаем каэфіцыенты,

каля cosqt : 2NqtMq2 + q2tM = 0, 2Nq = 0, N = 0;

каля sinqt : – 2MqtNq2 + q2tN = H, .

Агульнае рашэнне мае выгляд

y(t) = Asin(t + ) tcosqt.

Рух складаецца з двух ваганняў аднолькавай частаты, але амплітуда другога вагання неабмежавана нарастае.

Азначэнне. З'ява, калі пры t   амплітуда вагання неабмежавана нарастае, называецца з'явай рэзанасу.

3º. Вымушаныя ваганні ў асяродзі з супраціўленнем

Лічым, што вонкавая сіла сінусаідальная і разгледзім раўнанне

(5)

Лічым таксама, што супраціўленне асяродзя малое p < .

Агульнае рашэнне складаецца з агульнага рашэння адпаведнага аднароднага раўнання і частковага рашэння неаднароднага (зыходнага):

y(t) = yа(t) + ỹ(t).

Рашэнне yа(t) мы ўжо атрымалі у § 22:

yа(t) = Aeptsin(1t + ),

дзе .

Лік iq з правай часткі раўнання (5) не супадае з коранямі адпаведнага ХР.

Частковае рашэнне ỹ(t) трэба шукаць у выглядзе


Знаходзім вытворныя

ỹ(t) = – Mqsinqt + Nqcosqt,

ỹ(t) = – Mq2cosqtNq2sinqt

і падстаўляем у (5)


Разглядаем каэфіцыенты,

каля cosqt : – Mq2 + 2pNq + 2M = 0, (2q2)M + 2pqN = 0,

каля sinqt : – Nq2 – 2pMq + 2N = H, – 2pqM + (2q2)N = H,

,

Агульнае рашэнне раўнання (5) мае выгляд

y(t) = Aeptsin(1t + ) – R(2pqcosqt – (2q2)sinqt),

дзе .

Пераўтвараем выраз 2pqcosqt – (2q2)sinqt.

Можна знайсці такі, што

cos = , sin = .

Мы ўжо аднойчы так рабілі:

2pqcosqt – (2q2)sinqt =

= (coscosqt – sinsinqt) =

=cos(qt + ).

Канчаткова маем


Калі t дастаткова вялікае, асабістыя ваганні можна не ўлічваць. Але, калі супраціўленне асяродзя p вельмі малое, а частоты і q блізкія, выніковая амплітуда вагання можа быць вельмі вялікай.


  1   2   3

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача №1
Задача на пабудову лічыцца рэшанай, калі знойдзены ўсе яе рашэнні. Задача рашаецца на падставе агульных аксіём пабудаванняў, аксіём...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача 1
Задача використовуючи дані, наведені в таблиці, визначити, до якої групи країн за класифікацією Світового банку належать зазначені...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях icon«консул» вновь собирает друзей… Клуб Вольных Путешественников
Россия, г. Москва, ул. Краснопрудная, д. 26/28, стр. 1, оф тел. (495) 748-72-43, (495) 722-43-75

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача 2 Орогидрафическая ( сложная)
Страна Х имеет сухопутную границу с несколькими государствами определите Х, основываясь на следующих сведениях о соседних странах...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconУ камфорце "Жыгулі" ураўнялі з "Фольквагенам"
Апроч таго, з-за адсутнасьці вольных сродкаў да 80% аўтапарку ужо даўно выкарысталі свой рэсурс І аўташколы ў любы момант могуць...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconПо Физике Механика от Аристотеля до Ньютона ученика 9-1 класса Украино-Американского Лицея
По мере накопления знаний о мире задача их систематизации становилась всё более насущной. Эта задача была выполнена одним из величайших...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача сям’і разгледзець задаткі І здольнасці дзіцяці, а задача школы падтрымаць дзіця І развіць ІХ падрыхтаваць глебу для таго, каб гэтыя здольнасці былі рэалізаваны ў жыцці.
Фарміраванне даследчых кампетэнцый вучняў праз правядзенне ўрокаў – даследаванняў І навукова –даследчай дзейнасці

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconИздательское дело как вид бизнес-деятельности обладает огромным финансовым потенциалом. Умело воспользоваться этим потенциалом задача любой издающей
Задача издательства — выстоять в этой борьбе. И здесь мало предложить хороший, качественный продукт, важно помочь ему дойти до целевого...

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача забить гол в ворота
Играют 2 команды по 4 полевых игрока и вратарь. Замены проводятся по ходу матча, и, в отличие от футбола, их число не ограничено....

Задача аб вольных І вымушаных ваганнях iconЗадача о движении центра инерции решается точно
Получено выражение для энергии основного состояния системы в предельном случае, когда радиус трубки стремится к нулю. Численно задача...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка