Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие»




НазваАмосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие»
старонка1/5
Дата канвертавання22.01.2013
Памер147.74 Kb.
ТыпУчебное пособие
  1   2   3   4   5
Вычислительная математика

Серов Владимир Александрович

Основная литература

  1. Амосов А.А., Дубинский Ю.Д., Копчёнова Н.В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» - М.: Высшая шк., 1994 – 544 с.

  2. Рябенький А.С. «Введение в дискретную математику: Учебное пособие для вузов» - М.: Физматлит, 1994 – 336 с.

  3. Дж.Мэтьюз, Куртис Финг, «Численные методы. Использование MatLab» / пер. с англ – М.: Вильямс, 2001 – 720 с.

  4. Азаров А.И, Басик В.А. и др. «Сборник задач по методам вычислений: учебное пособие для вузов» - под ред. Монастырского – М.: Физматлит, 1991 – 320 с.

Дополнительная литература

  1. Бахвалов Н.С. «Численные методы, Ч.1» - М.: Наука, 1975, 631 с.

  2. Дж. Фарсайт, М. Малькольм «Машинные методы математических вычислений» - М.: Мир, 1980 – 279 с.


1.Численные решения нелинейных уравнений


Постановка задачи: решить уравнение где



Напомним, что решить уравнение – это:

  1. Установить, имеет это уравнение корни или нет.

  2. Если имеет, то сколько корней.

  3. И каковы их численные значения.

Как правило, задача состоит из двух основных этапов:

Этап 1 – Локализация корней.


Находим достаточно малые интервалы , такие что






Этап 2 – итерационное уточнение корней


То есть, нахождение выделенных корней с заданной точностью на основе каких-либо вычислительных алгоритмов.

  1. Локализация корней

Часто локализацию корней можно решить построением графика функции .

Построение графика «в лоб»



Если график «в лоб» построить сложно, то уравнение (1) можно попытаться записать в эквивалентном виде





При этом корни определяются как точки пересечения графиков и .



Пример. Задача: осуществить локализацию корней следующего уравнения:





Вводим 2 функции:





Замечание: в более сложных, сомнительных случаях локализацию корней для достоверности необходимо подкрепить дополнительными вычислениями. При этом целесообразно использовать следующие достаточно очевидные положения:

  1. Если функция F(x), которая непрерывна на отрезке [a,b] принимает на его концах значения разных знаков, то на интервале (a,b) уравнение имеет по меньшей мере 1 корень.



НО: для корня кратной чётности это положение не применимо, так как для малой окрестности функция здесь знак не меняет.



  1. Если F(x) строго монотонно на [a,b], а также если , то – елинственный корень на отрезке [a,b].

Пример 2. Задача: локализовать корни уравнения

Решение – делимся на 2 функции





И смотрим весь интервал -



Результат:





Осуществим проверку знакопеременности функции на этом участке

Для





Для





В сложных случаях, когда график сложно построить, используют построение таблицы значений функции F(x) на исследуемом интервале.

Пример 3.Локализоватьь корни уравнения

На интервале }



Всего три корня, и мы их все три локализовали.






Итерационное уточнение корней


Фактически – это тот или иной вычислительный метод уточнения корня с заданной точностью.

Рассмотрим некоторые из этих методов.

2.Метод бисекции. (Метод деления отрезка пополам, «дихотомия»).


[a;b] – интервал, который дал результат локализации.

На нём функция непрерывна.

При этом - единственный корень на данном интервале.

ШАГ 1. Задаём точность вычислительного метода

Нулевую итерацию N=0



Начальное приближение корня


ШАГ 2. ЕСЛИ , то полагаем ,АЛГОРИТМ ЗАВЕРШЁН

ИНАЧЕ переходим к шагу 3


ШАГ 3. Точность не достигнута. Сужаем интервал.

Выбираем ту половинку, в которой функция меняет знак.

ЕСЛИ

ТО полагаем ; переходим к шагу 5


ИНАЧЕ переход к шагу 4


ШАГ 4. ПОЛАГАЕМ


ШАГ 5.


ШАГ 6. Инкремент счётчика n, переход к шагу 2.


Критерий останова алгоритма – достижение данной точности. В более сложных случая надо добавить ограничение по количеству итераций.


Примечание – в этом алгоритме не отражён случай, когда имеется корень кратной чётности



Замечание относительно погрешности – если корень , то погрешность приближения не превышает половины длины отрезка [a,b].





Пример 4. Методом бисекции найти с заданной точностью найти положительный корень заданного уравнения.





В одном из примеров мы корень локализовали:












В выделенной ячейке интервал меньше , поэтому заданная точность достигнута.


3.Метод простой итерации


Преобразуем исходное уравнение к следующему эквивалентному виду



Выбираем каким-либо способом начальное приближение и подставляем его в уравнение (2) в правую часть, а то что получилось, обозначаем



И далее



И так далее. Таким образом мы организовали следующий итерационный процесс



Если - непрерывная функция, а последовательность сходится, то существует предел, являющийся решением этого уравнения



Обоснование

Пусть так.

Перейдём к пределу в равенстве (4). Получаем



Самая левая часть этого уравнения равна самой правой - .

А так как , то и

Возможны ситуации, когда последовательность является расходящейся. Это означает только то, что данный метод в данном случае неприменим.

Достаточное условие сходимости итерационного процесса (4) формулируется в виде следующей теоремы:


Пусть уравнение имеет едиственный корень на интервале [a,b]. также пусть выполнены условия,

  1. что функция \phi(x) определена и дифференцируема на этом интервале.

  2. И эта производная такая, что

Скорость роста по модулю – меньше чем единица

Тогда итерационная последовательность сходится при при для


Геометрическая интерпретация









Критерий окончания итерационного процесса

Определяется на основе априорной оценки процесса

Теорема. Пусть выполнены условия предыдущей теоремы. Тогда верна слудеющая апостериорная оценка погрешность



q – скорость роста производной.

Из этой формулы следует, что вычисления стоит вести до выполения следующего условия



То есть как будет выполнено условие



Процесс должен быть остановлен с достигнутой точность.


ДЗ

Пример решить дома:

Решит следующее уравнение методом простой итерации с точностью



Найти корень на интервале

Подсказка

Так как на интервале [-3 -2] икс не равен нулю, то преобразование к виду x=phi(x) нужно выполнить делением обоих частей на

Получится



Отсюда



То есть



Далее для построения итерационного процесса и оценки ошибки нужно посчитать q.

Гоним итерационный процесс до






  1   2   3   4   5

Дадаць дакумент у свой блог ці на сайт

Падобныя:

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие Великий Новгород 2002 ббк 71. 0 я73 Печатается по решению и 20 рис новГУ
Методы изучения культуры: Учебное пособие. – Великий Новгород: Новгу им. Ярослава Мудрого, 2002. – 76 с

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие для студентов юридического факультета Москва
Сравнительная теория закона: Учебное пособие. – М. Импэ им. А. С. Грибоедова, 2009. – 78 с

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие Иркутск 2006
Учебное пособие предназначено для студентов III v курсов специальности «Технология художественной обработки материалов»

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие для модульно-рейтинговой технологии обучения Допущено научно-методическим советом бти алтгту для внутривузовского использования в качестве учебного пособия по части курса ««Химия»
Учебное пособие предназначено для студентов, аспирантов и преподавателей вузов

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие для студентов специальности 271200 «Технология продуктов общественного питания»
Учебное пособие предназначено для студентов вузов, аспирантов и преподавателей, может быть полезно практическим работникам

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconЕвдокимов А. Ю. История религий: Учебное пособие для студентов
Учебное пособие для студентов факультетов культурологии, искусствоведения и изобразительного искусства

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconДанное учебное пособие предоставлено, исключительно для использования в учебном процессе студентами миртшб. Копирование, тиражирование, распространение представленных данных (учебников, учебных пособий), запрещено
Учебное пособие предназначено для студентов по специальности «Управление качеством», а также для предприятий и организаций, занимающихся...

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие для вузов
Сумской Д. А. Статус юридических лиц: учебное пособие для вузов зао "Юстицинформ", 2006 г

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconУчебное пособие допущено Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений
Социальная психология малой группы: Учебное пособие для вузов. — М.: Аспект Пресс, 2001.— 318 с. ІзхШ 5-7567-0159-1

Амосов А. А., Дубинский Ю. Д., Копчёнова Н. В. «Вычислительные методы для инженеров. Учебное пособие» iconЛитература Введение
Учебное пособие предназначено для магистров дневного и заочного отделений экономических специальностей. Данное учебное пособие может...

Размесціце кнопку на сваім сайце:
be.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©be.convdocs.org 2012
звярнуцца да адміністрацыі
be.convdocs.org
Галоўная старонка